人教版八年级数学上册 专题07 因式分解的六种方法大全（解析版）

专题07因式分解的六种方法大全题型一、提取公因式法与公式法综合例．分解因式：＝______．【答案】【详解】解：＝＝．故答案是：．【变式训练1】因式分解：=________________．【答案】【详解】解：原式=2x(4x2−4xy+y2)=2x(2x−y)2故答案为：2x(2x−y)2．【变式训练2】因式分解：_________．【答案】【详解】故答案为：．【变式训练3】分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）【详解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【变式训练4】小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．抗疫胜利 B．抗疫必胜 C．我必胜利 D．我必抗疫【答案】B【详解】解：原式＝，，，，，，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．对应抗，对应疫，对应必，对应胜故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜故选：B题型二、十字相乘法例．将多项式因式分解，结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：===．故选B．【变式训练1】多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求之值为何？（

）A． B． C．3 D．12【答案】A【详解】解：利用十字相乘法，把多项式因式分解，可得，∵多项式可因式分解成（3x+a）（bx+c）∴，，∴故选：A．【变式训练2】分解因式：____．【答案】【详解】解：．故答案为：【变式训练3】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若是多项式的一个因式，求的值；(2)若和是多项式的两个因式，试求，的值．(3)在（2）的条件下，把多项式因式分解．【答案】(1)；(2)，；(3)【解析】(1)解：是多项式的一个因式，当时，，解得；(2)和是多项式的两个因式，，解得．，．(3)解：由（2）得即为，．题型四、分组法例．分解因式：【答案】【详解】解：，，【变式训练1】已知，，则m与n的大小关系是（

）A． B．m>n C． D．m<n【答案】A【详解】解：∵，，∴，故选A【变式训练2】分解因式：．【答案】【详解】解：===【变式训练3】分解因式：__________．【答案】【详解】解：故答案为：．【变式训练4】阅读理解：把多项式分解因式．解法：观察上述因式分解的过程，回答下列问题：(1)分解因式：．(2)三边、、满足，判断的形状．【答案】(1)；(2)等腰三角形【解析】(1)解：(2)解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴C的形状是等腰三角形．题型四、添项、拆项法例．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2）【详解】解：x3﹣3x2﹣6x+8======（x﹣4）（x﹣1）（x+2），故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）．【变式训练1】把多项式分解因式：x3﹣2x2+1＝_________________．【答案】(x﹣1)(x2﹣x﹣1)【详解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+1＝x2(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)＝(x﹣1)(x2﹣x﹣1)故答案为：(x﹣1)(x2﹣x﹣1)【变式训练2】因式分解：【答案】【详解】原式．故答案为：【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式：①；又比如多项式可以这样分解：②；仿照以上方法，分解多项式的结果是______．【答案】【详解】解：，故答案为：题型五、换元法（整体思想）例．因式分解：【答案】【解析】解：【变式训练1】分解因式：【答案】【详解】===【变式训练2】因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【答案】【详解】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【变式训练3】因式分解：（1）

（2）【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）原式==；（2）原式====.题型六、主元法例．分解因式：.【答案】【详解】解：=∴原式．【变式训练1】因式分解：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）把a视为未知数，其它视为参数．原式；（2）原式=，=，再次运用十字相乘法可知原式；（3）选x为主元，原式．【变式训练2】因式分解：（1）（2）【答案】（1）；（2）【详解】（1）首先将原式按a的降幂排列，写成关于a的二次三项式，此时的“常数”提取公因式即可分解成，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成；（2）这是x的二次式，“常数项”可分解为再对整个式子运用十字相乘．【变式训练3】因式分解：【答案】【详解】原式．课后作业1．如果，那么的值为（

）A． B． C．1 D．－1【答案】B【详解】解：∵2m2+m-4=0，∴-2m2-m=-4，∴3m2018-m2019-2m2020=m2018×（3-m-2m2）=m2018×（3-4）=m2018×（-1）=-m2018，故选：B．2．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：底面积为（b﹣2a）2，侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a），∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a），提取公式（b﹣2a），M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a），＝（b﹣6a）（b﹣2a）故选：A．3．已知，则______．【答案】24【详解】解：，，，故答案为：．4．分解因式：____________．【答案】【详解】解：；故答案为：5．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)△ABC是等边三角形，理由见解析【解析】(1)解：；解：；(3)解：△ABC是等边三角形，理由如下：∵，∴，∴，∵，，∴a－b＝0，且b－c＝0，∴a＝b，且b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．6．把下列各式因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：．(2)．7．（1）把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解．（2）已知的三边长为，，，且满足，请判断的