高中数学讲义（人教A版选择性必修二）：第12讲 第四章 数列章末重点题型归纳（学生版）

第四章数列章末重点题型归纳知识点1数列及其有关概念1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．3.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.知识点2数列的分类分类标准类型含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常数列各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)按其他标准周期数列一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列按其他标准有界(无界)数列任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列知识点3数列的表示方法1．列表法列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：序号n123…n…项ana1a2a3…an…2．图象法在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．3．通项公式法如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．4．递推公式法如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．注：常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.知识点4数列的前n项和Sn与an的关系1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．数列的前项和和通项的关系：则特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．知识点5数列的性质（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))数列的周期性.根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．知识点6等差数列的有关概念1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．(3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列.2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型．等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③可用来由等差数列任两项求公差．3.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d

；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.4.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中.，，成等差数列.注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2.知识点7等差数列的四种判断方法(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,)⇔是等差数列;(4)前项和公式：(为常数,)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.知识点8等差数列的性质（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项.（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．知识点9等差数列的前n和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d注：（1）等差数列的前n和公式的推导对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq\f(na1＋an,2)，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．（2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.（3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；知识点10等差数列前n项和的性质（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即SKIPIF1<0成等差数列，公差为n2d；（2）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②.等差数列中，,则,.注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)（4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.（5）若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；知识点11等差数列的前n项和的最值(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．在等差数列{an}中，当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.(2)利用等差数列的前n项和：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((为常数,))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解.注：当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．知识点12等比数列有关概念1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：.注：(1)定义的符号表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．注：（1）等比数列通项公式的推导设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．方法一an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．方法二a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.3．等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中，．④等比中项与等差中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项知识点13等比数列的通项公式与指数型函数的关系1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同．知识点14等比数列的判定与证明证明等比数列的方法1．定义法：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)；2．等比中项法：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；3．通项公式法：an＝a1qn－1.注：用定义法证明时，eq\f(an,an－1)和eq\f(an＋1,an)中的n的范围不同知识点15等比数列的性质在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：，，，，……；，，，，……；注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．（2）在等比数列中，对任意，，； （3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中项.也就是：，如图所示：.注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；（4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．（5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.（6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.（7）等比数列的单调性当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．知识点16等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．(2)如果数列成等比数列，且，那么数列(，且)必成等差数列．(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．知识点17等比数列的前n项和公式已知量首项a1，项数n与公比q首项a1，末项an与公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))注：（1）等比数列前n项和公式的推导若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，根据等比数列的性质，有eq\f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)＝eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化．思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)或Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．（2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个（3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.（5）等比数列前n项和公式的函数特征当公比q≠1时，设A＝eq\f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，设A＝－eq\f(a1,1－q)，则Sn＝Aqn－A.）当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.知识点18等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：思路一：当q＝1时，结论显然成立；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q).S2n－Sn＝eq\f(a11－q2n,1－q)－eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn1－qn,1－q)，S3n－S2n＝eq\f(a11－q3n,1－q)－eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，而(S2n－Sn)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq\f(a11－qn,1－q)×eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比数列．3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：（1）在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；（2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).S奇＝a1＋qS偶．注：若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq\f(S偶,S奇)＝q.＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．知识点19等比数列前n项和的实际应用1．解应用问题的核心是建立数学模型．2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．题型一数列的概念1．（2022·高二课时练习）下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数；②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表达式是唯一的．其中正确的是（

）．A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④2．【多选】（2022春·广东揭阳·高二统考期末）下列四个选项中，正确的是（

）A．数列的图象是一群孤立的点B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列C．数列，，，，…的一个通项公式是D．数列，，…，是递减数列3．【多选】（2022春·福建漳州·高二校联考期中）下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列与数列是同一个数列B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项C．在数列中,第8个数是D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为4．（2022春·天津宝坻·高二校考期末）已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.题型二数列的通项公式由前n项归纳数列的通项公式5．（2022秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知数列：，则是数列中的（

）A．第18项 B．第19项 C．第20项 D．第21项6．（2022秋·河南濮阳·高二统考期末）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第n项，则的值为（

）A．1225 B．1275 C．1326 D．13627．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）数列的一个通项公式为（

）A． B． C． D．8．（2022秋·广西百色·高二统考期末）若数列的前6项为：1，，，，，，则数列的通项为（

）A． B． C． D．9．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市阿城区第一中学校校考阶段练习）1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”．根据规律，新数列的第8项为______．由与的关系求通项公式10．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）数列的前项和，则的通项公式___________.11．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知是数列的前项和，若，则____________．12．（2022秋·上海松江·高二统考期末）已知数列前项和满足，则________.13．（2022秋·广东珠海·高二统考期末）已知数列，满足，则_______.14．（2022秋·上海虹口·高二统考期末）记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________．15．（2022秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知数列的前项和为，则_____．定义法求通项公式16．（2022春·陕西西安·高二校联考期中）在数列中，，，且，则数列的通项公式是__________．17．（2022春·广东广州·高二广州大学附属中学校考期末）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为．若对恒成立．求正整数m的最大值．18．（2021秋·浙江宁波·高二统考期末）已知数列满足，，，，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．由递推公式求通项公式19．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．20．（2022春·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．21．（2022春·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知数列中，，则等于（

）A． B．C． D．22．（2022·高二课时练习）已知在数列中，，，则______．23．（2022春·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知数列中，且，则为（

）A． B． C． D．24．（2022春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，则数列的前项和为______．25．（2022春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）已知数列满足，，则______.26．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．27．【多选】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是(

)A． B．是递增数列C． D．数列为周期数列题型三数列的单调性与最值28．（2022秋·北京西城·高二统考期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（

）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项29．（2022春·安徽宿州·高二校联考期末）已知数列满足，，设，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．30．（2022秋·广东潮州·高二统考期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第___________项.31．（2022春·河南·高二校联考期末）若数列满足，且数列单调递减，则的取值范围是______．题型四数列的周期性32．（2022春·陕西西安·高二统考期末）已知数列满足，，则___________．33．（2022春·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．334．（2022秋·北京石景山·高二统考期末）在数列中，，，，则_________．35．（2022春·湖南·高二校联考期末）已知数列满足，且，则__________.36．（2022春·湖北荆州·高二沙市中学统考期末）已知数列满足，则_____________．题型五等差数列基本量的计算37．（2022春·山东菏泽·高二校考期末）设为等差数列的前项和，已知，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．1038．（2022秋·湖南衡阳·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．19 B．22 C．25 D．2739．（2022秋·河北邯郸·高二大名县第一中学校考期末）记为等差数列的前n项和.若，，则（

）A．-54 B．-18 C．18 D．3640．（2022秋·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（

）A．10 B．14 C．23 D．2641．（2022春·黑龙江双鸭山·高二统考期末）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（

）A．4 B．12 C．15 D．18题型六等差数列的判定与证明42．（2022春·山东济宁·高二济宁一中校考期末）已知数列的前n项和为．(1)记，证明：是等差数列，并求的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．43．（2022春·安徽六安·高二校考期末）已知数列满足：．(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和．44．（2022秋·云南玉溪·高二统考期末）已知数列满足，．(1)证明是等差数列；(2)若，求数列的前项和．45．（2022秋·江西上饶·高二校联考期末）已知数列满足，（）.(1)求证数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和.题型七等差数列的性质与项有关的性质46．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，若，，则（

）A．14 B．15 C．16 D．847．（2022春·西藏拉萨·高二拉萨中学校考期末）已知等差数列满足，则的值为（

）A．－3 B．3 C．－12 D．1248．（2022秋·四川甘孜·高二统考期末）等差数列​的前​项和为​，则（

）A．42 B．56 C．63 D．7049．（2022秋·河北石家庄·高二校考期末）设等差数列的前项和为，若，则（）A．28 B．148 C．168 D．24850．（2022秋·湖北武汉·高二统考期末）已知数列为等差数列，且，则的值为（

）A． B． C． D．与和有关的性质51．（2022春·湖南永州·高二统考期末）若为等差数列，其前n项和为，，，则（

）A．10 B．12 C．14 D．1652．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）在等差数列中，其前项和为，若，则（

）A． B． C． D．53．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（

）A． B． C． D．54．（2022·全国·高二假期作业）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（

）A． B． C． D．单调性与最值55．（2022春·山西大同·高二统考期末）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列结论错误的是（

）A． B．d＜0C． D．与为的最大值56．（2022春·河南许昌·高二统考期末）设是等差数列，是其公差，是其前n项的和．若，，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．与均为的最大值57．（2022春·天津南开·高二南开中学校考期末）在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（

）A．15 B．16 C．17． D．1858．（2022春·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项题型八等比数列基本量的计算59．（2022春·山西太原·高二校考阶段练习）设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或60．（2022春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设是等比数列，且，则（

）A．4 B．8 C．16 D．3261．（2022春·福建福州·高二校考期中）已知等比数列单调递增，且，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．962．（2022春·宁夏银川·高二校考阶段练习）设等比数列的前项和为，，则的值为（

）A． B． C． D．题型九等比数列的判定与证明63．（2022春·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知数列中，，且满足.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.64．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）在数列中，，，．(1)设，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．65．（2022春·河南·高二校联考期末）已知数列满足，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)证明：．66．（2022·全国·高二假期作业）已知数列满足，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)记的前项和为，若，均有，求实数的最小值．题型十等比数列的性质与项有关的性质67．（2022春·山西晋城·高二晋城市第二中学校校考阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，则___________.68．（2022·全国·高二假期作业）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_____________.69．（2022·全国·高二专题练习）已知各项均为正数的等比数列，，，则______．70．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为________与和有关的性质71．（2022春·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，，则_______．72．（2022春·甘肃酒泉·高二敦煌中学校考阶段练习）设是等比数列的前n项和，若，则______.73．（2022春·陕西咸阳·高二校考期中）已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．74．（2022·高二单元测试）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．最值（范围）问题75．（2022·全国·高二假期作业）设等比数列满足，，则的最大值为（

）A．32 B．16 C．128 D．6476．（2022春·吉林通化·高二校考期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A．

B．C．是数列中的最大值

D．数列无最大值77．（2022·高二课时练习）等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0．给出下列结论：①0<q<1；②a99a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于198．其中正确的结论是________．题型十一等差数列与等比数列的综合应用78．（2022·高二课时练习）已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（

）A． B． C． D．79．（2022·高二单元测试）对于无穷数列，给出下列命题：①若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列；②若等差数列满足，则是常数列；③若等比数列满足，则是常数列；④若各项为正数的等比数列满足，则是常数列．其中正确的命题个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．480．（2022春·陕西西安·高二西安市西光中学校考阶段练习）等差数列中，公差，而且是等比数列的连续项，则时_______81．（202