高中数学必修4三角函数常考题型：弧度制

弧度制【知识梳理】1．角度制与弧度制(1)角度制．①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的eq\f(1,360)作为一个单位．(2)弧度制．①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.3．角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).4．弧度与角度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°5.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π6．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝eq\f(παR,180)l＝αR扇形的面积S＝eq\f(παR2,360)S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2【常考题型】题型一、角度与弧度的换算【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq\f(2π,9).[解](1)72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5)；(2)－300°＝－300×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,3)；(3)2＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,π)))°；(4)－eq\f(2π,9)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)×\f(180,π)))°＝－40°.【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq\f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq\f(180,π)＝度数．【对点训练】已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(π,3).(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．解：(1)α1＝－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)，α2＝750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6).∵α1＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6)，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，设θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，则由－720°≤θ<0°，得－720°≤k·360°＋108°<0°(k∈Z)，解得k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°范围内，【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y＝－x上的角的集合．解：在0到2π范围内，终边落在直线y＝－x上的角有两个，即eq\f(3,4)π和eq\f(7,4)π，所有与eq\f(3,4)π终边相同的角构成的集合为S1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z))))，所有与eq\f(7,4)π终边相同的角构成的集合为S2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(7,4)π＋2kπ，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3,4)π＋2k＋1π，k∈Z))))，∴终边落在直线y＝－x上的角的集合为S＝S1∪S2＝αα＝eq\f(3,4)π＋nπ，n∈Z.【练习反馈】1．下列命题中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选D根据角度制和弧度制的定义可以知道，A、B是正确的；1rad的角是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°，故C也是正确的；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关，故D错误．2．角α的终边落在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π，－\f(5π,2)))内，则角α所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C－3π的终边在x轴的非正半轴上，－eq\f(5,2)π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．3．－135°化为弧度为________，eq\f(11π,3)化为角度为________．解析：－135°＝－135×eq\f(π,180)＝－eq\f(3,4)π；eq\f(11,3)π＝eq\f(11,3)×180°＝660°.答案：－eq\f(3,4)π660°4．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．解析：法一：－690°＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(690×\f(π,180)))＝－eq\f(23,6)π.∵－eq\f(23,6)π＝－4π＋eq\f(π,6)，∴－690°＝－4π＋eq\f(π,6).法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋eq\f(π,6).答案：－4π＋eq\f(π,6)5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为R，弧