专题5.1 二元一次方程组的解法【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

专题5.1二元一次方程组的解法【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二元一次方程（组）的概念辨析】 1【题型2根据二元一次方程（组）的解求字母的值】 2【题型3二元一次方程组的一般解法】 3【题型4换元法解二元一次方程组】 4【题型5判断二元一次方程组的解的情况】 5【题型6已知一个方程组的解求另一个方程组的解】 5【题型7同解方程组中求字母的值】 6【题型8二元一次方程有唯一解】 6【题型9二元一次方程组的错解和遮挡问题】 6【题型10二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 7【知识点1二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。【题型1二元一次方程（组）的概念辨析】【例1】（2023·上海·七年级期末）下列方程组中，二元一次方程组有（

）①4x+y=2x-2y=-3；②2x-y=1y+z=1；③x=3y-5=0；A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列方程中，是二元一次方程的为（

）A．3x+2=-7 B．x+3=5y C．1x-y D【变式1-2】（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）若mx-3y=2x-7是关于x,y的二元一次方程，则m满足的条件是（

）A．m≠0 B．m≠2 C．m≠-1 D．m≠3【变式1-3】（2023春·浙江·七年级专题练习）若方程组x+ya-2【知识点2二元一次方程（组）的解】二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。【题型2根据二元一次方程（组）的解求字母的值】【例2】（2023春·四川泸州·七年级统考期末）若x=3y=2是关于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整数，则a+b的可能取值为（

A．4 B．5 C．7 D．9【变式2-1】（2023春·四川南充·七年级校考期末）关于x，y的方程组2x-y=mx+my=n的解是x=1y=3，则m+n的值是（A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-2】（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）若二元一次方程组2x-y=-2018-x+2y=-2017的解为x=ay=b，则a＋b的值为【变式2-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期末）若x=ay=b是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4的值是（

A．5 B．6 C．7 D．8【知识点3二元一次方程组的解法】1.代入消元法①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.2.加减消元法①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.【题型3二元一次方程组的一般解法】【例3】（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）解方程组：(1)2x+y=4x=y-1(2)3x-y=135x+2y=7【变式3-1】（2023春·湖北咸宁·七年级统考期末）解方程组：①x=2y3x-5y=9②4x-2y=73x+2y=10③4x+5y=92x-3y=7④x+y=0A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法C．②③用代入法，①④用加减法 D．①④用代入法，②③用加减法【变式3-2】（2023春·山西阳泉·七年级统考期末）下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程组：x+3y=1,现有两种思路，思路一：第一步将①转化为用含y的代数式表示x，得到方程③；第二步将③代入②，可消去未知数x．思路二：第一步给①×3，得到方程③；第二步用③-②任务：(1)我选择思路_____，该思路解二元一次方程组的方法为____________________；(2)按（1）中选择的思路，完成此方程组的解题过程；(3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想是_____________________．A．转化

B．公理化

C．演绎

D．数形结合【变式3-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）解方程组3x【题型4换元法解二元一次方程组】【例4】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）先阅读，再解方程组．解方程组x-y-1=0①4(x-y)-y=5②时，可由①得x-y=1③，然后再将③代入②解得y=-1，从而进一步得x=0y=-1这种方法被称为“整体代入法”请用上述方法解方程组2x-3y+2=0【变式4-1】（2023春·山西忻州·七年级统考期末）综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x+3y3观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x-y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y=m，6x-y=n，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得m=18n=16所以4x+3y=186x-y=16，解方程组，得__________探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y【变式4-2】（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）阅读材料：解方程组x-y-5=0①3x-y+2y=9②时，可由①得x-y=5③，然后再将③代入②，得3×5+2y=9，解得y=-3，将y=-3利用上述方法解方程组：3x+y+1=03x+y-6【变式4-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）先阅读下列材料；再解决相关问题：解方程组a-1解：设a-1=x，b+2=y，原方程组可转化为x+2y=6解方程组得x=2y=2，即a-1=2b+2=2，所以(1)如果用换元法解方程组：1m+1n=2,1m-1n=7，可以设x=(2)用换元法解方程组：2【题型5判断二元一次方程组的解的情况】【例5】（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=【变式5-1】（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a,b,c的值应满足的条件是(A．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）若方程组y=kx+by=3k-1x+2有无穷多组解，则【变式5-3】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（xA．0 B．1 C．2 D．3【题型6已知一个方程组的解求另一个方程组的解】【例6】（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b【变式6-1】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b【变式6-2】（2023春·湖南·七年级期末）若关于x，y的方程组4x+1+3ax-2y=16-bx+1+2x-2y=15（aA．x=4y=-7 B．x=2y=-7 C．x=2y=-4【变式6-3】（2023春·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）已知关于x，y的方程组ax+by=10mx-ny=8的解是x=1y=2，则关于x，y的方程组12A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=4y=-2【题型7同解方程组中求字母的值】【例7】（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已知方程组5x+y=3px+5y=4和x-2y=55x+qy=1有相同的解，则p，q的值为（A．p=1q=2 B．p=-4q=-6 C．p=-6q=2【变式7-1】（2023春·陕西西安·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组ax+3y=74x+y=9和-x+5y=35x+by=8同解，则a+b=【变式7-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期中）已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x-y=3(1)求这个相同的解；(2)求m、n的值；(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．【变式7-3】（2023春·四川自贡·七年级统考期末）下列方程中，与方程组x+y=52x-y=4A．x+y=5 B．2x-y=4C．x+y-52+2x-y-4【题型8二元一次方程有唯一解】【例8】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程(a-2)x+(a+1)y+8-a=0．无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（

）A．x=3y=-2 B．x=2y=-1 C．x=4y=6【变式8-1】（2023春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的二元一次方程(3a+2)x-(2a-3)y-11-10a=0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为．【变式8-2】（2023春·福建龙岩·七年级校考期中）无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是．【变式8-3】（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）在关于m，n的方程m+2n-8+λ4m+3n-7=0中，能使λ无论取何值时，方程恒成立的m，n【题型9二元一次方程组的错解和遮挡问题】【例9】（2023春·江苏·七年级专题练习）马虎的小李同学在解方程组y=kx+by=2x-1的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为x=1y=1；而粗心的小杨同学把方程组抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为x=3y=7【变式9-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）小刚解出了方程组3x-y=32x+y=Δ的解为x=4y=□．因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则Δ、□分别为【变式9-2】（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考期末）已知▲x+•y=1□x-7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=-1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=-2y=1【变式9-3】（2023春·江西·七年级校考阶段练习）已知方程组2x+my=10 ①nx-2y=-6 ②，小聪由于看错了方程①中的系数m，得到方程组的解为x=26y=42；小明由于看错了方程②中的系数【题型10二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】【例10】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）若方程组3x-y=4k-102x+6y=k的解满足x+y=2022，则k等于【变式10-1】（2023春·广西贵港·七年级统考期中）若关于x、y的