2024届福建省长汀第一中学高一数学第二学期期末联考试题含解析

2024届福建省长汀第一中学高一数学第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知实数x，y满足约束条件，那么目标函数的最大值是（）A．0 B．1 C． D．102．已知在中，内角的对边分别为，若，则等于()A． B． C． D．3．已知，则的垂直平分线所在直线方程为（）A． B．C． D．4．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．35．若函数，又，，且的最小值为，则正数的值是（）A． B． C． D．6．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（）A． B． C． D．8．函数的部分图像如图所示，则的值为（）A．1 B．4 C．6 D．79．直线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°10．已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．中，，则A的取值范围为______．12．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值为________．13．_________________；14．已知正数、满足，则的最小值是________．15．如图，在中，，是边上一点，，则．16．对于数列满足：，其前项和为记满足条件的所有数列中，的最大值为，最小值为，则___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，且．（1）求向量的夹角；（2）求的值．18．化简.19．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱．（1）证明FO∥平面CDE；（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDE．20．已知数列的前项和（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简）21．已知向量.(1)当时，求的值；(2)设函数，当时，求的值域.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

根据约束条件，画出可行域，再平移目标函数所在的直线，找到最优点，将最优点的坐标代入目标函数求最值.【题目详解】画出可行域（如图），平移直线，当目标直线过点时，目标函数取得最大值，．故选：D【题目点拨】本题主要考查线性规划求最值问题，还考查了数形结合的思想，属于基础题.2、A【解题分析】

由题意变形，运用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方关系，可得所求值．【题目详解】2b2﹣2a2＝ac+2c2，可得a2+c2﹣b2ac，则cosB，可得B＜π，即有sinB．故选A．【题目点拨】本题考查余弦定理的运用，考查同角的平方关系，以及运算能力，属于中档题．3、A【解题分析】

首先根据题中所给的两个点的坐标，应用中点坐标公式求得线段的中点坐标，利用两点斜率坐标公式求得，利用两直线垂直时斜率的关系，求得其垂直平分线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果.【题目详解】因为，所以其中点坐标是，又，所以的垂直平分线所在直线方程为，即，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关线段的垂直平分线的方程的问题，在解题的过程中，需要明确线段的垂直平分线的关键点一是垂直，二是平分，利用相关公式求得结果.4、B【解题分析】

先由三视图判断该几何体为底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式即可求出结果.【题目详解】据三视图分析知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和，三棱柱的高为，所以该几何体的体积.【题目点拨】本题主要考查几何体的三视图，由三视图求几何体的体积，属于基础题型.5、D【解题分析】，由，得，，由，得，则，当时，取得最小值，则，解得，故选D.6、C【解题分析】

作出图形，设圆心到直线的距离为，利用数形结合思想可知，并设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的不等式，解出即可.【题目详解】如下图所示：设直线的斜率为，则直线的方程可表示为，即，圆心为，半径为，由于圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，所以，即，即，整理得，解得，因此，直线的斜率的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题考查直线与圆的综合问题，解题的关键就是确定圆心到直线距离所满足的不等式，并结合点到直线的距离公式来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7、D【解题分析】

根据任意角三角函数定义可求得；根据诱导公式可将所求式子化为，代入求得结果.【题目详解】由得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查任意角三角函数值的求解、利用诱导公式化简求值问题；关键是能够通过角的终边上的点求得角的三角函数值.8、C【解题分析】

根据是零点以及的纵坐标值，求解出的坐标值，然后进行数量积计算.【题目详解】令，且是第一个零点，则；令，是轴右侧第一个周期内的点，所以，则；则，，则.选C.【题目点拨】本题考查正切型函数以及坐标形式下向量数量积的计算，难度较易.当已知，则有.9、D【解题分析】

由直线方程得到直线斜率，进而得到其倾斜角.【题目详解】因直线方程为，所以直线的斜率，故其倾斜角为150°.故选D【题目点拨】本题主要考查求直线的倾斜角，熟记定义即可，属于基础题型.10、C【解题分析】

首先根据题意求出，再根据正弦函数的定义即可求出的值.【题目详解】，.故选：C【题目点拨】本题主要考查正弦函数的定义，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．【题目详解】因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因为，所以．【题目点拨】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．12、-3【解题分析】试题分析：由两直线平行可得：，经检验可知时两直线重合，所以．考点：直线平行的判定．13、1【解题分析】

利用诱导公式化简即可得出答案【题目详解】【题目点拨】本题考查诱导公式，属于基础题．14、.【解题分析】

利用等式得，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【题目详解】，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是，故答案为：.【题目点拨】本题考查利用基本不等式求最值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15、【解题分析】

由图及题意得

，

=

∴

=(

)(

)=

+

=

=

.16、1【解题分析】

由，，，，，分别令，3，4，5，求得的前5项，观察得到最小值，，计算即可得到的值．【题目详解】由，，，，，可得，解得，又，，可得或，又，，，可得或5；或6；或或8；又，，，，可得或6或7；或7或8；或8或9或10或12；或10或12或1．综上可得的最大值，最小值为，则．故答案为：1．【题目点拨】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）求出向量的模，对等式两边平方，最后可求出向量的夹角；（2）直接运用向量运算的公式进行运算即可.【题目详解】（1）向量，，，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴向量的夹角；（2）由（1），，，∴.【题目点拨】本题考查了平面向量的数量积定义，考查了平面向量的运算，考查了平面向量模公式，考查了数学运算能力.18、【解题分析】

利用诱导公式进行化简，即可得到答案.【题目详解】原式.【题目点拨】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限这一口诀的应用.19、(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解题分析】

（1）利用中点做辅助线，构造出平行四边形即可证明线面平行；（2）根据所给条件构造出菱形，再根据两个对应的线段垂直关系即可得到线面垂直.【题目详解】证明：（1）取CD中点M，连结OM，连结EM，在矩形ABCD中，又,则,于是四边形EFOM为平行四边形．∴FO∥EM.又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，∴FO∥平面CDE．（2）连结FM,由（1）和已知条件，在等边ΔCDE中，CM=DM,EM⊥CD且因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.∵CD⊥OM,CD⊥EM∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FMCD=M,所以EO⊥平面CDF.【题目点拨】（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面；（2）线面垂直的判定定理：一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面.20、（1）；（2）；【解题分析】

（1）运用数列的递推式得时，，时，，化简计算可得所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【题目详解】（1）可得时，则（2）数列满足，可得，即，前项和两式相减可