2024届辽宁省鞍山市数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届辽宁省鞍山市数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线与平行，则的值为()A． B．或 C．0 D．－2或02．在中，若为等边三角形（两点在两侧），则当四边形的面积最大时，（）A． B． C． D．3．将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A． B． C． D．4．设且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5．已知是定义在上的奇函数，且当时，，那么（）A． B． C． D．6．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为()A．－1 B．＋1C．2＋2 D．2－27．设，且，则下列各不等式中恒成立的是（）A． B． C． D．8．法国“业余数学家之王”皮埃尔·德·费马在1936年发现的定理：若x是一个不能被质数p整除的整数，则必能被p整除，后来人们称为费马小定理.按照该定理若在集合中任取两个数，其中一个作为x，另一个作为p，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（）A． B． C． D．9．过点作圆的切线,且直线与平行，则与间的距离是（）A． B． C． D．10．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为30°，汽车行驶后到达点测得山顶在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．下列命题中：①若，则的最大值为；②当时，；③的最小值为；④当且仅当均为正数时，恒成立.其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)12．记为等差数列的前项和，若，则___________.13．已知，则______；的最小值为______.14．在中角所对的边分别为，若则___________15．已知扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积为_______.16．直线与的交点坐标为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．为了了解某市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：，并绘制出频率分布直方图，如图所示.（1）求频率分布直方图中的值，并估计该市高中学生的平均成绩；（2）设、、、四名学生的考试成绩在区间内，、两名学生的考试成绩在区间内，现从这6名学生中任选两人参加座谈会，求学生、至少有一人被选中的概率.18．已知，，（1）求的解析式，并求出的最大值；（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值时的值.19．已知.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）解不等式.20．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数，的单调递减区间.21．已知数列的前项和为，满足，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2），求数列的前项和；（3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

若直线与平行,则,解出a值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【题目详解】若直线与平行,

则,

解得或,

又时,直线与表示同一条直线,

故,

故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键.2、A【解题分析】

求出三角形的面积，求出四边形的面积，运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可．【题目详解】设，，，是正三角形，，由余弦定理得：，，时，四边形的面积最大，此时．故选A．【题目点拨】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考查化简运算能力，属于中档题．3、B【解题分析】

利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换可得函数平移后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【题目详解】令y＝f（x）＝sin（2x+），则f（x）＝sin[2（x）+]＝sin（2x），∵f（x）为偶函数，∴＝kπ，∴＝kπ，k∈Z，∴当k＝0时，．故的一个可能的值为．故选：B．【题目点拨】本题考查函数y＝Asin（ωx+）的图象变换，考查三角函数的奇偶性的应用，属于中档题．4、A【解题分析】项，由得到，则，故项正确；项，当时，该不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．综上所述，故选．5、C【解题分析】试题分析：由题意得，，故，故选C．考点：分段函数的应用.6、D【解题分析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，得(a＋c)·(a＋b)＝4－2.∵a、b、c>0.∴(a＋c)·(a＋b)≤(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误7、D【解题分析】

根据不等式的性质，逐项检验，即可判断结果.【题目详解】对于选项A，若，显然不成立；对于选项B，若，显然不成立；对于选项C，若，显然不成立；对于选项D，因为，所以，故正确.故选:D.【题目点拨】本题考查了不等式的性质，属于基础题.8、A【解题分析】

用列举法结合古典概型概率公式计算即可得出答案.【题目详解】用表示抽取的两个数，其中第一个为，第二个为总的基本事件分别为：，，，共12种其中所取的两个数符合费马小定理的基本事件分别为：，，共8种则所取的两个数符合费马小定理的概率故选：A【题目点拨】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.9、D【解题分析】由题意知点在圆C上，圆心坐标为，所以，故切线的斜率为，所以切线方程为，即．因为直线l与直线平行，所以，解得，所以直线的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.所以直线与直线l间的距离为．选D．10、D【解题分析】

通过题意可知：，设山的高度，分别在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【题目详解】由题意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本题选D.【题目点拨】本题考查了余弦定理的应用，弄清题目中各个角的含义是解题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①②【解题分析】

根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.【题目详解】①若，则的最大值为，正确②当时，，时等号成立，正确③的最小值为，取错误④当且仅当均为正数时，恒成立均为负数时也成立.故答案为①②【题目点拨】本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.12、100【解题分析】

根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【题目详解】得【题目点拨】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．13、50【解题分析】

由分段函数的表达式，代入计算即可；先求出的表达式，结合分段函数的性质，求最小值即可.【题目详解】由，可得，，所以；由的表达式，可得，当时，，此时，当时，，由二次函数的性质可知，，综上，的最小值为0.故答案为：5；0.【题目点拨】本题考查求函数值，考查分段函数的性质，考查函数最值的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.14、【解题分析】,；由正弦定理，得，解得.考点：正弦定理.15、【解题分析】

用弧度制表示出圆心角，然后根据扇形面积公式计算出扇形的面积.【题目详解】圆心角为对应的弧度为，所以扇形的面积为.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面积的计算，属于基础题.16、【解题分析】

直接联立方程得到答案.【题目详解】联立方程解得即两直线的交点坐标为.故答案为【题目点拨】本题考查了两直线的交点，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由频率分布直方图能求出a．由此能估计该市高中学生的平均成绩；（2）现从这6名学生中任选两人参加座谈会，求出基本事件总数，再学生M、N至少有一人被选中包含的基本事件个数，由此能求出学生M、N至少有一人被选中的概率．【题目详解】（1）由频率分布直方图得：，∴估计该市高中学生的平均成绩为：．（2）设A、B、C、D四名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M、N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这6名学生中任选两人参加座谈会，基本事件总数，学生M、N至少有一人被选中包含的基本事件个数，∴学生M、N至少有一人被选中的概率．【题目点拨】本题考查了利用频率分布直方图求平均数，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.18、（1），最大值为.（2）时，最小值0.时，最大值.【解题分析】

（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简，再利用三角函数的有界性，即可得答案；（2）利用整体法求出，再利用三角函数线，即可得答案.【题目详解】（1）∴，的最大值为.（2）由（1）得，∵，.，当时，即时，取最小值0.当，即时，取最大值.【题目点拨】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.19、（1）；（2）时，解集为，时，解集为，时解集为．【解题分析】

（1）由一元二次不等式的解集一一元二次方程的解之间的联系求解；（2）按和的大小分类讨论．【题目详解】（1）由题意的解集为，则方程的解为1和4，∴，解得；（2）不等式为，时，，此时不等式解集为，时，，，当时，，。综上，原不等式的解集：时，解集为，时，解集为，时解集为．【题目点拨】本题考查解一元二次不等式，掌握三个二次的关系是解题关键，解题时注意对参数分类讨论．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用余弦函数的单调性列出不等式直接求的单调递增区间．（2）利用正弦函数的单调递减区间，直接求解，的单调递减区间．【题目详解】解：（1）由，，可得，，函数的单调递增区间：，．（2）因为，；可得，．时，．函数，的单调递减区间：．【题目点拨】本题考查三角函数的单调性的求法，考查学生的计算能力，属于基础题．21、（1），；（2）见解析；（3）存在，.【解题分析】

（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式.用累加法可求的通项.（2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论.（3）根据的通项可得，故考虑的解可得满足条件的的值.【题目详解】（1）在数列中，当时，.当时，由得，因为，故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.在数列中，当时，有，由累加法得，，.当时，也符合上式，所以.(2).当为