函数与图形相似相关问题-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题51函数与图形相似相关问题（15题）

1.（2020•柳州市柳林中学中考真题）如图①，在平面直角坐标系xOy中，批物线尸炉-4叶。（«<0）与

2

y轴交于点A,与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M.直线y=—a与x轴、y轴分

别交于8、C两点，与直线AM交于点O.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P,使得以P、A、C、。为顶点的四边形是平行四边形，求。的值；

（3）如图②，过抛物线顶点M作MNLx轴于N,连接ME,点。为抛物线上任意一点，过点Q作

QGLx轴于G,连接QE.当a=-5时，是否存在点Q,使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似

（不含全等）？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

图①图②

Cr\I

【答案】(1)直线X=2；(2)-y：(3)存在，点。的坐标为(-4,27)或(一］,或

419

(---,一).【详解】解：(1)•.,y=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,

39

/.抛物线的对称轴为直线x=2；

(2)由y=(x-2)?+4-4得：A(0,a),M(2,a-4),

2

由得C(0,-a),

设直线AM的解析式为y=kx-\-a9

将M(2,a-4)代人y=E+〃中，得2Z+a=a-4,

解得k=-2,

直线AM的解析式为y=-2x+af

3

y--2x+ax--a

4.3

联立方程组得《2，解得­,・・Dn(—a,

y=-x-ai44)

3y=——a

-2

Va<0,

.•.点。在第二象限，

又点A与点C关于原点对称,

•••AC是以P、A、C、。为顶点的平行四边形的对角线，则点尸与点。关于原点对称,

31

即尸(---a,—a),

42

将点代入抛物线-4x+m解得〃=一~］或〃=0(舍去),

.56

・・〃=----；

9

(3)存在,

理由如下：当〃=-5时，ynr-dx-Sn(x-2)2-9,此时M(2,-9),

令y=0,即0-2)2-9=0,解得笛=-1,及=5,

・・・点尸(-1,0)£(5,0),

:・EN=FN=3MN=9,

设点Q(m,m1-4m-5),则G(m,0),

.\EG=\m-5\QG=\m2-4〃？-5|,

又&QEG与△"可£都是直角三角形，且NMNE=NQGE=90。,

如图所示，需分两种情况进行讨论：

M

EGEN31m-5]_

i）当——=——二一二一时，即

QGMN93m2-4m-53

解得m=2或-4或"7=5（舍去）；

当加=2时点0与点M重合，不符合题意，舍去，

当加=-4时，此时。坐标为点彷（-4,27）；

QGEN31m2-4*51

EGMN93加-53

24

解得用=--或〃2=——或〃2=5（舍去），

33

2217

当m=-1时，。坐标为点。2（■»--），

4一…419

当m=一不，。坐标为点。3（一彳，一），

339

217419

综上所述，点。的坐标为（-4,27）或（---，----）或（----，一）.

3939

2.（2020•山东潍坊市•中考真题）如图，抛物线丁=0?+笈+83。0）与*轴交于点4（-2,0）和点

5（8,0）,与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,3cBe与抛物线的对称轴1交于点E.

（1）求抛物线的表达式；

3

（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接当Sd8C=—5“6c时，求点P的坐标；

（3）点N是对称轴1右侧抛物线上的动点，在射线E£）上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三

角形与AOBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-1x2+3x+8；（2）4（2,12）,£（6,8）；（3）在射线£D上存在点M,使得以点M,

N,E为顶点的三角形与AOBC相似，点M的坐标为：（3,8）,（3,5+J石）或（3,11）.

【详解】⑴•.•抛物线丁=加+乐+8("0)过点A(-2,0)和点B(8,0)

f1

4a—2。+8=0a=—

「・4/.<2

64。+86+8=0.勺

19

，抛物线解析式为：y=--x2+3x+8

(2)当x=0时，y=8

.-.C(0,8)

，直线BC解析式为：y=-x+S

•：S=-ABOC=-X10XS=4Q

EABBCC22

3

SAPBC=gS,ABC=24

过点P作PG±x轴，交x轴于点G,交BC于点F

设—万/+3t+8)

：.PF=--t2+4t

2

.■.SPOHVC=2-PFOB=24

即2x|_g/+4，x8=24

/.Zj=2,Z2=6

.•.4(2,12),2(6,8)

•.△03。为等腰直角三角形

b

1x=------

抛物线）=一5/0+3*+8的对称轴为2a

•••点E的横坐标为3

又•.•点E在直线BC上

•••点E的纵坐标为5

£（3,5）

设”(3,一g/+3〃+8)

①当MN=EM,/EMN=90。ANME〜MOB晌

m-5=n—3

12Q

——n+3n+Q8=m

I2

n=6n=-2

解得，或4〔…（舍去）

"2=8

•・.此时点乂的坐标为（3,8）

②当ME=EN,NMEN=90°时

m-5=n-3

1

—rT9+3〃+8=5

2

m=5+Vl~5\m=5-V15

解得:或〈（舍去）

〃=3+屏-rt=3-V15

此时点M的坐标为卜,5+J将）

③当MN=EN,ZMNE=900时

连接CM,易知当N为C关于对称轴1的时称点时，/\MNE△COB,

此时四边形CMNE为正方形

，CM=CE

•.•C（0,8）,£（3,5）,M（3,/n）

CM=42+（m-8）2,CE=F+（5-8）2=3&

亚+（m-8）2=3V2

解得：=5（舍去）

此时点M的坐标为（3,11）

在射线££＞上存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与AOBC相似，点M的坐标为：（3,8）,

（3,5+屏）或（3,11）.

【名师点拨】

本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、

正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线.

3.（2020•广东中考真题）如图，抛物线y=l±2叵/+饭+c与X轴交于A，3两点，点A，3分别位

6

于原点的左、右两侧，30=340=3,过点5的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D，

BC=6CD.

（1）求h,C的值；

（2）求直线BO的函数解析式；

（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点。在射线84上，当八46。与A8PQ相似时，请直接写

出所有满足条件的点。的坐标.

(2百)

【答案】（1）-1--；—(2)y一旦+百(3)1----,0,(1—25/3,0),

、3223I3/

-1,0,(5-273,0)

\7

【提示】

将A,B代入>=关5%2+区+c得出关于忆c

(1)根据BD^3AO=3,得出4TQ)，5(3,0),

的二元一次方程组求解即可;

（2）根据二次函数是y=给Tf

，BC=SCD，8（3,0）,得出。的横坐标

6i3J22

为一百，代入抛物线解析式求出。（一百，百+1），设5。得解析式为：y=kx+b,将B,D代入求解即

可;

（3）由题意得tan/ABD=1,tanNADB=l,由题意得抛物线的对称轴为直线x=l,设对称轴与x轴交

3

点为M,P(1,n)且n<0,Q(x,0)且x<3,分①当△PBQs/\ABD时，②当△PQBs/\ABD时，③

当小PQB^ADAB时，④当△PQB^AABD时四种情况讨论即可.

【详解】

解：⑴"0=340=3,

/.A(-LO),3(3,0),

3+G,「

--------b+c=Q

.,.将A,B代入y=3+,一/+fee+c得<b

27+96n

3Z?+c=0

[---------b---------1-

b——1---

3

解得《

百31

c---------

22

.•"=一1—正3V3

c-----------；

322

(2)..•:次函数是y=+—]一理，BC=/CD，3(3,0),

6I3J22

•••。的横坐标为-G,

3+Gc(,6、；-3V3

代入抛物线解析式得y=1—x3+1+—xV3---^r

3

2

=+1

••.0(-6,6+1),

设6。得解析式为：)=丘+。

V3+1=-下＞k+b

将B,D代入得〈

0=3上+8

L__v[

解得《3,

Jl线BD的解析式为y=—立■x+G；

3

(3)由题意得tan/ABD=^^,tanNADB=l,

3

由题意得抛物线的对称轴为直线x=l,设对称轴与x轴交点为M,P(1,n)且n<0,Q(x,0)且x<3,

①当△PBQ^AABD时，tan/PBQ=tan/ABD即一=土

23

解得A苧

tanZPQB=tanZADB即----=1,

\—x

解得x=i-2叵，

3

此时Q的坐标为（1-2更，0）：

3

②当△PQB^AABD时，tanZPBQ=tanZADBE|l—=1,

2

解得n=-2,

tanZQPB=tanZABD即二^=立,

1-X3

解得X=1-2A/3，

此时Q的坐标为（1-2月,0）；

③当△PQB^ADAB时，tanZPBQ=tanZABD即？=立，

23

解得普

-nV3+1

tanZPQB=tanZDAB即

x-l—1+yfi

解得广哈,

此时Q的坐标为（迪-1,0）；

3

④当△PQBsz^ABD时，tanZPBQ=tanZABDKR—=1,

2

解得n=-2,

tanZPQB=tanZDAB即——=---^-=,

X-1—14-\J3

解得x=5・2A/3♦

Q的坐标为（5-273.0）；

（2

综上：Q的坐标可能为1------,0,（1—2^3,0）,（5一2百,0）.

【名师点拨】

本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题

关键.

4.(2020•山东聊城市•中考真题)如图，二次函数y=ox2+Zu+4的图象与x轴交于点A(—1,0),

3(4,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为。，其对称轴与线段8c交于点E,垂直于X轴的动直线/分

别交抛物线和线段于点P和点R，动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移

动到3点.

(1)求出二次函数,=0^+笈+4和BC所在直线的表达式；

(2)在动直线/移动的过程中，试求使四边形DEEP为平行四边形的点尸的坐标；

(3)连接CP,CD,在动直线/移动的过程中，抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点

的三角形与ADCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=—/+3x+4,y=r+4：⑵P(*引；⑶存在，点P的坐标是件.

【提示】

(1)将A(-l,0),8(4,0)代入丁=始：2+区+4,解出a,b得值即可；求出C点坐标，将C,B代入线

段6C所在直线的表达式丁=/砒+",求解即可；

(2)根据题意只要£陀=所，四边形。呼P即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE,设点

尸的横坐标为f，则尸“，一/+3/+4),F(t,-t+4),得出/^=_/+金，根据。E=P/L得

-t2+4t=—,求解即可;

4

(3)由(2)知，/CED=NCFP，根据NPCE与ZDCE有共同的顶点C,且NPCE在ZDCE的内

部，只有当NPb=NC£)E时，APCFskCDE，利用勾股定理，可得

+4//

515PFCF

CE=--»根据——=~~»即3“一15，解出t

24CEDE—

2

值，即可得出答案.

【详解】

解：(1)由题意，将A(—1,O),8(4,0)代入、=如2+法+4,

a-b+4=0

得

16。+4〃+4—0

a——\

解得《

b=3

；•二次函数的表达式y=-x2+3x+4,

当x=0时，y=4,得点C(0,4),又点8(4,0),

设线段8。所在直线的表达式y=如+〃,

n—4m=-1

)八，解得〈

4m+n-(J72=4

BC所在直线的表达式y=-x+4：

(2)•••£>£：_Lx轴，PF_Lx轴,

①

只要DE=PF，此时四边形。EEP即为平行四边形,

\2

*+3»4=-二25

由二次函数y=H---»

I2

74

325

得点D5'T

335

将》=一代入y=-x+4,即丁=一一+4=—,得点E

222ii-

3纪二15

424

设点p的横坐标为r,则P”,一户+3r+4),F(f,T+4),

PF=-t2+3t+4-(T+4)=-t2+At

由。石得一/+4/="

4

35

解之，得%=己（不合题意舍去），t=-

222

2

5(5521

当/时，一/+3/+4=——I+3x—+4

22~4

521

5'T

(3)由(2)知，PF//DE,

二ZCED=ZCFP,

又ZPCF与ZDCE有共同的顶点C,目.ZPCF在NDCE的内部,

二ZPCF^ZDCE.

：.只有当ZPCF=ZCDE时，\PCFsbCDE,

325

山,C(0,4),EI，1，

D2'T

2

3、325515

利用勾股定理，可得CE=4--|=-V2.DE-----=--

2,22424

由（2）以及勾股定理知，PF=-t2+4/.

CF="+[4-(T+4)]2=",

PFCF-广+4=叵

=—>即3rz15-

CEDE一，2

24

vr^o.

,16.2c,<16?°16,84

当『=一时，—产+37+4=一|一+3x-+4=一，

515J525

.♦.点P的坐标是

【名师点拨】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性

质，勾股定理，灵活运用知识点是解题关键.

5.(2020.广东广州市.中考真题)如图，平面直角坐标系xOy中，00ABe的边。。在x轴上，对角线

AC,03交于点M,函数y=：(x>0)的图象经过点A(3,4)和点

(1)求上的值和点M的坐标；

(2)求。Q4BC的周长.

【答案】(I)k=12,M(6,2)；(2)28

【提示】

k

(I)将点A(3,4)代入y=-中求出k的值，作AD，x轴于点D,MELx轴于点E,证明

x

MEMC112

△MEC^AADC,得到==一,求出ME=2,代入y=一即可求出点M的坐标;

ADCA2x

（2）根据勾股定理求出0A=5,根据点A、M的坐标求出DE,即可得到0C的长度，由此求出答案.

【详解】

k

(1)将点A(3,4)代入丁二一中，得k=3x4=12,

x

V四边形OABC是平行四边形，

AMA=MC,

作AD，x轴于点D,MEJ_x轴于点E,

AME/7AD,

AAMEC^AADC,

.ME_MC

*AD--GA"2?

・・・ME=2,

12

将y=2代入y=一中，得x=6,

x

・••点M的坐标为(6,2)；

.\OD=3,AD=4,

-OA=YIOD2+AD2=5,

VA(3,4),M(6,2),

/.DE=6-3=3,

ACD=2DE=6,

J003+6=9,

・•・O。43c的周氏=2(OA+OC)=28.

【名师点拨】

此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相

似三角形的判定及性质.

6.（2020•辽宁鞍山市•中考真题）在矩形ABC。中，点E是射线上一动点，连接AE，过点8作

于点G,交直线CO于点F.

（1）当矩形ABCD是正方形时，以点尸为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH,连

接EH.

①如图1,若点E在线段8C上，则线段AE与E”之间的数量关系是，位置关系是；

②如图2,若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，

请说明理由；

（2）如图3,若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作口BEHF,M是中点，连接GM,

AB=3,BC=2,求GM的最小值.

【答案】（1）①相等：垂直；②成立，理由见解析；（2）2叵

13

【提示】

（1）①证明△ABE/ABCF,得至IJBE=CF,AE=BF,再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结

果；

②根据（1）中同样的证明方法求证即可；

（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x,证明

△ABE-ABCF,得到CF,再利用勾股定理表示出EF=j£/一以+4,求出最值即可得到GM的最小

值.

【详解】

解：（1）①•••四边形ABCD为正方形，

；.AB=BC,/ABC=/BCD=90°,即NBAE+/AEB=90°,

VAE1BF,

，ZCBF+ZAEB=90°,

AZCBF=ZBAE,又AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

AAABE^ABCF(AAS),

/.BE=CF,AE=BF,

VAFCH为等腰直角三角形，

，FC=FH=BE,FH±FC,而CD_LBC,

，FH〃BC,

•••四边形BEHF为平行四边形，

；.BF〃EH且BF=EH,

.♦.AE=EH,AE±EH,

故答案为：相等；垂直；

②成立，理由是：

当点E在线段BC的延长线上时，

同理可得：△ABE丝ZXBCF(AAS),

；.BE=CF,AE=BF,

VAFCH为等腰直角三角形，

；.FC=FH=BE,FH±FC,而CDJ_BC,

；.FH〃BC,

四边形BEHF为平行四边形，

，BF〃EH且BF=EH,

；.AE=EH,AE±EH；

(2)VZEGF=ZBCD=90°,

.♦.C、E、G、F四点共圆，

•.•四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，

.•.M也是EF中点，

AM是四边形BCHF外接圆圆心，

则GM的最小值为圆M半径的最小值，

VAB=3,BC=2,

设BE=x,则CE=2-x,

同(1)可得：ZCBF=ZBAE,

XVZABE=ZBCF=90°,

AAABE^ABCF,

:•四="即」

BCCF2CF

•••EF=JCE2+C产

=.-x2-4x+4，

V9

、几132

设y=——4ylx+4A,

.9

18,-J6

当x=一时，y取取小值一，

1313

...EF的最小值为生叵,

13

故GM的最小值为2姮.

13

【名师点拨】

本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值,

圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键.

1,

7.（2020•湖北鄂州市•中考真题）如图，抛物线y=/JT+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左

边），与y轴交于点C.直线y=］尤-2经过B、C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、

M.PN上BC,垂足为N.设

①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）.请直

接写出符合条件的m的值；

②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P,使△PNC与△AOC相似.若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

1,31

【答案】（1）y=-x一一X-2-,（2）-2,一一,1；（3）存在，（3,-2）

222

【提示】

（I）根据直线y=；x—2经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线

y=+c可得答案；

131

（2）①由题意得P（m,-m2一一m-2）,D（m,一加一2）；根据P、D、M三点中恰有一点是其它两

222

点所连线段的中点列式计算即可求得m的值；

②先证明AAOC^ACBO,得出ZACOZABC.再根据MNC与△AOC相似得出

ZACOZPCN,则NABC=NPCN,可得出AB//PC,求出点P的纵坐标，代入抛物线

1,3

丁=一/一一-2,即可求得点P的横坐标.

-22%

【详解】

解：(1)由直线y=gx-2经过B、C两点得B(4,0),C(0,-2)

将B、C坐标代入抛物线得

,3

c=-2b=—

，解得《2,

8+4Z?+c=0

c=-2

.••抛物线的解析式为:山』.2

-22

(2)①；PN上BC,垂足为N.A/(m,O)

.123cc

••P(m,—tn—m—2),D(m,

222

分以下几种情况：

工-2

22

解得叫=-2,吗=4(舍去);

力上”2)

222

131

D是MP的中点时，2MD=MP,即一加~9一一加一2二2（一加—2）

222

解得班=1,m2=4（舍去）；

，符合条件的m的值有-2,1；

2

AA(-1,0),B(4,0),C(0,-2)

/.AO=1,CO=2,BO=4,

又NAOC=NCOB=90。,

COBO

AAOC^ACOB,

...ZACOZABC.

,/△PNC与△AOC相似

ZACOZPCN,

，ZABC=ZPCN.

AB//PC.

i3

二点P的纵坐标是-2,代入抛物线y=5九2一58一2,得

123cc

-x—x—2=—2

22

解得：％=0（舍去），々=3,

...点P的坐标为：（3,-2）

【名师点拨】

本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判

定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类

讨论的思想解决数学问题.

8.（2020.云南中考真题）抛物线丁=/+云+。与x轴交于A、8两点，与V轴交于点C,点A的坐标

为（一1,0）,点C的坐标为（0,-3）.点p为抛物线y=f+bx+c上的一个动点.过点P作P£）_Lx轴于

点、D，交直线8。于点£；.

（1）求b、c的值；

（2）设点尸在抛物线了=/+"+。的对称轴上，当AAC尸的周长最小时，直接写出点尸的坐标；

（3）在第一象限，是否存在点尸，使点尸到直线8C的距离是点。到直线8C的距离的5倍？若存在，

求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）b=-2,c=-3;（2）F（1,-2）（3）P（5,12）

【提示】

（1）根据待定系数法即可求解；

（2）根据题意求出B点坐标，得到直线BC的解析式，再根据对称性可得P点为直线BC与对称轴的交

点，即可求解；

（3）过P点作PGJ_BC的延长线于G点，过D点作DHLBC的延长线于H点，得到△DEHs^PEG,

PEPG5

根据题意可得---=----=—,可设P（m,m2-2w-3）,E（m,m-3）表示出PE,DE,故可求出m的

DEDH1

值，故可求解.

【详解】

（1）把A（-l,0），C（0,-3）代入y=/+>x+c

1-b+c=Q

得《

c=-3

b=-2

解得《

c=-3

y-_2x_3

(2)Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4

，对称轴为x=l

VA(-l,0),

AA点关于x=l对称的点B为(3,0)

如图，连接BC,

设直线BC解析式为y=px+q

3p+q=0

把B(3,0),C(0,-3)代入得，

q=-3

p=i

解得《

q——3

二直线BC解析式为y=x-3

当x=I时，y=-2

/.直线BC交对称轴x=l与F(1,-2)

VCAACF=AC+AF+CF=AC+BF+CF=AC+BC,

故此时AACF的周长最小，F(1,-2)；

(3)存在点P使点P到直线BC的距离是点。到直线的距离的5倍,

设P(m.m2-2m-3),

•*.E(m,m-3)

如图，过P点作PGLBC的延长线于G点，过D点作DHJ_BC的延长线于H点,

；.DH〃PG

.♦.△DEHS/XPEG

PEPG5

~DE~~DH~1

PE=m2-2m-3-(m-3)=nr-3m>DE=m-3

.nv-3m「

••-----------二5

m-3

解得mi=5,m?=3

m=3时，分母为0不符合题意，故舍去

【名师点拨】

此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质、对称性及相似三角

形的判定与性质.

9.(2020•山东烟台市•中考真题)如图，抛物线y=ax?+bx+2与x轴交于A,B两点，且OA=2OB,与y

轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=L,D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作

2

DELOA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.

(1)求抛物线的表达式；

(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；

(3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与ABOC相似？若存在，求出m的

值；若不存在，请说明理由.

【答案】(Dy=-x2+x+2；(2)D(l,2)；(3)存在，m=l或匕』亘

4

【提示】

(1)点A、B的坐标分别为(2t,0)、(-t,0),则x='=L(2t-t),即可求解；

22

(2)点D(m,-m2+m+2),则点F(m,-m+2),则DF=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m,即可求

解；

(3)以点O,D,E为顶点的三角形与ABOC相似，则竺=竺或生，即竺=2或工，即可求

OEOCOBOE2

解.

【详解】

解：(1)设OB=t,则OA=2t,则点A、B的坐标分别为(230)、(-t,0),

贝i]x=——(2t-t),解得：t=l,

22

故点A、B的坐标分别为(2,0).(-1,0),

则抛物线的表达式为:y=a(x-2)(x+1)=ax2+bx+2,

解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-x2+x+2；

(2)对于y=-x2+x+2,令x=0,则y=2,故点C(0,2),

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-x+2,

设点D的横坐标为m,则点D(m,-m2+m+2),则点F(m,-m+2),

则DF=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m,

V-l<0,故DF有最大值，此时m=l,点D(l,2)；

(3)存在，理由：

点D(m,-m2+m+2)(m>0),则OD=m,DE=-m2+m+2,

以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似,

DEOBOC„DE…1-m1+加+2

则t一=—或一，即n一=2或一，即Bn=2或1

OEOCOBOE2m

解得：m=l或-2（舍去）或1+J药或1一回（舍去）,

44

17.।1+J33

故m=1或-------.

4

【名师点拨】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力.会利用数形结合的思想把代数和几何

图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键.

10.（2020•海南中考真题）抛物线y=/+笈+c经过点A（-3,0）和点B（2,0）,与V轴交于点C.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是该抛物线上的动点，且位于V轴的左侧.

①如图1,过点P作PD_Lx轴于点O，作轴于点E，当HD=2PE时，求PE的长;

②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得NACP=NOCB?若存在，请求出所有点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

2备用

【答案】⑴二f+工一6；（2）①2或3士产;②存在；（_2,7）或（-8,50）

【提示】

（1）用待定系数法求解即可；

（2）①设尸£=£。>0）,则PD=2f,排除当点P在x轴上，然后分两种情况求解：i.如图I,当点P在

第三象限时；”.如图2,当点P在第二象限时；

②存在，过点A作A”_LAC于点A，交直线CP于点”，由VC4"：VCQB可得

^=—=-=过点〃作“知J_x轴于点A/，由VHM4:VAOC,求出MH、MA的值，然后

ACOC63

分点P在第三象限和点P在第二象限求解即可.

【详解】

解：（I）；抛物线y=f+Ax+c经过点A（—3,0）、5（2,0）,

9-3b+c=Q

4+2。+c=0

b=1

解得《，

c=-o

所以抛物线的函数表达式为y=r+x—6：

（2）①设PE=t{t>0）,则PD=2t.

因为点p是抛物线上的动点且位于y轴左侧，

当点p在x轴上时，点p与A重合，不合题意，故舍去，

因此分为以下两种情况讨论：.

i.如图1,当点尸在第三象限时，点尸坐标为（T,—2，）,

则r—t—6——2t>即厂+>—6=0,

解得乙=2,弓=一3（舍去），

:.PE=2-.

五如图2,当点P在第二象限时，点尸坐标为（-f,2f）,

则/一f-6=2t，即产一3f一6=0，

解得3+屈3—屈（舍去）,

'222

.3+屈

PE=---------，

2

综上所述，PE的长为2或过二届；

2

②存在点P，使得NACP=NOCB，理由如下:

当x=0时，y=-6,

/.C(0,-6),

OC=6，

在油AAOC中，=白2+62=3也.

过点A作4HJ_AC于点A，交直线CP于点H，

则ZCAH=ZCOB.

又ZACP=/OCB,

NCAH:NCOB,

♦_A__H____O__B___2___\

"AC~OC~6~3'

过点“作轴于点M,则/™4=NAOC，

QZMAH+ZOAC=90°,ZOAC+ZOCA=90°,

AMAH=ZOCA.

：NHMA:NAOC,

•MH一MA_AH

"OA~OC~'AC

,MHMA1

目口-

363

・•.MH=IMA二2,

i.如图3,当点P在第三象限时，点H的坐标为(-5,-1),

图3

由〃(一5,—1)和。(0,-6)得，

直线CP的解析式为y=-x-6.

于是有x2+x-6=-%-6>

即/+2x=0，

解得Xi=-2,々=0（舍去）,

.・•点P的坐标为(-2,T)；

，.如图4,当点P在第二象限时，点”的坐标为(—1,1),

由”（一1,1）和。（0,—6）得，

直线CP的解析式为y=-7x-6,

卜是有+x—6——7x—6,

即f+8x=0，

解得玉=-8,々=。(舍去)，

二点P的坐标为(一8,50),

综上所述，点P的坐标为(-2,-4)或(-8,50).

【名师点拨】

本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性

质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.本题难度较大，属中考压轴题.

11.(2020•四川内江市•中考真题)如图，抛物线^=℃2+"+<:经过4(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)

三点，点。(x,y)为抛物线上第一象限内的一个动点.

(1)求抛物线所对应的函数表达式；

(2)当的面积为3时，求点。的坐标；

(3)过点。作垂足为点E,是否存在点。，使得ACDE中的某个角等于NABC的2倍？若

存在，求点。的横坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y——x2+—X+2；(2)(3,2)或(1,3)；(3)存在，2或—.

2211

【提示】

(1)根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM

的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；

(3)分NDCE=2/ABC及/CDE=2NABC两种情况考虑：①当/DCE=2/ABC时、取点F(0,

-2),连接BF,则CD〃BF,由点B,F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF,CD的解析式，联立直

线CD及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当NCDE=2NABC时，过点

C作CNLBF于点N,交OB于H.作点N关于BC的对称点P,连接NP交BC于点Q,由

△OCHs/\OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程

组，通过解方程