江西省部分学校2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

2023年江西省高三12月份联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，，则的实部为（）A. B.5 C.1 D.2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.3.若奇函数则（）A. B.102 C. D.1014.现有一个圆台形的杯子，杯口的内径为，杯底的内径与杯中盛满溶液时的液面高度均为，当杯中盛满溶液，且该溶液的密度时，杯中溶液的质量为（）A. B. C. D.5.现有6个不同的生肖吉祥物，分1个给老师，其他5个分给3位学生，每位学生至少分到1个，则这6个生肖吉祥物的分配方法共有（）A.360种 B.900种 C.720种 D.1800种6.已知向量，满足，，则的最大值为（）A. B.2 C. D.47.已知函数，的定义域均为，则（）A.当取得最大值时，取得最小值B.当取得最大值时，C.与的图象关于点对称D.与的图象关于直线对称8.已知函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.江西省2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（）A.江西省2017年到2022年这6年的常住人口在2019年取得最大值B.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的极差为148.70万C.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为4527.98万D.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的第80百分位数为4647.60万10.在等差数列中，，下列结论正确的是（）A.是定值 B.的前9项和为54C.的最大值为25 D.若，则的最小值为11.已知曲线，斜率为的直线经过点，下列结论正确的是（）A.的周长为B.若与恰有3个公共点，则的取值范围为C.若与恰有2个公共点，则的取值范围为D.若与恰有1个公共点，则的取值范围为12.如图，在边长为4的正方形中剪掉四个阴影部分的等腰三角形，其中为正方形对角线的交点，，将其余部分折叠围成一个封闭的正四棱锥，若该正四棱锥的内切球半径为，则该正四棱锥的表面积可能为（）A.12 B. C.8 D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若集合，，，则的最小值为__________.14.若随机变量，且，则__________.15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.①；②函数在上单调递增.16.已知双曲线的两个焦点为，，为上一点，，，则的离心率为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在梯形中，，，.（1）若，求的长；（2）若，求.18.（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，.（1）证明：平面平面.（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.19.（12分）已知某地居民中青少年、中年人、老年人的人数比例为3：4：3，假设该地居民选择寒假旅游地相互独立，且他们寒假去江西庐山、三清山旅游的概率如下表所示：青少年中年人老年人只去庐山旅游0.10.30.2只去三清山旅游0.20.20.3庐山、三清山都去旅游0.050.10.1（1）若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，求此人寒假去庐山旅游的概率；（2）若甲，乙分别是该地居民中的一位中年人、老年人，记这两人中寒假去三清山旅游的人数为，求的分布列.20.（12分）已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.（1）设，证明：是等比数列.（2）求数列的通项公式.21.（12分）过点作轴的垂线，垂足为，且该垂线与抛物线交于点，，记动点的轨迹为曲线.（1）试问为何种圆锥曲线？说明你的理由.（2）圆是以点为圆心，为半径的圆，过点作圆的两条切线，这两条切线分别与相交于点，（异于点）.当变化时，是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数，，且.（1）讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围；（3）证明：当，且，时，恒成立.

数学试卷参考答案1.B【解析】本题考查复数的运算与复数的实部，考查数学运算的核心素养.因为，所以，所以的实部为5.2.C【解析】本题考查抛物线的准线方程，考查数学运算的核心素养.因为，所以，所以抛物线的准线方程为.3.A【解析】本题考查函数的奇偶性与函数求值，考查数学运算的核心素养.因为，所以.4.C【解析】本题考查圆台体积的实际应用，考查直观想象与数学运算的核心素养.当杯中盛满溶液时，溶液的体积，此时杯中溶液的质量.5.B【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识.分三步，先分1个给老师，共有种分法，再把剩余的5个分成3组，共有种分组方法，最后将分好组的吉祥物分给3位学生，共有种分法，故这6个生肖吉祥物的分配方法共有种.6.D【解析】本题考查平面向量的数量积与模，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.因为，所以，即，整理得.又，所以，即，所以，即.又，所以当与反向时，取得最大值，且最大值为.7.D【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.，.当取得最大值时，，则，A错误.当取得最大值时，，则，，B错误.因为，所以与的图象关于直线对称，C错误，D正确.8.B【解析】本题考查函数的零点与导数的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养以及化归与转化的数学思想.令，得或.设函数，则.当时，，当时，，所以.当时，.设函数，则.当时，，当时，，所以.当时，.作出与的大致图象，如图所示.由图可知，当时，直线与这两个函数的图象各有两个交点，且这些交点各不相同，此时恰有4个零点.9.ABD【解析】本题考查统计的图表、极差、中位数、百分位数，考查数据处理能力.由图可知，A正确.将江西省2017年到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为4517.40，4518.86，4527.98，4622.10，4647.60，4666.10，则极差为万，中位数为万，B正确，C错误.因为，所以第80百分位数为4647.60万，D正确.10.ACD【解析】本题考查等差数列的性质与基本不等式，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为，所以，则的前9项和为，A正确，B错误.因为，，，所以，当且仅当时，等号成立，C正确.因为，，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，D正确.11.BC【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.由，得，则曲线表示两个关于轴对称的半圆弧（半径为1），且左半圆的圆心为，右半圆的圆心为，曲线与轴的交点为，，.故曲线的周长为，A错误.若直线与左半圆相切，则，解得，由图可知.若直线与右半圆相切，则，解得，由图可知.若直线经过点，则.若直线经过点，则.若直线经过点，则.若与恰有1个公共点，则的取值范围为，D错误.若与恰有2个公共点，则的取值范围为，C正确.若与恰有3个公共点，则的取值范围为，B正确.12.BC【解析】本题考查立体几何中的翻折问题与四棱锥的内切球，考查空间想象能力与运算求解能力.设翻折前，则翻折后，斜高，该四棱锥的高，则.该四棱锥的表面积.因为该正四棱锥的内切球半径为，所以，即，则，解得或（负根舍去），故或.13.6【解析】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为，，所以，所以的最小值为6.14.20【解析】本题考查二项分布的期望与方差，考查数学运算的核心素养.因为，所以，解得或，因为，所以，所以.15.（答案不唯一，形如均可）【解析】本题以开放题的形式考查函数的解析式与性质，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.因为，，所以可设，则.因为函数在上单调递增，所以，所以满足这两个条件.16.【解析】本题考查双曲线的离心率，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.如图，在线段上取一点，使得.因为，，所以，所以，所以.易知与相似，则.设，，则有，则，解得（负根舍去），所以的离心率．17.解：（1）在中，由正弦定理得，则.（2）因为，所以.由余弦定理得，则，所以.18.（1）证明：在正方形中，.因为，所以.在正方形中，.因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，则，则.因为，，，所以平面.以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，，，则，令，得.因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.解：（1）由表可知该地居民中青少年寒假去庐山旅游的概率为，该地居民中中年人寒假去庐山旅游的概率为，该地居民中老年人寒假去庐山旅游的概率为，所以根据全概率公式可得，此人寒假去庐山旅游的概率为.（2）由表可知该地居民中中年人、老年人寒假去三清山旅游的概率分别为，，即0.3，0.4.的可能取值为0，1，2，，，，则的分布列为0120.420.460.12【注】第（1）问中，得到所求概率为，但最后的结果计算错误，扣1分.20.（1）证明：当时，线段的中点为，，则.由得，所以，即.因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）知，即，则，，…，，将以上各式相加得.因为，所以.当时，也符合上式，故.21.解：（1）设，则，，则，.因为，所以，所以为椭圆.（2）由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，圆，则，整理得.设切线，的斜率分别为，，则，是上述方程的两根，由韦达定理得.设，，由得.因为，所以，.同理可得，.因为，所以，，