函数模型与数学建模问题2021年高一年级上册学期数学期末考点（新人教必修）（解析版）

精练15函数模型与数学建模问题

1.【山东省薄泽市2019-2020学年高一上学期期末联考】为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消

毒，室内每立方米空气中的含药量V（单位：毫克）随时间X（单位：的变化情况如下图所示，在药

物释放的过程中，y与X成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=D（。为常数），根

据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式.

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放

开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教空？

10x,0<x<0.1

【答案】（i）y=黑k1…Y-0-1。」（2）0.6/?

【详解】

解：（1）依题意，当OWxWO.l时，可设y=依，且l=O.bt,解得左=1（）

又由1=「，解得4=0.1,

10%,0<x<0.1

,x>0.1

1、。-0.1z।、2a-0.2[

—<0,25-W-<-.得方一0.2>1,解得x>0.6,

(16j⑷4

即至少需要经过0.6〃后，学生才能回到教室.

2.【吉林省梅河口市三校2019-2020学年高一上学期期末联考】2018年10月24日，世界上最长的跨海大

桥--一港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥上的车流速度丫（单位：千米/时）是车流密度》（单位：

辆/千米）的函数.当桥下的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超

过20辆/千米时，车流速度为100千米/时.研究表明：当20Wx4220时，车流速度V是车流密度x的一次

函数.

(1)当0<xV22()时，求函数V(x)的表达式;

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)=x-V(x)

可以达到最大？并求出最大值.

100,0<x<20

【答案】(1)V(x)=41；(2)当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最

--X+110,20<x<220

I2

大值为6050辆/时.

【详解】

解：(1)由题意，当04xW20时，V(x)=100；当20<x4220时，设V(x)=ax+/?.

V(20)=20«+/?=100

因为4解得一_一万

V(220)=220a+8=0

)=110

100,0<x<20

所以V(x)=41

——x+110,20<x<220

2

100%0<x<20

(2)由⑴得/(X)=412

——x+110%

I220<x<220

当04x420时，/(x)的最大值为/(20)=2000：

当20<x〈220时，/(X)=-^(X-110)2+6050,则当x=110时，f(x)的最大值为7(110)=6050.

综上所述：当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.

3.【云南省昆明市2019-2020学年高一期末质量检测】土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称

为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，

在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展

示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！”

(1)在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤,

快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一

个函数模型，来说明以上结论；

(2)小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择,

但最短3年，最长不超过10年；③投资年数x(xeN")与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一种:

方案一：当x=3时，y=6,以后X每增加1时，y增加2；方案二：y=1x2；方案三：y=('.请

你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案.

±s

【答案】(1)/(x)=^-(l<x<5,xeN);(2)答案见解析.

【详解】

(1)设顾客一次购买x斤土豆，每斤土豆的单价为了(x)元，

由题意知：/(x)=(l<x<5,xeN),

因为〃x)=±*=l+L所以y=/(x)在［1,5］为单调递减函数.

XX

说明一次购买的斤数越多，单价越低；

(2)根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案.

由题意可知方案一对应的解析式为：>'=6+(x—3)x2=2x.

列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可得

出如下结论：

投资年数X

345678910

总回报y

方案一681()1214161820

16254964100

方案二3TT12TT27亍

457810

方案三33彳3^93735273-

当投资年数为3~5年时，选择方案-最佳：

当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳；

当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳；

当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳；

当投资年数为1。年时，选择方案三最佳.

4.【广东省东莞市2019-2020学年高一期末】400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成,

大多数适宜的400米跑道两端被建成半径为35.00m到38.00m之间的半圆.我市某学校新建成的400米跑道

平面图如图所示，跑道的两端是两个半径为36nl的半圆.以跑道的中心为原点，对称轴为坐标轴建立如图直

角坐标系.

(1)求第一象限内跑道的函数解析式;

(2)某4x100接力队沿如图所示跑道进行训练，第三、四棒选手可以在点S处开始交接棒，终点尸设在

弯道与直道的交接处，点S到终点F的跑道长度为110米，求点S的坐标.(结果精确到米).

参考数据：sin—«0.6,cos—«-0.8.

22

'360<%<100-18^-

［答案］(1)y=\=-------------7；(2)(65,29).

V362-(X-100+18^)2,x>100-18万

【详解】

(1)由题可知每段直道长度为%二0三=200-36%，则。2的坐标为(100-18肛0),

2

当0<%<100—184时，y=36,

当x2］00—18%时，y=j36?-。-100+18%)2，

36,0cx<100-18万

所以/—----------------r

7362-U-100+18^)2,X>100-18^

(2)如下图，过点。2作X轴的垂线交跑道于点4,跑道与x轴交于点B,

记Z.AO2S=a,NBO2s=f3,

则A5=110-(200-36%)=36万一90,

57171J5571

所以a=92=*—,Dn=---a=---TV——

36222I2

57t

x=100—18万+36cos=100-18^+36sin-«100-18x3.14+36x0.6=65,

s2

5R=-36cosgx-36x(-0.8)=29,

ys=36sin

所以点S的坐标为(65,29).

5.【上海市上海中学2019-2020学年高一上学期期末】某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长

均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线

列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x列列车.

（1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于X的函数解析式；

（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？

（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？

【答案】（1）/内=如,以=一（l«x«17,xeN*）；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内

环线10列列车,外环线8列列车..

【详解】

（1）根据题意可知，内环投入x辆列车，则外环投入（18-x）辆列车,

从而可得内环线乘客的最长候车时间为'内=言30'60=190分钟，

3060

外环线乘客的最长候车时间为以=TT-TZ_7X60=--分钟，

3U（lo-X）1o-X

根据实际意义，可知1WX417,尤eN*,

所以%=见，际=（1N*）；

x18-x

（2）由题意可得卜内一f外卜日一萨二-1,

X1O-A

X2+132x-1620<0

整理得《

X2-168x+1620<0

所以,-132+V23904

<x<-------------

2

因为XEN*，所以X=11.

所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分

钟；

,/、90601620-30%

令M(x)=f内+，外=:"+

18—x18x-x2

30(54-x)__________30(x-54)________

18x-x2-(x-54)2+90(^-54)+36x54

_30__________30

,0八36x54八八Mr/一、36x54、

(x-54)+---------+9090-［(54-x)+----------］

x-5454-x

可以确定函数在［1,54-18#］上单调递减，在［54-18布,17］上单调递增,

结合xeN*的条件，可知当x=10时取得最小值，

所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小.

6.【广西钦州市2019-2020学年高一上学期期末】某电信公司为了加强新用5G技术的推广使用，为该公司

的用户制定了一套5G月消费返流量费的套餐服务方案；当月消费金额不超过100元时,按消费金额的8%进

行返还；当月消费金额超过100元时，除消费金额中的100元仍按8%进行返还外，若另超出100元的部分

消费金额为A元，则超过部分按210g5（A+1）进行返还，记用户当月返还所得流量费y（单位:元），消费金

额x（单位:元）

（1）写出该公司用户月返还所得流量费的函数模型；

（2）如果用户小李当月获返还的流量费是12元，那么他这个月的消费金额是多少元？

0.08x,0<x<100

:

【答案】（1）y=Lzs'inn⑵124元

8+21og5（x-99）,x>100

【详解】

（I）由题意，当100时，3'=0.08%,

当x>100时，超出100的部分A=x—100,

则超出部分返还210g5（%—99）,未超出的部分返还8元，

故此时，y=8+21og5（x-99）,

..[0.08x,?100x<

综上所述："x）=18+log5（x-99）,?x>100-

（2）由xe（O/OO],（）.（）8xV8,而y=12,'XAIOO.

因此令8+21og5（x-99）=12,解得尤=124（元）.

.•.小李这个月的消费金额是124元.

7.【江西省吉安市2019-2020学年高一上学期期末】第七届世界军人运动会(7thCISMMilitaryWorldGa

mes),简称〃武汉军运会”，于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，共设置射击、游泳、田径篮球

等27个大项、329个小项.来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.会议期间，某公司欲采购海南某

水果种植基地的水果，公司王总经理与该种植基地的负责人张老板商定一次性采购一种水果的采购价V(千

元/吨)与采购量x(吨)之间的函数关系的图象如图中的折线MNP所示(不包含端点M,但包含端点尸).

(1)求V与x之间的函数关系式；

(2)己知该水果种植基地种植该水果的成本是8千元/吨，那么王总经理的采购量为多少时，该水果基地在

这次买卖中所获得利润W最大？最大利润是多少？

16,0<x<8,

【答案】(1)丁=11(2)采购量为12吨时，最大利润为72千元

——x+20,9<x416.

【详解】

(1)当0<x48时，y=16；

当8Vx〈16时，设NP满足的函数关系式为y="+匕,

8左+力=16,k=--

则〈“，,s解得2'

16%+。=12,

8=20.

所以〉=一;x+20.

16,0<x<8,

综上，y=<1

—-x+20,9<x<16.

(2)当0<x48时,

该水果种植基地获得的利润W=(16—8)x=8九<64,

此时该水果种植基地获得的最大利润为64千元;

当8Vx〈16时，

该水果种植基地获得的利润为w=（_；x+20_8）x=_；（x2_24x）=_；（X_12）2+72,

所以当x=12时，利润W取得最大值，最大值为72千元.

因为72千元>64千元，

所以当王总经理采购量为12吨时，该水果种植基地在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为72千元.

8.【福建省龙岩市2019-2020学年高一上学期期末】一片森林原来面积为“，计划每年砍伐一些树，每年砍

伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是20年.为保护生态

环境，森林面积至少要保留原面积的，，已知到今年为止，森林剩余面积为还a.

55

（1）求每年砍伐面积的百分比：

（2）该森林今后最多还能砍伐多少年？

1

【答案】（I）l—（2）今后最多还能砍30年.

【详解】

（1）设每年砍伐面积的百分比为x（0<x<l）

则—即（Lx）"'=g,

1

解得：X=l—

（2）设从今年开始，最多可以砍〃年，

依题意得磋一

5v75

即（一）"嗫,

n2

可得凯仍3

—W-

202

解得〃<30

,今后最多还能砍30年.

9.【湖北省宜昌市葛洲坝中学2019-2020学年高一上学期期末】美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”

的研究热潮.某公司研发的A，8两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片己经耗费资金2千万元，现在

准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万

元，公司获得毛收入0.25千万元；生产3芯片的毛收入（千万元）与投入的资金X（千万元）的函数关

系为y=b"（%>0）,其图像如图所示.

（1）试分别求出生产A，3两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式；

（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，8两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.

【答案】（1）对于A芯片，毛收入y与投入X的资金关系为：y=（x（x>0）；对于5芯片，毛收入y与

投入》的资金关系为：y=«（x>0）.（2）9千万元.

【详解】

（1）因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设y=g（x>0）,

因为每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元，故，=〃2xl,所以加=’,

44

因此对于A芯片，毛收入V与投入x的资金关系为：y=；x（x>0）.

1

’1=ka=—

对于8芯片，由图像可知，<…，故）2.

2二女4"

k=l

因此对于5芯片，毛收入y与投入X的资金关系为：y=«（x>0）.

（2）设对8芯片投入资金工（千万元），则对A芯片投入资金40—x（千万元），

假设利润为L,则利润L=——+Vx-2,0<x<40.

4

令f=Ge（0,2M）,则乙=一（『+t+8=—（«-2）2+9,

当，=2即x=4（千万元）时，有最大利润为9（千万元）.

答:当对4芯片投入3.6亿，对3芯片投入4「万元时，有最大利润9「万元.

10.【陕西省渭南市临渭区2019~2020学年高一上学期期末】寒假即将到来，某宾馆有50个房间供游客住宿,

当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间

空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每在支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）.受市场调控，每个房间

每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）

(1)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；

(2)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大?最大利润是多少元?

【答案】(1)W=--X2+34X+8000；0<x<160,且x为10的正整数倍；(2)一天住34个房间时,

10

最大利润是10880元.

【详解】

(1)每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)，0<x<160.

入住房间50-±个，支出(50—2]x20,单价180+x元，

10Iioj

所以利润W=(50)(180+x)—(50—1]乂20=一自/+34%+8000

1,

即卬=一一X2+34X+8000,0<X<160,且x为10的正整数倍；

10

1,

(2)由(I)可得，W=--X2+34X+8000,0<X<160,且x为10的正整数倍

10

考虑函数W=—」--+34%+8000,在XG(F,170)单调递增，

10

所以当x=160时,即房价为340元时利润最大为10880元,此时,•天订房数为34间，

所以一天住34个房间时，最大利润是10880元

11.【湖南省株洲市7校2019-2020学年高一上学期期末联考】中美贸易争端一直不断，2003年至2005年

末，由美国单方面挑起的一系列贸易摩擦给中美贸易关系蒙上了浓重的阴影，贸易大战似乎一触即发，中

美两国进入了前所未有的贸易摩擦期.2018年，特朗普政府不顾中方劝阻，执意发动贸易战，掀起了又一

轮的中美贸易争端.我国某种出口商品定价为每件60美元，美国不加收关税时每年大约出口80万件，中美

经贸摩擦后，美国政府执意要加收进口关税，每进口100美元商品要征税P美元，因此每年出口量将减少

过P万件.

3

(1)如果美国政府计划每年对该商品加征的关税金额不少于128万美元，那么税率应怎样确定？

(2)在美国政府计划每年对该商品加征关税金额不少于128万美元的前提下，如何确定税率，才会使得我

国生产该商品的厂家税后获取最大的出口额.

【答案】(1)4</?<8,(2)尸=4

【详解】

20

(1)总出口量为80--P件，

3

商品总价格为：单价X总出口量=60X（80-一P）,

3

20P

加征关税为：总价格x关税率=60x（80--P）——>128,

3100

化筒得p2-i2P+3240，解之得4«pW8,

故美国政府计划每年对该商品加征的关税金额不少于128万美元，税率为4WpW8.

20

（2）商品总价格为：单价x总出口量=60x（80——P）,

3

每进口100美元商品美国要征税产美元，

即每进口100美元商品中国交税后剩余100-P美元，

of）p

税后出口额为60x（80—‘P）（l——）=4尸2—448P+4800万美元，

3100

因为4WpW8,

所以当尸=4时，我国生产该商品的厂家税后获取最大的出口额.

12.【山东省临沂市2019-2020学年高一上学期期末】某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔f（单位：分

钟）满足54/<20,twN.经测算，该路无人驾驶公交车载客量〃«）与发车时间间隔f满足：

（、60—〃—10）,5<r<10-上

〃（/）=〈V,其中teN.

［60,10<?<20

（1）求P（5）,并说明p（5）的实际意义；

（2）若该路公交车每分钟的净收益y=6”“）［24一］0（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车

t

每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.

【答案】（1）"（5）=35,发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）当发车时间间隔为6分钟时，该路

公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元.

【详解】

（1）p（5）=60—（5-10）2=35,实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；

6P⑺+24

（2）y=-----10.

t

业u…360-6（10）2+24/216、

；•当54r</0时，y=------------------10=110-6t+——，

tItJ

任取5《：＜，2《6,则

U0.R+3

xf="。-卜""、

k‘2’

=6(LJ+”-"=6(…)+216dL鲍二次2二36)

\"(l2t‘I7lt\tl2f1K12

5<^<r2<6,所以，r2-r,>0,25<%(<36,・.・,一%〈0，

所以，函数丁=110-（61+平）在区间[5,6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6/0）上单调递减，所

以，当1=6时，＞取得最大值38；

当10＜r420时，?=6x62+24_10=3§4_1（）该函数在区间[僧,20]上单调递减，

则当f=10时，y取得最大值28.4.

综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元.

13.【湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末】某工艺公司要对某种工艺品深加工，已知每个工艺品

进价为20元，每个的加工费为〃元，销售单价为x元.根据市场调查，须有〃e[3,6],XG[26,32],xeN,

同时日销售量，”（单位：个）与1（T成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时，日销售量为1000个.

（1）写出日销售利润y（单位：元）与x的函数关系式；

（2）当每个工艺品的加工费用为5元时，要使该公司的日销售利润为100万元，试确定销售单价x的值.（提

示：函数y=10"26与y=%-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点）

【答案】（1）-20-«）1032-t,X6[26,32],XGN：（2）x=26

【详解】

k

（1）设机=hl0*=—[26,32].

10'

当x=29时,优=1000,则％=1（）32,

in32

所以加==1032-",xe[26,32],

10'

所以y=m(x-20-n)=(x-20-n)1032-x,xe[26,32],xeN.

(2)当〃=5时，y=(x-25)1032-t=100x104=106,

整理得x—25=10526.

因为函数y=1O'-26与y=x-25的图象在[26,32]

上有且只有一个公共点，且当x=26时，等式成立，

所以x=26是方程x-25=10"26唯一的根，

所以销售单价为26元.

14.【山东省济南市2019-2020学年高一上学期期末】数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法

则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限;没有运算，数就只是一个符号.对数运算与指数嘉运算是

两类重要的运算.

(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有

很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果a>0,且。W1,M>0,那么

n

log“M=/?log(,MeR)；

(2)请你运用上述对数运算性质计算蚂(譬+典的值；

Ig4(lg91g27；

(3)因为=1()24e(1。3/(/),所以)。的位数为4(一个自然数数位的个数，叫做位数).请你运用所学过

的对数运算的知识,判断2019202°的位数.(注lg2019x3.305)

【答案】⑴见解析⑵后⑶2019202°的位数为6677

【详解】

(1)方法一：

设x=log“M

所以M=ax

所以=("')"=a"

所以log”Mn=nx=nlog„M,得证.

方法二：

设x=〃log“M

x

所以一=log“M

n

所以加

所以废=AT

所以x=log,,AT

所以〃log“M=log,,M"

方法三：

因为*g"="，

/喘”=("叫")"=历

所以=a"i%w

所以log"M"=〃log”M得证.

(2)方法一:

Ig3[lg8jgl6]1g3ng2)lg21

Ig41lg9lg27jIg22tlg32lg33J

lg3(31g2,41g21

21g2121g331g3J

=Jg3_171g2

一21g2,61g3

17

~12'

方法二：

翳儒+翳卜1暇3。幅8+1%16)

34

=log223(log322+log3.,2)

1

=1og23^|log32+|log32^

=1log23-^log32

2o

17

~n'

(3)方法■：

设10*<2019202°<10"lZeN*

所以左<lg20192°2°<Z+l

所以左<20201g2019<Z+l

所以々<2020x3.305<左+1

所以6675.1<Z<6676.1

因为左eN*

所以攵=6676

所以201928°的位数为6677

方法二：

设20192°2°=N

所以20201g2019=lgN

所以2020x3.305=lgN

所以lgN=6676.1

所以N=IO6676-1=10°/xlO6676

因为<10,

所以N有6677位数，即2019202°的位数为6677

15.【广东省揭阳市普宁市2019-2020学年高一上学期期末】某校高一（1）班共有学生50人，据统计原来

每人每年用于购买饮料的平均支出是。元,经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，

则年总费用由两部分组成:一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价X

（元/桶）与年购买总量V（桶）之间满足如图所示的关系.

（I）求x与y的函数关系；

（II）当。为120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装

纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少？

【答案】(1)y=-80x+720；(II)该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.

【详解】

(I)根据题意，可设y=

x=4时,y=400；x=5时,>=320,

400=44+力%=—80

，解得《

320=5%+〃6=720

所以x与y的函数关系为：y=-80x+720；

(II)该班学生购买饮料的年费用为50x120=6000(元)，

由(I)知，当y=380时,x=4.5.

故该班学生购买纯净水的年费用为：380x4.5+780=2395(元)，比购买饮料花费少，

故该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.

16.【河北省张家口市2019-2020学年高一上学期期末】某企业生产A,8两种产品，根据市场调查和预测,

A产品的利润与投资额成正比，设比例系数为匕，其关系如图1；3产品的利润与投资额的算术平方根成正

比，设比例系数为心，其关系如图2.(注：利润与投资额单位是万元)

图1图2

(1)分别将A,8两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出占，42的值，写出它们的函数关系式；

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A,8两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，

才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元.

【答案】(1)仁=：,k2=~.(x>0),g(x)=9«,(xNO).(2)A产品投入3.75万元,

4444

B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为负(4.0625)万元.

16

【详解】

解析：(1)设投资额为X万元，A产品的利润为/(X)万元，B产品的利润为g(X)万元,

由题设/(x)=《x,g(x)=k2y[x.

由图知/⑴=；，所以《=；,又g(4)=g,所以上2=：.

所以/(无)=!%*20),g(x)=^-4x,(x>0).

44

(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10—尤万元，设企业的利润为V万元.

」=f(x)+g(10一x)=；x+；\10_尤，(0<x<10),

令J10—x=r，则y=^^+9.=-!卜一31+—,(()<r<Vi(j).

444V2J16

所以当/=9时，v=—,此时％=10—生="=3.75.

2max1644

・••当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为国即4.0625万元.

16

17.【重庆市育才中学2019-2020学年高一期末】某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池(蓄量足够

大)在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知

x(OWxW24)小时内供水总量为1()五千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象.

(1)一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？

(2)若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水a(a>2)千吨，求“的最小值，使得供水紧张现

象消除.

25

【答案】(1)4时至9时出现供水紧张现象；(2)—

12

【详解】

(1)设蓄水量为y,根据题意，y=15+2x—10«，(0<x<24),

令y=15+2x-10&<3,(石-2)(«-3)<0,解得2<5/7<3，则4<x<9，

所以一天内将在4时至9时出现供水紧张现象.

(2)每小时向池内注水a(a>2)千吨，则y=15+，tx—10«(0WxW24),

令f=[0,2#],则x=/，=a/-10r+15,te[0,2#],

对称轴为彳=—,因为a>2,所以0<—<—<2j&,

aa2

r/、.[5）255._25._

Znin（0=/-=«­--1A0x-+15=-----+15,

\a）aaa

7575

令—上+15N3（a〉2）,解得aN上,

25

所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为三.

12

18.【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】己知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（m）与速度（km/h）

的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以60km/h的速度行驶时，从刹车到停车走了

20m.

（I）当汽车不装货物以36km/h的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？.

（II）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5m以

外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1s.参考数

据：@1x15.52.）

【答案】（I）7.2m；（II）26.3km/h.

【详解】

解：（【）滑行的距离为x（m）,汽车总质量为时速为v（km/h）,比例常数为出，

根据题意可得*=内如2,将口=59,》=20代入可得皿=空=」一,所以x=」一/,

602180180

当u=36时，代入上式，可得x=7.2m.

（II）卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过Is.行驶的路程为=

360018''

由20—25,可得丫2+25丫一1350<0,解得3—5同《丫《二25+5回,

1822

因为u>0，所以0<u<26.3.

所以最大限制时速应是：26.3km/h.

19.【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末联考】2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源

汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，生产x