江苏省苏州市平江中学2024届数学高一第二学期期末考试试题含解析

江苏省苏州市平江中学2024届数学高一第二学期期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A． B． C． D．2．（）A． B． C． D．3．在中，，BC边上的高等于,则A． B． C． D．4．已知函数的值域为，且图象在同一周期内过两点，则的值分别为（）A． B．C． D．5．在中，且，则等于()A． B． C． D．6．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．7．设为锐角，，若与共线，则角（）A．15° B．30° C．45° D．60°8．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1209．为了从甲、乙两组中选一组参加“喜迎国庆共建小康”知识竞赛活动.班主任老师将两组最近的次测试的成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图.若甲、乙两组的平均成绩分别是.则下列说法正确的是（）A．，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛B．，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛C．，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛D．，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设向量，若，，则.12．在中，为边中点，且，，则______.13．已知数列为等差数列，，，若，则________.14．在三棱锥中，已知，，则三棱锥内切球的表面积为______.15．已知等比数列中，，，则该等比数列的公比的值是______.16．已知直线和，若，则a等于________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若直线与轴，轴的交点分别为，圆以线段为直径.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）若直线过点，与圆交于点，且，求直线的方程.18．有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油所行路程的情况，现从中随机地抽出10辆，在同一条件下进行耗油所行路程的试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分组如下：(1)完成上面的频率分布表；(2)根据上表，在坐标系中画出频率分布直方图.19．己知数列的前项和，求数列的通项.20．如图，在四边形中，已知，，（1）若，且的面积为，求的面积:（2）若，求的最大值.21．已知函数（1）求函数的最大值以及取得最大值时的集合；（2）若函数的递减区间.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.【题目详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，所以三人中至少有一人被录取的概率为，故选B.【题目点拨】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.2、B【解题分析】

根据诱导公式和两角和的余弦公式的逆用变形即可得解.【题目详解】由题：故选：B【题目点拨】此题考查两角和的余弦公式的逆用，关键在于熟记相关公式，准确化简求值.3、D【解题分析】试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D．【考点】正弦定理【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．4、C【解题分析】

根据值域先求，再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案.【题目详解】函数的值域为即，图象在同一周期内过两点故答案选C【题目点拨】本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.5、A【解题分析】

在△ABC中，利用正弦定理与两角和的正弦化简已知可得，sin（A+C）＝sinB，结合a＞b，即可求得答案．【题目详解】在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosAb，∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA，∴sin（A+C），又A+B+C＝π，∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，又a＞b，∴B．故选A．【题目点拨】本题考查两角和与差的正弦函数与正弦定理的应用，考查了大角对大边的性质，属于中档题．6、D【解题分析】

先求出的模长，然后由可求出答案.【题目详解】由题意，，，所以与的夹角为.故选D.【题目点拨】本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.7、B【解题分析】由题意，，又为锐角，∴．故选B．8、B【解题分析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480考点：频率分布直方图9、D【解题分析】

由茎叶图数据分别计算两组的平均数；根据数据分布特点可知乙组成绩更稳定；由平均数和稳定性可知应选乙组参赛.【题目详解】；乙组的数据集中在平均数附近乙组成绩更稳定应选乙组参加比赛本题正确选项：【题目点拨】本题考查茎叶图的相关知识，涉及到平均数的计算、数据稳定性的估计等知识，属于基础题.10、C【解题分析】

根据三视图还原直观图，根据长度关系计算表面积得到答案.【题目详解】根据三视图还原直观图，如图所示：几何体的表面积为：故答案选C【题目点拨】本题考查了三视图，将三视图转化为直观图是解题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用向量垂直数量积为零列等式可得，从而可得结果.【题目详解】因为，且，所以，可得，又因为，所以，故答案为.【题目点拨】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.12、0【解题分析】

根据向量，，取模平方相减得到答案.【题目详解】两个等式平方相减得到：故答案为0【题目点拨】本题考查了向量的加减，模长，意在考查学生的计算能力.13、【解题分析】

设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组解出和的值，可求出的表达式，再由可解出的值.【题目详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，，，因此，，故答案为：.【题目点拨】本题考查等差数列的求和，对于等差数列的问题，通常建立关于首项和公差的方程组求解，考查方程思想，属于中等题.14、【解题分析】

先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。【题目详解】取CD中点为E，并连接AE、BE在中，由等腰三角形的性质可得,同理则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,在中，【题目点拨】本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积，属于中档题.15、【解题分析】

根据等比通项公式即可求解【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查等比数列公比的求解，属于基础题16、【解题分析】

根据两直线互相垂直的性质可得，从而可求出的值.【题目详解】直线和垂直，.解得.故答案为：【题目点拨】本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：是关键，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解题分析】

(1)本题首先根据直线方程确定、两点坐标，然后根据线段为直径确定圆心与半径，即可得出圆的标准方程；(2)首先可根据题意得出圆心到直线的距离为，然后根据直线的斜率是否存在分别设出直线方程，最后根据圆心到直线距离公式即可得出结果。【题目详解】(1)令方程中的，得，令，得.所以点的坐标分别为.所以圆的圆心是，半径是，所以圆的标准方程为.(2)因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为.若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意.若直线的斜率存在，设其直线方程为，即.圆的圆心到直线的距离，解得.则直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.【题目点拨】本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，当直线与圆相交时，半径、弦长的一半以及圆心到直线距离可构成直角三角形，考查计算能力，在计算过程中要注意讨论直线的斜率是否存在，是中档题。18、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

（1）通过所给数据算出频数和频率值，并填入表格中；（2）计算每组数中的频率除以组距的值，再画出直方图.【题目详解】(1)频率分布表如下：分组频数频率[12.45,12.95)20.2[12.95,13.45)30.3[13.45,13.95)40.4[13.95,14.45)10.1合计101.0(2)频率分布直方图如图所示：【题目点拨】本题考查频率分布表和频率分布直方图的简单应用，考查基本的数据处理能力.19、【解题分析】

根据通项前项和的关系求解即可.【题目详解】解：当时,.当时,.当时,上式也成立.【题目点拨】本题主要考查了根据前项公式求解通项公式的方法.属于基础题.20、(1)；(2)3【解题分析】

（1）根据可解出，验证出，从而求得所求面积；（2）设，，在中利用余弦定理构造关于的方程；在中分别利用正余弦定理可得到和，代入可求得；根据三角函数最值可求得的最大值，即可得到结果.【题目详解】（1）由得：，即（2）设，在中，由正弦定理得：…①由余弦定理得：…②在中，由余弦定理得：将①②代入整理得：当，即时，取最大值【题目点拨】