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文档简介
重庆九龙坡区2024年高三数学第一学期期末调研模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为正项等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则的值是()A.29 B.30 C.31 D.322.已知抛物线:的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,其中点在第一象限,若弦的长为,则()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或3.已知集合,则()A. B.C. D.4.已知函数的最小正周期为,且满足,则要得到函数的图像,可将函数的图像()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度5.要得到函数的图像,只需把函数的图像()A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位6.如图,矩形ABCD中,,,E是AD的中点,将沿BE折起至,记二面角的平面角为,直线与平面BCDE所成的角为,与BC所成的角为,有如下两个命题:①对满足题意的任意的的位置,;②对满足题意的任意的的位置,,则()A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为()A. B. C. D.8.设命题函数在上递增,命题在中,,下列为真命题的是()A. B. C. D.9.已知函数,其中,若恒成立,则函数的单调递增区间为()A. B.C. D.10.已知函数,则函数的零点所在区间为()A. B. C. D.11.已知复数满足:,则的共轭复数为()A. B. C. D.12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.14.已知圆C:经过抛物线E:的焦点,则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.15.已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值等于__________,此时a=____________.16.如图,在平面四边形中,点,是椭圆短轴的两个端点,点在椭圆上,,记和的面积分别为,,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.18.(12分)已知函数,记不等式的解集为.(1)求;(2)设,证明:.19.(12分)已知直线:(为参数),曲线(为参数).(1)设与相交于,两点,求;(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线距离的最小值.20.(12分)已知集合,.(1)若,则;(2)若,求实数的取值范围.21.(12分)已知函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)设,求证:;(Ⅲ)若对于恒成立,求的最大值.22.(10分)设函数,().(1)若曲线在点处的切线方程为,求实数a、m的值;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围;(3)关于x的方程能否有三个不同的实根?证明你的结论.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质,求出公比,再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求.【详解】设正项等比数列的公比为q,则a4=16q3,a7=16q6,a4与a7的等差中项为,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(负值舍去),则有S5===1.故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题.2、C【解析】
先根据弦长求出直线的斜率,再利用抛物线定义可求出.【详解】设直线的倾斜角为,则,所以,,即,所以直线的方程为.当直线的方程为,联立,解得和,所以;同理,当直线的方程为.,综上,或.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时,一般考虑抛物线的定义.3、C【解析】
由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合,∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时,常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.4、C【解析】
依题意可得,且是的一条对称轴,即可求出的值,再根据三角函数的平移规则计算可得;【详解】解:由已知得,是的一条对称轴,且使取得最值,则,,,,故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则,属于基础题.5、A【解析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形,整理后与对比,从而可选出正确答案.【详解】解:.对于A:可得.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换,考查了辅助角公式.本题的易错点有两个,一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时,忘记乘了自变量前的系数.6、A【解析】
作出二面角的补角、线面角、线线角的补角,由此判断出两个命题的正确性.【详解】①如图所示,过作平面,垂足为,连接,作,连接.由图可知,,所以,所以①正确.②由于,所以与所成角,所以,所以②正确.综上所述,①②都正确.故选:A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7、B【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形,且一侧棱垂直于底面,由此求出四棱锥的体积.【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形,且一侧棱垂直于底面,画出四棱锥的直观图,如图所示:则该四棱锥的体积为.故选:B.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题,是基础题.8、C【解析】
命题:函数在上单调递减,即可判断出真假.命题:在中,利用余弦函数单调性判断出真假.【详解】解:命题:函数,所以,当时,,即函数在上单调递减,因此是假命题.命题:在中,在上单调递减,所以,是真命题.则下列命题为真命题的是.故选:C.【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.9、A【解析】
,从而可得,,再解不等式即可.【详解】由已知,,所以,,由,解得,.故选:A.【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,涉及到恒成立问题,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题.10、A【解析】
首先求得时,的取值范围.然后求得时,的单调性和零点,令,根据“时,的取值范围”得到,利用零点存在性定理,求得函数的零点所在区间.【详解】当时,.当时,为增函数,且,则是唯一零点.由于“当时,.”,所以令,得,因为,,所以函数的零点所在区间为.故选:A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质,考查符合函数零点,考查零点存在性定理,考查函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.11、B【解析】
转化,为,利用复数的除法化简,即得解【详解】复数满足:所以故选:B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.12、D【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥,根据三视图的数据,计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知,几何体是一个四棱锥,如图所示:由三视图知:,所以,所以,所以该几何体的最长棱的长为故选:D【点睛】本题主要考查三视图的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由向量平行坐标表示计算.注意验证两向量方向是否相同.【详解】∵,∴,解得或,时,满足题意,时,,方向相反,不合题意,舍去.∴.故答案为:1.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算,解题时要注意验证方向相同这个条件,否则会出错.14、【解析】
求出抛物线的焦点坐标,代入圆的方程,求出的值,再求出准线方程,利用点到直线的距离公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦长的一半,进而求出弦长.【详解】抛物线E:的准线为,焦点为(0,1),把焦点的坐标代入圆的方程中,得,所以圆心的坐标为,半径为5,则圆心到准线的距离为1,所以弦长.【点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式.15、3【解析】
根据题意,分析可得,由基本不等式的性质可得最小值,进而分析基本不等式成立的条件可得a的值,即可得答案.【详解】根据题意,正数a、b满足,则,当且仅当时,等号成立,故的最小值为3,此时.故答案为:3;.【点睛】本题考查基本不等式及其应用,考查转化与化归能力,属于基础题.16、【解析】
依题意易得A、B、C、D四点共圆且圆心在x轴上,然后设出圆心,由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标,进一步得到D横坐标,再由计算比值即可.【详解】因为,所以A、B、C、D四点共圆,直径为,又A、C关于x轴对称,所以圆心E在x轴上,设圆心E为,则圆的方程为,联立椭圆方程消y得,解得,故B的横坐标为,又B、D中点是E,所以D的横坐标为,故.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题,考查学生基本计算能力及转化与化归思想,本题关键是求出B、D横坐标,是一道有区分度的压轴填空题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)单调递增区间为,单调递减区间为(2)的取值范围是;对应的的值为.【解析】
(1)当时,求的导数可得函数的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,利用导函数,可得的范围,再表达,构造新函数可求的取值范围,从而可求取到最小值时所对应的的值.【详解】(1)函数由条件得函数的定义域:,当时,,所以:,时,,当时,,当,时,,则函数的单调增区间为:,单调递减区间为:,;(2)由条件得:,,由条件得有两根:,,满足,△,可得:或;由,可得:.,函数的对称轴为,,所以:,;,可得:,,,则:,所以:;所以:,令,,,则,因为:时,,所以:在,上是单调递减,在,上单调递增,因为:,(1),,(1),所以,;即的取值范围是:,;,所以有,则,;所以当取到最小值时所对应的的值为;【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题,考查利用导数求函数的最值,体现了转化的思想方法,属于难题.18、(1);(2)证明见解析【解析】
(1)利用零点分段法将表示为分段函数的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)将不等式坐标因式分解,结合(1)的结论证得不等式成立.【详解】(1)解:,由,解得,故.(2)证明:因为,所以,,所以,所以.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查不等式的证明,属于基础题.19、(1);(2).【解析】
(1)将直线和曲线化为普通方程,联立直线和曲线,可得交点坐标,可得的值;(2)可得曲线的参数方程,利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.【详解】解:(1)直线的普通方程为,的普通方程.联立方程组,解得与的交点为,,则.(2)曲线的参数方程为(为参数),故点的坐标为,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等,属于中档题.20、(1);(2)【解析】
(1)将代入可得集合B,解对数不等式可得集合A,由并集运算即可得解.(2)由可知B为A的子集,即;当符合题意,当B不为空集时,由不等式关系即可求得的取值范围.【详解】(1)若,则,依题意,故;(2)因为,故;若,即时,,符合题意;若,即时,,解得;综上所述,实数的取值范围为.【点睛】本题考查了集合的并集运算,由集合的包含关系求参数的取值范围,注意讨论集合是否为空集的情况,属于基础题.21、(Ⅰ)函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)利用二次求导可得,所以在上为增函数,进而可得函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ)利用导数可得在区间上存在唯一零点,所以函数在递减,在,递增,则,进而可证;(Ⅲ)条件等价于对于恒成立,构造函数,利用导数可得的单调性,即可得到的最小值为,再次构造函数(a),,利用导数得其单调区间,进而求得最大值.【详解】(Ⅰ)当时,,则,所以,又因为,所以在上为增函数,因为,所以当时,,为增函数,当时,,为减函数,即函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ),则令,则(1),,所以在区间上存在唯一零点,设零点为,则,且,当时,,当,,,所以函数在递减,在,递增,,由,得,所以,由于,,从而;(Ⅲ)因为对于恒成立,即对于恒成立,不妨令,因为,,所以的解为,则当时,,为增函数,当时,,为减函数,
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