2022北京中考数学题型专练：新定义压轴题

1/632022北京中考数学题型专练：新定义压轴题一、解答题1．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．2．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是；在点中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．3．在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

4．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．已知点（，6），（，），（6，）．（1）求（点，）；（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；（3）的圆心为（t，0），半径为1．若（，），直接写出t的取值范围．5．如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．（1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是；（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标xK的取值范围；（3）已知点M（m，﹣1），若直线y＝x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出m的取值范围．6．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是；②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．7．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范直范围是_____；②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；(2)如图2，⊙O的半径为1，直线(b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．8．对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．（1）已知．①在点中，是线段的“等幂点”的是_____________；②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；（2）已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分，若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．9．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，M，N为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段，使点分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点M，N，P的对应点），线段长度的最小值称为线段MN到正方形的“平移距离”．（1）如下图，平移线段MN，得到正方形内两条长度为1的线段，则这两条线段的位置关系是_______；若分别为的中点，在点中，连接点P与点_______的线段的长度等于线段MN到正方形的“平移距离”；（2）如图，已知点，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形的“平移距离”为，求的最小值；（3）若线段MN的中点P的坐标为，记线段MN到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围．10．对于平面直角坐标系中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为，则点B的坐标为_______；②若点B的坐标为，则点A的坐标为_______．（2）．线段关于点G的“垂直图形”记为，点E的对应点为，点F的对应点为．①求点的坐标（用含a的式子表示）；②若的半径为，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．

11．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．（1）如图1，已知点，；①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是，最大值是；②在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是；（2）如图2，已知的半径为1，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的一对平衡点，求的取值范围；（3）如图3，已知点，以点为圆心，长为半径画弧交的正半轴于点．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为2的圆，若上的任意两个点都是的一对平衡点，直接写出的取值范围．12．在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB为一边向△ABM的异侧作正方形ABCD，以A为圆心，AM为半径作⊙A，我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的内部（或圆上），我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD是⊙A的“关于△ABM的友好正方形”．（1）图2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在图中画出⊙A的“关于△ABM的友好正方形ABCD”．（2）若点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）上，它的横坐标是2，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求k的取值范围．（3）若点A是直线y＝﹣x+2上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围．13．在△ABC中，以AB边上的中线CD为直径作圆，如果与边AB有交点E（不与点D重合），那么称为△ABC的C﹣中线弧．例如，如图中是△ABC的C﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC存在C﹣中线弧，其中点A与坐标原点O重合，点B的坐标为（2t，0）（t＞0）．（1）当t＝2时，①在点C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2）中，满足条件的点C是；②若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P是△ABC的C﹣中线弧所在圆的圆心，其中CD＝4，求k的取值范围；（2）若△ABC的C﹣中线弧所在圆的圆心为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．14．在△ABC中，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，PA为半径的⊙P与△ABC的交点不少于4个，点P称为△ABC关于∠BAC的“劲度点”，线段PA的长度称为△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（1）如图，在∠BAC平分线AD上的四个点、、、中，连接点A和点的线段长度是△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点M（0，t），N（4，0）．①当t=时，求出△MON关于∠MON的“劲度距离”的最大值．②如果内至少有一个值是△MON关于∠MON的“劲度距离”，请直接写出t的取值范围．15．对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，）．（1）在C（4，0），D（2，0），E（1，3）三点中，点A和点B的等距点是；（2）已知直线y=2．①若点A和直线y=2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为；②若直线y=b上存在点A和直线y＝2的等距点，求实数b的取值范围；（3）记直线AB为直线l1，直线l2：，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．16．对于平面内的点M，如果点P，点Q与点M所构成的是边长为1的等边三角形，则称点P，点Q为点M的一对“关联点”，进一步地，在中，若顶点M，P，Q按顺时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“顺关联点”；若顶点M，P，Q按逆时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“逆关联点”．已知，（1）在中，点A的一对关联点是____，它们为点A的一对___关联点（填“顺”或“逆”）；（2）以原点O为圆心作半径为1的圆，已知直线．①若点P在⊙O上，点Q在直线l上，点P，点Q为点A的一对关联点，求b的值；②若在⊙O上存在点R，在直线l上存在两点和，其中，且点T，点S为点R的一对顺关联点，求b的取值范围．17．在平面直角坐标系中，对于任意两点，若（k为常数且），则称点M为点N的k倍直角点．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点①若点是点A的k倍直角点，则k的值是___________；②在点中是点A的2倍直角点的是_______；③若直线上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；（2）的圆心T的坐标为，半径为r，若上存在点O的2倍直角点，直接写出r的取值范围．18．在平面直角坐标系中，任意两点，，定义线段的“直角长度”为．（1）已知点．①________；②已知点，若，求m的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点．①点．如果为“和距三角形”，求d的取值范围；②在平面直角坐标系中，点C为直线上一点，点K是坐标系中的一点，且满足，当点C在直线上运动时，点K均满足使为“和距三角形”，请你直接写出点C的横坐标的取值范围．19．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作于点H任取直线l上点Q，点H关于直线的对称点为点，标点为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系中，（1）已知点，则点中是点P关于x轴的垂对点的是_______；（2）已知点，且，直线上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；（3）已知点，若直线上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n的取值范围，20．在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点，，中，对线段ON的可视度为60º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．21．在平面直角坐标系中，对于点A和线段，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形，且，则称线段是点A的“相关线段”．例如，图1中线段是点A的“-相关线段”．（1）已知点A的坐标是．①在图2中画出点A的“-相关线段”，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“-相关线段”经过点，求的值；（2）若存在使得点P的“-相关线段”和“-相关线段”都经过点，记，直接写出t的取值范围．

参考答案1．（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时．【分析】（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可；（2）由旋转的性质可得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；故答案为；（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：设与y轴的交点为D，连接，易得轴，∴，∴，，∴，∴；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的，∴；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，∴，∴，∴；由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接，过点作于点P，∴，设，则有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；综上所述：当时，此时；当时，此时．【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．2．（1）平行，P3；（2）；（3）【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围．【详解】解：（1）平行；P3；（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴．由垂径定理得：，∴；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为．如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：；平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,∵OA2=1,∴OM=,A2M=,∴MA=3,AA2=,∴的取值范围为：．【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）；（2）①P的纵坐标或；②.【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；

（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，①当时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【详解】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别是AB，AC的中点，，∴弧；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA=OC，∠AOC=90°

∴∠ACO=45°，

∵DE∥OC

∴∠AED=∠ACO=45°

作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF=根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；综上所述，或m≥1．②图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，

∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM=，∵DE∥BC

∴∠ADE=∠AOB=90°，∵PD=PE，

∴∠AED=∠PDE

∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，

∴∠DAE=∠ADP由三角形中内弧定义知，PD≤PM，AE≤3，即，解得：【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（1）2；（2）或；（3）或或．【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分和两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t的取值范围．详解：（1）如下图所示：∵（，），（6，）∴（0，）∴（，）（2）或（3）或或．点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.5．（1）C；（2）﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；（3）m≤3﹣2或m≥3+2．【分析】（1）由题意可知当Q与A重合时，点C在以AP为直径的圆上，所以可以成为点P与线段AB的共圆点的是C；（2）根据题意由两点的距离公式可得AP=BP=2，分别画以AP和BP为直径的圆交x轴于4个点：K1、K2、K3、K4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；（3）由题意先根据直线y=x+3，当x=0和y=0计算与x轴和y轴的交点坐标，分两种情况：M在A的左侧和右侧，先计算圆E与直线y=x+3相切时m的值，从而根据图形可得结论．【详解】解：（1）如图1，可以成为点P与线段AB的共圆点的是C，故答案为：C；（2）∵P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．∴AP＝BP＝＝2，如图2，分别以PA、PB为直径作圆，交x轴于点K1、K2、K3、K4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE＝，∴OE＝AG＝1，∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；（3）分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝＝＝，设EF＝a，则FH＝2a，EH＝a，∴OE＝6﹣a，Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，∴，解得：a＝（舍去）或，∴QG＝2OE＝2（6﹣a）＝﹣3+2，∴m≤3﹣2；②如图4，当M在点A的右侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，同理得QG＝3+2，∴m≥3+2，综上，m的取值范围是m≤3﹣2或m≥3+2．【点睛】本题属于圆和一次函数综合题，考查一次函数的应用，新定义：M为点P与线段AB的共圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题.6．（1）①∠AP2B，∠AP3B；②﹣5＜b≤5；（2）n的最大值为2；t的取值范围是﹣﹣1≤t＜5【分析】（1）判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB的解析式，当直线y=2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b=5，则答案可求出；（3）可知线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t值即可得解．【详解】解：（1）如图1，，，，，，，不在以为直径的圆弧上，故不是关于的内直角，，，，，，，，，是关于的内直角，同理可得，，是关于的内直角，故答案为：，；（2）是关于的内直角，，且点在的内部，满足条件的点形成的图形为如图2中的半圆（点，均不能取到），过点作轴于点，，，，，并可求出直线的解析式为，当直线过直径时，，连接，作直线交半圆于点，过点作直线，交轴于点，，，，，是半圆的切线．，，，，，，，，，，，直线的解析式为，直线的解析式为，此时，的取值范围是．（3）对于线段上每一个点，都存在点，使是关于的最佳内直角，点一定在的边上，，，线段上任意一点（不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为2，当点在该圆的最高点时，有最大值，即的最大值为2．分两种情况：①若点不与点重合，那么点必须在边上，此时，点在以为直径的圆上，如图3，当与相切时，，，，，，，，，，，，当与重合时，，此时的取值范围是，②若点与点重合时，临界位置有两个，一个是当点与重合时，，另一个是当时，，此时的取值范围是，综合以上可得，的取值范围是．【点睛】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．7．（1）①，，，②O；（2）；（3）0＜r≤3．【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D（-1，0），E(0，)，∴OD=1，，∴，∴∠EDO=60°，当OP⊥DE时，，此时OP的值最小，当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为，当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值，当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，故答案为：，，.②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM=2ON，故点O与线段DE满足限距关系．故答案为O．（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+b≥2（1-b），解得，∴b的取值范围为．当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为，最大距离为b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴，而总成立，∴b＞2时，线段FG与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为．（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，

两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r的取值范围为0＜r≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．8．（1）①：②或；（2）或【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA2进行比较即可确定线段的“等幂点”；②如图，由是线段OA的“等幂三角形”，可得．由点A的坐标为，若记中边上的高为h，可得，求出．由是等腰三角形，点B在线段OA的垂直平分线上即可求点B的坐标为（，6）或（，-6）；（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，求出N(0，-3),H(3，0)，可证△ONH为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，点D运动分两种情况，第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，又因为△ECD为锐角三角形，点E在上运动，点E到CD的距离h的范围是，可求h=2CD=2(x-2)，；第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在上运动，求出GU=GH×cos45°=，可得，可求，解不等式即可得．【详解】（1）①=，P1不是线段OA的“等幂点”．=，P2是线段OA的“等幂点”．=，P3不是线段OA的“等幂点”．=，P4是线段OA的“等幂点”．是线段的“等幂点”的是，故答案为：：②如图，∵是线段OA的“等幂三角形”，∴．∵点A的坐标为，若记中边上的高为h，则有．解得．∴点B在直线或上．∵是等腰三角形，∴点B在线段OA的垂直平分线上．OA的垂直平分线为x=,与直线或的交点为B1（，6），B2（，-6），综上所述，点B的坐标为（，6）或（，-6），（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，当x=0时，y=-3,N(0，-3),当y=0时，x-3=0，x=3，H(3，0)，∴ON=3=OH，△ONH为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，点D运动分两种情况，第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，∵TC⊥NH，∠OHN=45°，∴△TCH为等腰直角三角形，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，又因为△ECD为锐角三角形，点E在上运动，点E到CD的距离h的范围是，CD=CF÷cos45°=CF=(x-2)，∵线段的“等幂三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(x-2)，∴，解得，点D在H右侧，x>3，∴；第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在上运动，又因为△ECD为锐角三角形，GU=GH×cos45°=，∴，∵线段的“等幂三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(2-x)，则，解得，D的横坐标的取值范围为或．【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线，一次函数的性质，圆的性质，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，锐角三角形，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．9．（1）平行，P1；（2）的最小值为；（3）．【分析】（1）根据图形，比较PP1，PP2的长度即可求解；（2）根据已知条件求得∠P1BE=45，过P1作P1Q⊥BE于Q，则△P1QB为等腰直角三角形，利用特殊角三角函数值即可求解；（3）先找到最值点，再利用两点之间的距离公式即可求解．【详解】（1）解：由图可得MN∥M1N1，MN∥M2N2，∴M1N1∥M2N2，而PP1<PP2，故线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为PP1；故答案为：平行，P1；（2）∵B(0，)，C(，0)，四边形ABCD为正方形，∴BC=，∠BCA=45，∵E(，0)，∴CE=BC，∴∠1=∠2，则∠1+∠2=∠BCA=45，∴∠1=∠2=22.5，在Rt△BMN中，BP1为斜边上的中线，则BP1=MN==NP1，∴∠P1BN=∠P1NB，又MN∥BE，∴∠2=∠P1NB，∴∠2=∠P1NB=45，∠P1BE=∠2+∠P1BN=45，过P1作P1Q⊥BE于Q，则△P1QB为等腰直角三角形，在Rt△P1QB中，P1Q=P1B=，∴的最小值为；（3）解：根据题意，P1、P2分别是AB、BC的中点，则线段MN到正方形ABCD的“平移距离”最大为PP1，最小为PP2，此时，P1(，)，P2(，)，∴PP1=，PP2=，∴的取值范围是．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．10．（1）①；②；（2）①；②【分析】（1）①点A在y轴上，则点B在x轴上，且OB=OA=2，从而易得点B的坐标；②由OA=OB，过A、B分别作x轴的垂线于N、M，则可得△ANO≌△OMB，故有AN=OM=2，ON=BM=1，再由点在第二象限，从而可得点A的坐标；（2）①分别过点E、E作x轴的垂线，垂足分别为H、Q，则由，可得,由此可得点的坐标；②由①知，点的两个坐标相等，表明点在第一、三象限的角平分线上，当点位于第一象限的圆上时，最大,此时，从而可得点坐标为，这样可求得的最大值．【详解】解：（1）①因点A在y轴上，故点B必在x轴正半轴上，又OB=OA=2，所以点A坐标为；故答案为：．②如图，过A、B分别作x轴的垂线于N、M．则∠ANO=∠OMB=90，∴∠AON+∠A=90°∵∠AOB=90°，∴∠AON+∠BOM=90°，∴∠A=∠BOM，∵OA=OB，∴△ANO≌△OMB，∴AN=OM=2，ON=BM=1，根据题意，点A必在第二象限，∴A．故答案为：．（2）①如图，过点E作轴于点H，过点作轴于点Q．由题意可知，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．②∵EF∥x轴∴轴连接，延长交x轴于点H，则轴；过点作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两线交于点D，则，如图所示；由①知，点的两个坐标相等，∴，表明点在第一、三象限的角平分线上，且位于与圆相交的圆内的一条线段上运动，当点位于第一象限上的圆上时，即时，最大，∵△是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，在中，由勾股定理得：，即的最大值为：．【点睛】本题考查了新定义，对于新定义这类问题，关键是弄清楚新定义的含义，抓住问题的实质，本题新定义的实质是旋转，通过作x轴的垂线，构造两个全等的直角三角形，问题便容易解决．11．（1）①3，；②；（2）；（3）【分析】（1）①观察图象d的最小值是OA长,最大值是OB长,由勾股定理得出结果;②由题意知P1；（2）如图，可得OE1=3，解得此时x=，OE2=7，解得x=3，可求出范围；（3）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与弧HK相切，此时要想弧HK上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，分两种情形分别求出b的值即可判断．【详解】解：（1）①由题意知：OA＝3，OB＝，则d的最小值是3，最大值是；②根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点，故答案为3，，P1；（2）如图2中，由题意点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即OE1＝3，可得x＝，同理：当E2到⊙的最小距离为是6时，OE2＝7，此时x＝，综上所述，满足条件的x的值为≤x≤；（3）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，∴以C为圆心2为半径的圆刚好与弧HK相切，此时要想弧HK上任意两点都是圆C的平衡点需要满足CK≤6，CH≤6，如图3-1中，当CK=6时，作CM⊥HK于M．则，解得：（舍去），如图3-3中，当CH=6时，同法可得a=，b=，在两者中间时，a=0，b=5，观察图象可知：满足条件的b的值为．【点睛】本题属于圆综合题，考查了点P与点Q是图形W的一对平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．12．（1）见解析；（2）k≥4；（3）0＜m≤1或m＜0．【分析】（1）BA＝BM，∠ABM＝90°，则圆的半径AM＝AB＝AC，故点C在圆上，即可求解；（2）分a＝2、a＞2、a＜2三种情况，分别探究即可求解；（3）分m＝1、0＜m＜1、m＝0、m＜0、m＞1五种情况，通过画图探究即可求解．【详解】（1）∵BA＝BM，∠ABM＝90°，∴圆的半径AM＝AB＝AC，故点C在圆上，补全图形如图1，（2）设A（2，a），当a＝2时，正方形ABCD的顶点C恰好落在⊙A上（如图2）；当a＞2时，正方形ABCD的顶点均落在⊙A内部（如图3）；当a＜2时，正方形ABCD的顶点C落在⊙A外部（如图4）；∵反比例函数过点，∴当a≥2时，则k≥4，∴k的取值范围为：k≥4；（3）当m＝1时，正方形ABCD的顶点C恰好落在⊙A上（如图5）；当0＜m＜1时，正方形ABCD均落在⊙A内部（如图6）；当m＝0时，△ABO不存在；当m＜0时，正方形ABCD均落在⊙A内部（如图7）；当m＞1时，正方形ABCD的顶点C落在⊙A外部（如图8），（当m＝2时△ABO不存在）；综上分析，点A的横坐标m的取值范围为：0＜m≤1或m＜0．【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数、圆的基本知识，本题的关键是弄懂题意、正确画图，题目的综合强较强，难度较大．13．（1）①C2，C4；②且k≠1；（2）且t≠2．【分析】（1）①先确定出点C的横坐标的范围即可得出结论；②先确定出分界点点P，P'的坐标，即可得出结论；（2）表示出点D的坐标，再分点E在线段AD和BD上，求出AE，利用0≤AE≤2t，且AE≠t，即可得出结论．【详解】解：（1）当t＝2时，点B的坐标为（4，0），∵点D是AB的中点，∴D（2，0），①如图1，过点C作CE⊥AB于E，则∠CED＝90°，∴CE⊥AB，即点C和点E的横坐标相同，∵点E是以CD为直径与边AB的交点，∴0≤AE≤4，∵点E与点D重合，∴AE≠2，∴点E的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，即点E的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，∵点C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2），∴只有点C2，C4的横坐标满足条件，故答案为C2，C4；②∵△ABC的中线CD＝4，∴点C在以点D为圆心4为直径的弧上，由①知，点C的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，∴点C在如图2所示的上（点H（2，4）除外），∵点P是以CD为直径的圆的圆心，∴点P在如图2所示的上（点G（2，2）除外），在Rt△OAM中，AD＝2，MD＝4，根据勾股定理得，AO＝2，∴C（0，2），同理：C'（4，2），∵点P是DC的中点，∴P（1，），同理：点P'（3，），当直线y＝kx过点P（1，）时，得k=，当直线y＝kx过点P'（3，）时，得，当直线y＝kx过点G（2，2）时，得k＝1，结合图形，可得k的取值范围是且k≠1；（2）同（1）①知，点E的横坐标大于等于0小于等于2t，且不等于t，∵点D是AB的中点，且B（2t，0），∴D（t，0），当点E在线段AD上时，AE＝t﹣2（t﹣2）＝﹣t+4≥0，∴t≤4，当点E在线段BE上时，AE＝2（2﹣t）+t≤2t，∴t≥，∴且t≠2．【点睛】圆的综合题，考查了垂径定理，中点坐标公式，解题关键是判断出点E的横坐标大于等于0小于等于2t，且不等于t．14．（1）；（2）①；②或．【分析】（1）以AP为半径，以点P为圆心作圆，观察图形，结合题意即可解答；（2）①作∠MON的角平分线OE，ON的垂直平分线PF，OE和PF相交于点P，此时⊙P过点N，线段OP的长度是△MON关于∠MON的“劲度距离”最大值．由此求解即可；②由题意可知圆心都在直线y=x上，再分当t>0和t<0时两种情况求t的取值范围即可．【详解】（1）以AP为半径，以点P为圆心作圆，则符合要求．故答案为：；（2）①作∠MON的角平分线OE，ON的垂直平分线PF，OE和PF相交于点P，此时⊙P过点N，线段OP的长度是△MON关于∠MON的“劲度距离”最大值．易知，OE的函数表达式为y=x，PF的函数表达式为x=2，从而可得其交点坐标为P（2，2）．∴=OP=；②由题意可知，圆心都在直线y=x上，①当t>0时，当d最大为时，圆P经过点N，此时和①一样，点M在（0，5）处，即t=5；当d最小为时，圆P经过点M，此时点P的纵坐标为，所以点P的坐标（，），再由OP=可得，解得t=2；∴当t>0时，t的取值范围为．②同理，当t<0时，t的取值范围为．综上所述t的取值范围为或．【点睛】本题时一次函数和圆的综合题，正确理解题意是解决问题的关键．15．（1）D（2，0）；（2）①（4，0）或（8，0）；②b≤1；（3）r=或r≥3．【分析】（1）由两点距离公式分别求出AC、BC、DA、BD、AE、BE的长，即可求解；（2）①设等距点的坐标为（x，0），由题意可得2=|x-6|，即可求解；②根据题意，列出方程，由根的判别式可求解；（3）利用数形结合，即可求解．【详解】解：（1）∵A（6，0），B（0，2）、C（4，0），D（2，0），E（1，3），∴AC=2，BC=2；DA=4，BD=4；AE=，BE=，∵AD=BD，故点D是点A和点B的等距点，故答案为：D；（2）①设等距点的坐标为（x，0），∴2=|x-6|，∴x=4或8，∴等距点的坐标为（4，0）或（8，0），故答案为：（4，0）或（8，0）；②如图，设直线y=b上的点M为点A和直线y=2的等距点，连接MA，过点M作直线y=2的垂线，垂足为点N．∵点M为点A和直线y=2的等距点，∴MN2=MA2．∵点M在直线y=b上，故可设点M的坐标为（x，b），则(2-b)2=b2+(6-x)2，∴x2-12x+4b+32=0，∵方程有实根，∴△=(-12)2-4(4b+32)≥0，∴b≤1；（3）如图2，由题意知，直线l1和直线l2的等距点在直线l3：y=-x+上，而直线l1和y轴的等距点在直线l4：y=-x+2或l5：y=x+2上．∴r=或r≥3．【点睛】本题考查了两点距离公式，圆的有关知识，理解新定义，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．16．（1）C，D，逆（或D，C，顺）；（2）①，或；②．【分析】（1）根据两点间距离公式，分别求出AO、AB、AC、AD、OD的长，根据“关联点”及“顺关联点”的定义即可得答案；（2）①根据“关联点”的定义可得，可得∠QPA=60°，根据⊙O半径及点A坐标可得OA=OP=AP，可得△OAP是等边三角形，根据等边三角形点性质可得∠OAP=∠POA=60°，，，可得Q1（0，0），根据∠QPA=∠POA=60°，可得PQ//OA，即可得出点Q的横坐标和纵坐标，即可得Q2、Q3坐标，把Q1、Q2、Q3坐标代入直线l解析式求出b值即可；②作于点H，则，根据圆的性质分别求出b的最大值和最小值即可得答案．【详解】（1）∵，，∴AO=1，AB=，AC=1，AD=1，OD=，∴△ACD是等边三角形，∴C、D是点A的“关联点”，∵点A、C、D按顺时针排列，∴C、D是点A的“顺关联点”，故答案为：C，D，顺（或D，C，逆）（2）①如图．∵点P，点Q为点A的一对“关联点”，∴为等边三角形，，∴∠QPA=60°，∵以原点O为圆心作半径为1的圆，点P在⊙O上，OA=1，∴OA=OP=AP，∴△OAP是等边三角形，∴∠OAP=∠POA=60°，，，∴Q1（0，0），∵点Q在直线l上，∴b1=0，∵∠QPA=∠POA=60°，∴PQ//OA，∴点Q横坐标为+1=，∵，∴点Q纵坐标为，∴，当时，，解得：；当时，，解得：．综上所述，，或．②如图．∵点T，点S为点R的一对顺关联点，∴为正三角形，，轴，点T和点S在直线上．作于点H，则，当b取最大值时，，，此时．当b取最小值时，，，此时．综上所述，b的取值范围为．【点睛】本题考查等边三角形点判定与性质、圆点性质及一次函数图象上点点坐标特征，正确理解“关联点”点概念是解题关键．17．（1）①；②D、O；③b的取值范围为：；（2）的取值范围为．【分析】（1）①根据k倍直角点的定义计算即可求解；②根据“2倍直角点”的定义分别计算，即可判断；③根据“2倍直角点”的定义得到如图所示有正方形的边界即为点A的2倍直角点存在的区域，列式计算，即可求解；（2）若上存在点O的2倍直角点，即与如图的正方形有交点(正方形的边界为点O的2倍直角点存在的区域)，根据切线的性质以及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】（1）①根据k倍直角点的定义得：，故答案为：；②点C(2，3)，，点D(−1，1)，，点E(0，−2)，，点O(0，0)，，∴是点A的2倍直角点的是D(−1，1)，O(0，0)，故答案为：D、O；③如图，正方形的边界即为点A的2倍直角点存在的区域，若直线与其有交点，则过点(-1，1)时，b值最小，即，解得：，当过点(3，1)时，b值最大，即，解得：，∴b的取值范围为：；（2）若上存在点O的2倍直角点，即与如图的正方形有交点(正方形的边界为点O的2倍直角点存在的区域)，由图可知，当⊙T与正方形有交点为H(0，0)时，⊙T的半径最大，即；当⊙T与直线MN相切时，⊙T的半径最小，过T作TQ⊥MN于Q，即，根据正方形的性质知∠MNO=，∴,∵，∴，∴的取值范围为．【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，考查了正方形的性质，特殊角的三角函数值，切线的性质等知识，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“k倍直角点”的定义是解答此题的关键．18．（1）①5；②或7；（2）①且；②＜或【分析】（1）①根据题意把，代入计算即可；②把，代入公式，求得，去绝对值求得m的值即可；（2）①据题意，锐角三角形不可能为“和距三角形”，结合图像求出d的取值范围；②结合图形画出所有可能情况即可求出的取值范围．【详解】解：（1）①∵∴；故答案为：5②知点，若，∴∴，或∴或7；（2）①当＞时，不存在“和距三角形”，∴当时，构成直角三角形如图，符合要求，当时，构成钝角三角形如图，符合要求，∴且②据题意，点K的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆，且锐角三角形不可能为“和距三角形”，如图：∴综上所述：＜或【点睛】本题考查了新定义，类比法，点与圆的位置关系，圆的切线等，解