第2课时+两条直线垂直 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.1.4第2课时新授课两条直线垂直理解并掌握两条直线垂直的条件，会运用条件判定两条直线是否垂直.思考：在平面几何中，我们已经学习了两条直线垂直的性质定理和判定定理，那么在平面直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线的垂直关系呢？知识点：两条直线垂直的判定问题：平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为v1＝(1,k1)，v2＝(1,k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？Oxyl2l1v1v2归纳总结两条直线垂直的判定如图.因为两条直线l1，l2垂直的充要条件是v1⊥v2,所以v1·v2=0,即1+k1k2=0.于是，可以得到如下结论：对于两条不重合的直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2（其中b1≠b2），l1⊥l2

k1k2=-1.特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0.Oxyl2l1v1v2例1:判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：(1)l1:y=3x+2,

l2:y=x+1；(2)l1:x+2y-1=0,

l2:2x-y=0;(3)l1:x+2=0,

l2:2y=1.解：(1)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1=3，k2=

，∵k1k2=3×=-1，∴l1⊥l2.例1:判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：(2)l1:x+2y-1=0,

l2:2x-y=0;(3)l1:x+2=0,

l2:2y=1.(2)法1:设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1=，k2=2，∵k1k2=

×2=-1，∴l1⊥l2.法2:由两条直线方程可得它们的一个法向量分别为n1=(1,2)，n2=(2,-1).∵n1·n2=(1,2)·(2,-1)=2-2=0，∴l1⊥l2.(3)由两个方程，可知l1∥y轴，l2∥x轴，∴l1⊥l2.例2:求经过点A(2,3)，且垂直于直线l：2x+y-1=0的直线的方程.解：依据条件，设所求直线的方程为y-3=k(x-2).将直线l：2x+y-1=0化为y=-2x+1.依题意，有-2k=-1，得k=∴所求直线的方程为y-3=(x-2)，即x-2y+4=0.思考交流：已知两条直线l1:Ax+By+C1=0和l2:Bx-Ay+C2=0，如何判断它们的位置关系呢？若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0判断．所以可设与直线Ax+By+C＝0(A2+B2≠0)垂直的直线方程为Bx-Ay+m＝0.例2:求经过点A(2,3)，且垂直于直线l：2x+y-1=0的直线的方程.解：设与直线l：2x+y-1=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.∵直线l经过点A(2,3)，∴2－2×3+m=0，∴m=4.∴所求直线的方程为x-2y+4=0.请你尝试用不同方法解决例2.归纳总结判断两直线垂直的方法(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0判断．(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔k1·k2＝-1判断．(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．练一练1.若直线l1，l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根，则l1与l2的位置关系是_________.解：由一元二次方程根与系数的关系，知k1k2=–1，所以l1⊥l2.l1⊥l22.已知直线l1：mx+3y＝2-m，l2：x+(m+2)y＝1.若l1⊥l2，则实数m＝