函数模型与数学建模问题2021年高一年级上册学期数学期末考点（新人教必修）（原卷版）

精练15函数模型与数学建模问题

1.【山东省薄泽市2019-2020学年高一上学期期末联考】为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消

毒，室内每立方米空气中的含药量'（单位：毫克）随时间X（单位：力）的变化情况如下图所示，在药

（1

物释放的过程中，y与X成正比：药物释放完毕后，y与X的函数关系式为y=（。为常数），根

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据图中提供的信息，回答下列问题:

（1）写出从药物释放开始，y与％之间的函数关系式.

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放

开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教空？

2.【吉林省梅河口市三校2019-2020学年高一上学期期末联考】2018年10月24日，世界上最长的跨海大

桥---港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥上的车流速度V（单位：千米/时）是车流密度X（单位：

辆/千米）的函数.当桥下的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超

过20辆/千米时，车流速度为100千米/时.研究表明：当204x4220时，车流速度V是车流密度龙的一次

函数.

（1）当0WXM220时，求函数V（x）的表达式；

（2）当车流密度X为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f（x）=x-V（x）

可以达到最大？并求出最大值.

3.【云南省昆明市2019-2020学年高一期末质量检测】土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称

为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，

在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展

示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！”

（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤,

快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一

个函数模型，来说明以上结论；

（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择,

但最短3年，最长不超过10年；③投资年数x（xeN'）与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一利I

方案一：当x=3时，y=6,以后无每增加1时，》增加2；方案二：y=方案三：y=（3）'.请

你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案.

4.【广东省东莞市2019-2020学年高一期末】400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成,

大多数适宜的400米跑道两端被建成半径为35.00m至U38.00m之间的半圆.我市某学校新建成的400米跑道

平面图如图所示，跑道的两端是两个半径为36m的半圆.以跑道的中心为原点，对称轴为坐标轴建立如图直

角坐标系.

（1）求第一象限内跑道的函数解析式；

（2）某4x100接力队沿如图所示跑道进行训练，第三、四棒选手可以在点S处开始交接棒，终点尸设在

弯道与直道的交接处，点S到终点F的跑道长度为110米，求点S的坐标.（结果精确到米）.

参考数据：sin—«0.6,cos—«-0.8.

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5.【上海市上海中学2019-2020学年高一上学期期末】某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长

均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线

列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入X列列车.

（1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于X的函数解析式；

（2）要使内、外环线乘客的最长候车时间之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？

（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？

6.【广西钦州市2019-2020学年高一上学期期末】某电信公司为了加强新用5G技术的推广使用，为该公司

的用户制定了一套5G月消费返流量费的套餐服务方案;当月消费金额不超过100元时,按消费金额的8%进

行返还；当月消费金额超过100元时，除消费金额中的100元仍按8%进行返还外，若另超出100元的部分

消费金额为A元，则超过部分按21og5（A+l）进行返还，记用户当月返还所得流量费y（单位:元），消费金

额x（单位:元）

（1）写出该公司用户月返还所得流量费的函数模型；

（2）如果用户小李当月获返还的流量费是12元，那么他这个月的消费金额是多少元？

7.【江西省吉安市2019-2020学年高一上学期期末】第七届世界军人运动会（7thCISMMilitaryWorldGa

mes）,简称‘'武汉军运会”，于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，共设置射击、游泳、田径篮球

等27个大项、329个小项.来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.会议期间，某公司欲采购海南某

水果种植基地的水果，公司王总经理与该种植基地的负责人张老板商定一次性采购一种水果的采购价,（千

元/吨）与采购量x（吨）之间的函数关系的图象如图中的折线MNP所示（不包含端点M，但包含端点P）.

（1）求）'与X之间的函数关系式；

（2）已知该水果种植基地种植该水果的成本是8千元/吨，那么王总经理的采购量为多少时，该水果基地在

这次买卖中所获得利润卬最大？最大利润是多少？

8.【福建省龙岩市2019-2020学年高一上学期期末】一片森林原来面积为m计划每年砍伐一些树，每年砍

伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是20年.为保护生态

环境，森林面积至少要保留原面积的!，已知到今年为止，森林剩余面积为空”.

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（1）求每年砍伐面积的百分比；

（2）该森林今后最多还能砍伐多少年？

9.【湖北省宜昌市葛洲坝中学2019-2020学年高一上学期期末】美国对中国芯片的技术封锁激发了中国‘'芯"

的研究热潮.某公司研发的A,8两种芯片都己经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在

准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万

元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金无（千万元）的函数关

系为»=比"（%>0），其图像如图所示.

（1）试分别求出生产A