广西大学附属中学2022年高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5亳米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1.若函数〃力=诧212-奴+34)在[2,+8)上是增函数，则实数。的取值范围是O

B.(T,4]

C.(-4,-H»)D.[T,4)

log,龙,x>0]

2.已知函数/6)==则/"(：)]=()

3,x<0,4

1

A.-B.9

9

C.--D.-9

9

3.已知命题P：角8为第二或第三象限角，命题q：sin8+tane<0,命题，是命题令的。

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知过点A(-2,〃。和8(〃?,4)的直线与斜率为一2的直线平行，则m的值是

A-8B.0

C.2D.10

5,已知函数/(x)=3「(；尸，则/(x)

A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数

6.已知直线经过点A((),0),B(L-l),则该直线的斜率是

A.至B.也

22

C.lD.-1

7.-ABC的外接圆的圆心为0,半径为1,若丽+元=2布，且|而|=|蔗|,则-ABC的面积为()

A#B.立

2

C.26D.l

8.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

10.若函数/(x)=sinx+2cosx取最小值时x=(9,则sin6=()

2近新

D・

5------------------------5

n275

55

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

3

11.在A4BC中，AB=2,BC=jZABC=120%若将AABC绕直线8C旋转一周，则所形成的几何体的体积

2

是__________

A

B

C

TT

12.已知一个扇形的弧长为乃cm,其圆心角为:，则这扇形的面积为cm2

4

13.如图，在长方体A8C£>—中，AB=3cm,AD=2cm,A4,=\cm,则三棱锥为一ABR的体积

___________cm'.

14.若2cos2a=sing—aj,贝!!sin2a的值为.

15.已知函数，=若/(2x—1)+/(4-d)+2>0,则实数x的取值范围为.

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.〉

16.如图，已知三棱锥A—3PC中，APIPC,ACYBC,M为A3的中点，D为PB的中点,且为正三

角形.

(1)求证：。加//平面4。。；

(2)求证：BC_L平面APC；

(3)若3c=4,45=10,求三棱锥O—BCM的体积.

17.已知函数/(x)=6cos!2x--1-l-2sinxcosx.

(1)求.f(x)的最小正周期以及对称轴方程；

(2)设函数g(x)=-展)，求g(x)在0,—上的值域.

18.如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是矩形，侧棱垂直于底面，旦尸,6分别是反〃。,8的中

点.

求证：(1)平面瓦G,平面B48；

(2)平面瓦G//平面PAD.

,31,、

19.已知募函数〃力=(租2_3巾+3卜"方"工，且在(0,+8)上为增函数.

(1)求函数“X)的解析式；

(2)若〃a+l)</(3—2a),求2的取值范围.

20.已知函数「、.；=ax+b,a-x(c>o且G工J,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)判断函数，小的奇偶性，说明理由；

(2)判断函数在,；o,+s)上的单调性，并用单调性定义证明；

(3)若打m|_3；不大于卜八2)，直接写出实数机的取值范围.

条件①：a>1，b=1；条件②：0<a<1，b=-1-

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

21.某种商品在天30内每克的销售价格P(元)与时间t的函数图象是如图所示的两条线段AB,CD(不包含A,B两点);

该商品在30天内日销售量Q(克)与时间1(天)之间的函数关系如下表所示:

第，天5152030

销售量。克35252010

P8

(1)根据提供的图象，写出该商品每克销售的价格P(元)与时间/的函数关系式;

(2)根据表中数据写出一个反映日销售量Q随时间/变化的函数关系式；

(3)在(2)的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的，值.

(注：日销售金额=每克的销售价格X日销售量)

参考答案

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1、B

2|-<2

【解析】令g(x)=»—G+3Q,则可得2，解出即可.

g⑵=4+a>0

【详解】令g(x)=》2一奴+3。，其对称轴为x=£,

要使/(x)在［2,y)上是增函数，

-<2

则应满足《2，解得T<a<4.

g(2)=4+a〉0

故选：B.

2、A

【解析】根据函数的解析式求解即可.

【详解】y(；)=iog2：=-2,

所以/"(：)]=f(-2)=3/=<，

49

故选A

3、D

【解析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.

【详解】当角。为第二象限角时，sine〉0,cose<0,cose+l>0,

一,.八八.八sin。sindcosd+sinesin^(cos+1)人

所以sin9+tan6=sm夕+-----=----------------=--------------<0,

cos0cos6cos0

当角。为第三象限角时，sin6><0,cos6><0,cos6>+l>0,

八.Csin。sinGeos6+sin。sin^(cos^+l)八

所以sin8+tan6=sm。+-----=----------------=--------------->0,

cos0cos0cos6

所以命题P是命题P的不充分条件.

当sine+tan8<()时，显然，当角。可以为第四象限角，命题。是命题〃的不必要条件.

所以命题P是命题4的既不充分也不必要条件.

故选：D

4、A

4—m

【解析】由题意可知底8=上令=-2,所以机=-8.

m+2

故选A

5、A

【解析】分析：讨论函数〃月=3'-(；)的性质，可得答案.

详解:函数4x)=3'—J的定义域为R,且==一3'+(；)=-3'-([=一/(可，即

函数/(x)是奇函数，

又y=3，,y=-(g]在R都是单调递增函数，故函数/(x)在R上是增函数

故选A.

点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.

6、D

【解析】根据斜率公式，k=--=-\,选D.

1—()

7、B

【解析】由通+/=2而，利用向量加法的几何意义得出AABC是以A为直角的直角三角形，又|而|=|而||,

从而可求|AC|,|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解

【详解】由于通+就=2而，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，1•△ABC的外接圆的圆心为O,半径为

1,.•.三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，ZBAC=y,斜边BC=2,又丫|不耳=|不@.\|AC|=1,|AB|=6,

•••SAABc=gx|A8|x|Aq=gxlx6=¥，故选B.

【点睛】本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基础题

8、A

【解析】由斜二测画法的规则知与X，轴平行或重合的线段与x'轴平行或重合，其长度不变，与y轴平行或重合的线段

与x'轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在『轴上，可求得其长度为仓，故在平面图中其在y

轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2女，观察四个选项，A选项符合题意.故应选A

考点：斜二测画法

点评：注意斜二测画法中线段长度的变化

9、C

【解析】由题意结合零点存在定理确定/(x)的零点所在的区间即可.

【详解】由题意可知函数/(x)=：-/og2X在((),笆)上单调递减，且函数为连续函数，

1Q

注意到/(l)=3>0,/(2)=->0,/(3)=l-log23<0,/(4)=^-2<0,

结合函数零点存在定理可得/(X)的零点所在的区间是(2,3).

本题选择C选项.

【点睛】应用函数零点存在定理需要注意：

一是严格把握零点存在性定理的条件；

二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；

三是函数/U)在(a,切上单调且/(a)/3)V0,则/(x)在(a,6)上只有一个零点.

10、B

【解析】利用辅助角公式化简整理，得到辅助角9与8的关系，利用三角函数的图像和性质分析函数的最值，计算正

弦值即可.

【详解】〃x)=sinx+2cosx=逐sin(x+°),其中sinp=,COS0=立,

3万

因为当x=e时f(x)取得最小值，所以e+e=孑+2版■伏ez),

、

故sin8=sin一夕+2Ck77r=一si.nI—万~(p\=-cos(p

75

故选：B.

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11、至

2

【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，

C

所以OA=5OB=1

所以旋转体的体积:黑㈣1OC—OB)=V

37r

故答案为q.

2

12、271

【解析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.

TT

【详解】设扇形的半径为「，圆心角为了，

4

JI

..弧长/=rx—=〃，可得厂=4,

4

这条弧所在的扇形面积为S=-x^-x4=2兀c>,故答案为2".

2

【点睛】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.

13、1

【解析】根据题意，求得棱锥的底面积和高，由体积公式即可求得结果.

【详解】根据题意可得，RA_L平面48片，

故可得匕一%=；xgx3xlx2=l,

又因为%1一A%=%一从明，

故可得5.A*=1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，涉及转换棱锥的顶点，属基础题.

7

14、1或——

8

【解析】由诱导公式、二倍角公式变形计算

(7T\717171

【详解】2cos2a=sin——a=2sin(——2a)=4sin(——a)cos(——a),

<4J244

所以sin(2-a)=0或cos(2-a)=',

444

sin(?_a)=0时，sin2a=cosy-2a^=l-2sin2^-aj=l；

cos(-—a)=一时，sin2a=cos(--2a)=2cos2(--a)-l=——

44248

7

故答案为：1或-(

o

15^xv—l或x>3

【解析】令g(x)=〃x)+l=ln(J?TT-x),分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为

g(f_4)<g(2x—1),可得出关于x的不等式，解之即可.

【详解】令+x),对任意的xeR,—x>|x|—x>0,

故函数g(x)的定义域为R,

因为g(x)+g(-x)=ln(JJ?+］_xj+ln(+］+x)=In任+1-f)=0,

贝!lg(—x)=—g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，

当xWO时，令〃=Jl+f—x，由于函数%=巴定和“2=-x在(3,0］上均为减函数，

故函数H=+£—X在(YO,0］上也为减函数，

因为函数y=In”在(0,+8)上为增函数，故函数g(x)在(YO,0］上为减函数,

所以，函数g(x)在［(),”)上也为减函数，

因为函数g（x）在R上连续，则g（尤）在R上为减函数，

由/（2》_1）+/（4—》2）+2>0可得g（2x_l）+g（4_x2）>o,即-4）<g（2x—l）,

所以，X2-4>2X-1.即“2_2”—3>0,解得x<—1或x>3.

故答案为：x<-1或x>3.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16、（1）见详解；（2）见详解；（3）巫.

2

【解析】⑴先证DM〃川，可证DM//平面APC.

（2）先证AP_L平面P8C,得AP_LBC,结合AC,3c可证得BC_L平面APC.

（3）等积转换，由%可求得体积.

【详解】（1）证明：因为M为A8的中点，D为心的中点，

所以是△A5P的中位线，MDPAP.

又平面APC,APu平面APC,

所以MD〃平面APC.

⑵证明：因为为正三角形，力为的中点，所以

又MDPAP,所以北,收.

又因为APJ_PC,PBC\PC=P,所以APJ.平面P5C.

因为BCu平面PBC,所以AP,3c.

又因为8C_LAC,ACr\AP=A,

所以5。_1,平而42。.

⑶因为平面ESC,MDPAP,

所以MO_L平面,即MD是三棱锥M-DBC的高.

因为AB=10,M为A8的中点，△PM8为正三角形，

所以PB=MB=5,MD=BMB.

22

由BC_L平面APC,可得6CJ_PC,

在直角三角形PC6中，由P8=5,BC=4,可得PC=3.

于是S^BCD=~S^BCP=2x-x4x3=3.

所以％BCM=HwDBC~~S&BCD，MD=_X3X---=----•

lJ—ov/Wivl-iJov3LSDI^U322

【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定

定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方

法，选择易求的底面积和高来求体积.

17、(1)最小正同期为乃，对称轴方程为x=W+=(%eZ)

212

(2)

L2」

【解析】(1)利用三角函数的恒等变换公式将/(x)=6cos(2x-q1-2sinxcosx化为只含有一个三角函数形式，

即可求得结果；

(2)将g(x)=/(尤-二展开化简，然后采用整体处理的方法，求得答案.

11Z)11Z)

【小问1详解】

/(x)=5/3cos^2x-y^-2sinxcosx

11o上班,01-0

=73”—cos2x-i--2-sin2xJ-sin2x

6

——cos」2xH—si•n02x

22

I3j

2JI

所以fM的最小正同期为丁=71.

2

令2x+?=br+3%eZ),得对称轴方程为+声sZ).

【小问2详解】

由题意可知g(x)=sin2x+?J+cos2j;=*sin2x+-1cos2x=6、iin(2x+^],

I3j

I,「八九R「万4万

因为XW0,y,所以2X+]£—,

故—Wsin[zx+g]W1,所以—]Wg（x）<5/^,

故g（x）在0,j上的值域为V6.

18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为E,G是A8,CD的中点，所以EGLAB,由PAL平面ABC。又可以得到EG_LB4,故EGL

平面PM得证.（2）因FG为三角形的中位线,所以尸G//PD,从而可以证明EG//平面PAD，同理EGII平面PAD,

故而平面EFG//平面PAD.

解析：（D丁PA_L底面ABCD,EGu平面ABCD,：.PA±EG,又矩形ABCD中，瓦G分别为AB,CD中

点，,EG//AD,AD±AB,：.EG±AB,VPAC\AB=A,PA,ABi平面二EG,平面

IB,「EGu平面£7七，平面EFG_L平面A46.

（2）•.•矩形ABC。中，瓦6分别为45,。中点，二反7//仞，♦.•£G<Z平面PAO,ADu平面

PAO,•••EG//平面PAD,•.,尸是PC的中点，.••FG//PD,•.•FGa平面PAO,u平面PAD,，FG//

平面PAD,,.•EGCl尸G=G,EG,FGu平面ERG,.•.平面EFG//平面PAO.

1,2）

19、（1）f^x）=x2⑵

【解析】（1）因为函数是塞函数，求出机=1或加=2,再分别验证是否满足函数在（0,+8）上是增函数;

（2）由（D知/（x）=），根据函数的定义域和单调性解不等式.

【详解】（1）m2—3m+3=1»即〃?？—3〃z+2=0,贝!|（〃?—1）（根-2）=0,解得/”,=1或/九=2,

当/"=1时，〃X）=JT3=XT,

2

当加=2时,/（x）=x-^2

V/（x）在（0,+纪）上为增函数，=f.

（2）由（1）得/（x）定义域为[0,收）且/（x）在（0,+8）上为增函数，

fl+l>0L、

22、

A3-2a>0,解得：TWa<（，所以”的取值范围为：

a+1<3—2a

【点睛】本题考查基函数和根据函数的性质解抽象不等式，意在考查基本概念和基本方法，属于基础题型.

20.（1）答案见解析

（2）答案见解析（3）答案见解析

【解析】（D定义域均为R,代入“_工：化简可得出与门"的关系，从而判断奇偶性；（2）利用定义任取

A,.v,e（o,+s），且；<太，作差判断，色.）,/（物）的正负，可得出单调性；（3）根据奇偶性和单调性可得到一3

与2的不等关系，求解可得丁的范围.

【小问1详解】

解：选择条件①：a>1,匕=「

函数是偶函数，理由如下：

「、二的定义域为R,对任意、.eR,贝IL》eR-

因为f（f•）=a-x+ax=/（%）*

所以函数「於：是偶函数.

选择条件②：o<fl<l,b=-l-

函数/（、.是奇函数，理由如下：

的定义域为R,对任意eR,则£R.

因为/■（一动=a-x-ax=—f（x），

所以函数«心是奇函数.

【小问2详解】

选择条件①：a>1,匕=]

在（0,+s）上是增函数.

任取以，X?©（0，+S）,且*2<犬2’则/+久2>°，

因为a>1,

所以a八ax^>1-

xx

所以f(xJ-/(x:)=a'，+a-八一(a=+a-^

,X刈、a­/c'即八小）</（%）

所以“x；在：0,+s）上是增函数•

选择条件②：0<a<l,b=T

〃X）在（0,+8）上减函数•

任取X：e（0»+s>且h<x;

因为。<a<1,

所以a4>>0,

X1x

所以/'（必）-/（x2）=a-a-八一（a：-a-*O

……（】+f）>。'呱…

所以“X：在：0,+si上是减函数.

【小问3详解】

选择条件①：a〉1,b=1.

实数m的取值范围是[-5,-1]血5）

选择条件②：0<a<l,b=Y

实数m的取值范围是"s,-l]u[l,+