2024届济南市重点中学高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届济南市重点中学高一数学第二学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.2．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线满足，则；④若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则A． B．C． D．4．若，则t=（）A．32 B．23 C．14 D．135．已知，那么等于()A． B． C． D．56．是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．54 B． C．90 D．818．在钝角三角形ABC中,若B=45°,a=2,则边长cA．(1,2) B．(0,1)∪(9．已知三棱锥，若平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．10．某班由50个编号为01，02，03，…50的学生组成，现在要选取8名学生参加合唱团，选取方法是从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字，则该样本中选出的第8名同学的编号为（）495443548217379323783035209623842634916450258392120676572355068877047447672176335025839212067649544354827447A．20 B．25 C．26 D．34二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.12．已知数列的通项公式，那么使得其前项和大于7.999的的最小值为______.13．若集合，，则集合________.14．已知求______________.15．在中，角为直角，线段上的点满足，若对于给定的是唯一确定的，则_______．16．直线与直线的交点为，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角C；（2）若，，求的面积.18．已知四棱锥中，平面，，，，是线段的中点．（1）求证：平面；（2）试在线段上确定一点，使得平面，并加以证明．19．已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.20．数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.21．已知数列满足关系式，.（1）用表示，，；（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了2、B【解题分析】

利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.【题目详解】①为假命题.可举反例，如a，b，c三条直线两两垂直；②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；③若直线满足，则，是真命题；④是假命题，如图甲所示，c，d与异面直线，交于四个点，此时c，d异面，一定不会平行；当点B在直线上运动（其余三点不动），会出现点A与点B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面且相交.故答案为B【题目点拨】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解题分析】

由平面向量基本定理和向量运算求解即可【题目详解】根据题意得：，又，，所以.故选D.【题目点拨】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.4、B【解题分析】

先计算得到，再根据得到等式解得答案.【题目详解】故答案选B【题目点拨】本题考查了向量的计算，意在考查学生对于向量运算法则的灵活运用及计算能力.5、B【解题分析】

因为，所以，故选B.6、C【解题分析】

由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，即可得到答案．【题目详解】由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故选C．【题目点拨】本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．7、A【解题分析】

由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，进而得到答案．【题目详解】由三视图可知，该多面体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，四棱柱的底面是边长为3的正方形，四棱柱的高为6，则该多面体的体积为.故选：A.【题目点拨】本题考查三视图知识及几何体体积的计算，根据三视图判断几何体的形状，再由几何体体积公式求解，属于简单题.8、D【解题分析】试题分析：解法一：，由三角形正弦定理诱导公式有，利用三角恒等公式能够得到，当A为锐角时，0∘<A<45∘，，即，当A为钝角时，90∘<A<135∘，，综上所述，；解法二：利用图形，如图，，，当点A（D）在线段BE上时（不含端点B,E）,为钝角，此时；当点A在线段EF上时，为锐角三角形或直角三角形；当点A在射线FG（不含端点F）上时，为钝角，此时，所以c的取值范围为．考点：解三角形．【思路点睛】解三角形需要灵活运用正余弦定理以及三角形的恒等变形，在解答本题时，利用三角形内角和，将两角化作一角，再利用正弦定理即可列出边长c与角A的关系式，根据角A的取值范围即可求出c的范围，本题亦可利用物理学中力的合成，合力的大小来确定c的大小，正如解法二所述．9、B【解题分析】

根据题意画出三棱锥的图形，将其放入一个长方体中，容易知道三棱锥的外接球半径，利用球的表面积公式求解即可.【题目详解】根据题意画出三棱锥如图所示，把三棱锥放入一个长方体中，三棱锥的外接球即这个长方体的外接球，长方体的外接球半径等于体对角线的一半，所以三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球的表面积.故选：B【题目点拨】本题主要考查三棱锥的外接球问题，对于三棱锥三条棱有两两垂直的情况，可以考虑将其放入一个长方体中求解外接球半径，属于基础题.10、D【解题分析】

利用随机数表依次选出8名学生的二位数的编号，超出范围的、重复的要舍去.【题目详解】从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字，选出来的8名学生的编号分别为：17，37，（93舍去）23，（78舍去）30，35，20，（96舍去）（23舍去）（84舍去）26，1；∴样本选出来的第8名同学的编号为1．故选：D【题目点拨】本题考查了利用随机数表法求抽样编号的问题，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解题分析】

由题意可得定点，，把要求的式子化为，利用基本不等式求得结果．【题目详解】解：且令解得，则即函数过定点，又点在直线上，，则，当且仅当时，等号成立，故答案为：1．【题目点拨】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．12、1【解题分析】

直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果．【题目详解】解：数列的通项公式，则：，所以：当时，即：，当时，成立，即：的最小值为1．故答案为：1【题目点拨】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13、【解题分析】由题意，得，，则.14、23【解题分析】

直接利用数量积的坐标表示求解.【题目详解】由题得.故答案为23【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、【解题分析】

设，根据已知先求出x的值，再求的值.【题目详解】设，则.依题意，若对于给定的是唯一的确定的，函数在（1，）是增函数，在（，+）是减函数，所以，此时，.故答案为【题目点拨】本题主要考查对勾函数的图像和性质，考查差角的正切的计算和同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解题分析】

（2,2）为直线和直线的交点，即点（2,2）在两条直线上，分别代入直线方程，即可求出a，b的值，进而得a+b的值。【题目详解】因为直线与直线的交点为，所以，，即，，故.【题目点拨】本题考查求直线方程中的参数，属于基础题。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，从而得到；（2）根据余弦定理，得到关于的方程，从而得到，再根据面积公式，得到答案.【题目详解】（1）在中，根据正弦定理，由，可得，所以，因为为内角，所以，所以因为为内角，所以，（2）在中，，，由余弦定理得解得，所以.【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.18、（1）见解析（2）存在线段上的中点，使平面，详见解析【解题分析】

（1）利用条件判断CM与PA、AB垂直，由直线与平面垂直的判定定理可证.（2）取PB的中点Q，PA的中点F，判断四边形CQFD为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理可证；或取PB中点Q，证明平面CQM与平面DAP平行，再利用两平面平行的性质可证.【题目详解】解：（1）∵，∴是等边三角形，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴平面；（2）取线段的中点，线段的中点，连结，∴，∵是线段的中点，，∴，∴是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，即存在线段上的中点，使平面.【题目点拨】本题考查空间直线与平面的平行、垂直判定与性质，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.19、（1）（2）（3）见解析【解题分析】

（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.【题目详解】（1），所以，由得时，，两式相减得，，，数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.（2）若数列是常数列，为常数.只有，解得，此时.（3）①，，其中，所以，当时，②②式两边同时乘以得，③①式减去③得，，所以，因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.【题目点拨】本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题20、(1)(2)【解题分析】

(1)当时，，利用得到通项公式，验证得到答案.(2)根据的正负将和分为两种情况，和，分别计算得到答