2022-2023学年湖南省多校联考高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1湖南省多校联考2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应的〖答案〗标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗；回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．2．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（）A． B． C． D．3．将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，则不同的排法共有（）A．108种 B．72种 C．36种 D．18种4．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．6．如图，沿着网格线，先从点A到点B，然后经过点C，到达点D的最短的路径的条数为（）A．720 B．480 C．360 D．2407．在三棱锥中，面ABC，，，且，若G为△PAB的重心，则CG与平面ABC所成角的正弦值为（）A． B． C． D．8．甲盒中有2个红球和1个黄球，乙盒中有1个红球和2个黄球，丙盒中有1个红球和1个黄球．从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线C：，则双曲线的（）A．焦点坐标为，B．离心率为C．渐近线方程为和D．虚轴长为110．已知随机事件A，B满足，，则（）A．若事件A，B互斥，则B．若，则事件A，B互斥C．若事件A，B相互独立，则D．若，则事件A，B相互独立11．如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条中线，G为△ABC的重心，设P为△ABC所在平面上任意一点，则（）A． B．C． D．12．如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，，E，F，G分别为，AB，的中点，H为正方形（包括边界）上的动点，则（）A．存在点H，使得E，F，G，H四点共面B．存在点H，使得面HEFC．若，则H的轨迹长度为D．四面体EFGH的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知为第二象限角，，则的值为________．14．从编号为1~5号的球中随机抽取一个球，记编号为i，再从剩下的球中取出一个球，记编号为j，在的条件下，的概率为________．15．已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为________．16．已知函数存在两个极值点，，且，则a的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）设（，）．（1）当，时，记的展开式中的系数为（，1，2，3，4，5，6，8），求的值；（2）若的展开式中的系数为20，求的最小值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，．（1）证明：平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）已知正项数列的前n项和为，且，，，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．20．（本小题满分12分）已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，且满足．（1）求p的值；（2）若，求直线AB的方程．

21．（本小题满分12分）目前，我国近视患者人数多达6亿，青少年近视率居世界第一，从宏观出发，为了民族的未来，从微现出发，为了青少年的健康，青少年的近视问题已经提升到国家战略层面．根据卫健委要求，某中学抽查了60名学生的视力情况，按，，，，，分组，制作成如图所示的频率分布直方图．（1）为了作进一步的调查，从视力在内的学生中随机抽取6人，若已知其中有两人的视力落在内，求另外四人视力均落在内的概率；（2）用样本频率估计总体，从全校学生中随机抽取两名学生，记视力落在区间内的人数为X，落在区间内的人数为Y，试求的值．22．（本小题满分12分）已知函数，．（1）若在上恒成立，求k的取值范围；（2）设为图象上一点，为图象上一点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，证明：．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题1．D〖解析〗全集为U，集合，，图中阴影部分表示的集合是．故选D．2．B〖解析〗根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为，故选B．3．C〖解析〗将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，首先将A，E排在中间3个位置，有种排法，再将剩下的3个人全排列有种排法，所以一共有种排法．故选C．4．C〖解析〗因为方程表示椭圆，所以有解得或．5．A〖解析〗当时，，即，即，又，即，故，即，当时，由，无解，综上，实数a的取值范围是．故选A．6．C〖解析〗从A点到B点需要向右走3段，向上走3段，共有种，从B点到C点，向下走1段，向右走2段，共种，从C点到D点，向右走2段，向上走2段，共种，因此，从A点到D点的最短路径的走法有种．故选C．7．D〖解析〗因为G为重心，故，从而，．即．，则．注意到平面ABC的法向量即，因此CG与平面ABC所成角的正弦值即为．故选D．8．A〖解析〗甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，因此丙盒中抽到的红球的概率为．故选A．二、多选题9．CD〖解析〗由，，．10．ACD〖解析〗对于A选项，，故A正确；对于B选项，，并不一定有A，B互斥；B错误对于C选项，因为事件A，B相互独立，故，故C正确；对于D选项，因为，故事件A，B相互独立，故D正确．11．ACD〖解析〗对于A选项，注意到，因此，从而，故A正确；对于B选项，由可得，即，故B错误；对于C选项，，，，相加即得，故C正确；对于D选项，，同理，，三式相加即得，故D正确．12．AC〖解析〗对于A选项，当H为时，E，F，G，H共面，故A正确；对于B选项，HG在面上的投影不可能与EF垂直，因此HG不垂直于EF，从而B错误；对于C选项，取，的中点M，N，当H在MN上时，FH在面上的投影为NH，而，且，因此，即H的轨迹即为MN，且其长度为，故C正确；对于D选项，由于面EFG与面不平行，因此体积不为定值．故D错误．三、填空题13．〖解析〗由为第二象限角可知在第一、三象限，而，则在第一象限，故，因此14．〖解析〗设事件A：，事件B：，则事件AB：，则，，从而．15．2〖解析〗直线过定点，过定点，当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而；当时，易求得，此时，综上可知，．16．〖解析〗依题意有两个零点，即方程有两个解，，且满足，设，则直线和函数的图象有两个不同的交点，且满足，因为，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得最大值，最大值为，故，所以作直线和函数的图象如下：由图象知：，因此①当时，，不符合题意；②当时，要，而函数在上单调递减，则，即，解得，所以．综合①②得．又因为函数在上单调递增，，，所以a的取值范围是．四、解答题17．解：（1）由题意．的展开式的通项为，的展开式的通项为，……2分故，，因此；……5分（2），即，……6分则，……7分由函数在上单调递减，在上单调递增．注意到n取值为整数，因此的最小值为．……9分因此的最小值为，……10分18．（1）证明：如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，∵，，∴，……2分∵，∴……4分∵，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；……6分（2）解：由AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：，，，．……8分设平面ACQ的法向量为，由，，有令，，，可得，……10分由，有，，．故直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为．……12分19．（1）解：依题意，当时，由，可得，……2分则，两式相减可得，即，即，因为为正项数列，因此，……5分则是以为首项，2为公差的等差数列，则；……6分（2）证明：由，而，……9分，即．……12分20．解：（1）设，，直线AB：，联立抛物线方程得，得，，……3分则．由可得，可得，得，……5分（2）由（1）可知拋物线方程为，，此时AB；，，．，……7分．……9分由，解得，……11分因此直线AB的方程为，即．……12分21．解：（1）视力落在内的人数为3，视力落在内的人数为6．设事件A：抽取的6人中有两人的视力落在内，事件B：剩下的四人视力落在内．则，，……2分从而；……4分（2）视力落在区间内的概率为，故．视力落在区间内的概率为，故．∴，……6分令，则Z的可能取值为0，1，2，3，4，若抽取的学生视力落在，内，则Z的值，若落在内，则Z的值，视力落在内的概率为，落在内的概率为，则；；；；．∴，……11分故．……12分22．（1）解：先证明，构造函数，则，故单调递增，从而，即，因此，……2分当时，，符合题意；……3分当时，构造函数，则，单调递增，且，，故存在，使得，且时，，即单调递减，则当时，，与题意矛盾．综上所述，；……5分（2）证明：依题意可知，，则，即，即．……6分因为，，则不等式为，设，则不等式为，……7分设，则，设，则，因此，即，即单调递减，因此，可得，即．……9分首先证明：，设，则，由（1）可知，∴，从而，故，单调递增，因此，从而，因而，故．……12分湖南省多校联考2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应的〖答案〗标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗；回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．2．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（）A． B． C． D．3．将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，则不同的排法共有（）A．108种 B．72种 C．36种 D．18种4．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．6．如图，沿着网格线，先从点A到点B，然后经过点C，到达点D的最短的路径的条数为（）A．720 B．480 C．360 D．2407．在三棱锥中，面ABC，，，且，若G为△PAB的重心，则CG与平面ABC所成角的正弦值为（）A． B． C． D．8．甲盒中有2个红球和1个黄球，乙盒中有1个红球和2个黄球，丙盒中有1个红球和1个黄球．从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线C：，则双曲线的（）A．焦点坐标为，B．离心率为C．渐近线方程为和D．虚轴长为110．已知随机事件A，B满足，，则（）A．若事件A，B互斥，则B．若，则事件A，B互斥C．若事件A，B相互独立，则D．若，则事件A，B相互独立11．如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条中线，G为△ABC的重心，设P为△ABC所在平面上任意一点，则（）A． B．C． D．12．如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，，E，F，G分别为，AB，的中点，H为正方形（包括边界）上的动点，则（）A．存在点H，使得E，F，G，H四点共面B．存在点H，使得面HEFC．若，则H的轨迹长度为D．四面体EFGH的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知为第二象限角，，则的值为________．14．从编号为1~5号的球中随机抽取一个球，记编号为i，再从剩下的球中取出一个球，记编号为j，在的条件下，的概率为________．15．已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为________．16．已知函数存在两个极值点，，且，则a的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）设（，）．（1）当，时，记的展开式中的系数为（，1，2，3，4，5，6，8），求的值；（2）若的展开式中的系数为20，求的最小值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，．（1）证明：平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）已知正项数列的前n项和为，且，，，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．20．（本小题满分12分）已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，且满足．（1）求p的值；（2）若，求直线AB的方程．

21．（本小题满分12分）目前，我国近视患者人数多达6亿，青少年近视率居世界第一，从宏观出发，为了民族的未来，从微现出发，为了青少年的健康，青少年的近视问题已经提升到国家战略层面．根据卫健委要求，某中学抽查了60名学生的视力情况，按，，，，，分组，制作成如图所示的频率分布直方图．（1）为了作进一步的调查，从视力在内的学生中随机抽取6人，若已知其中有两人的视力落在内，求另外四人视力均落在内的概率；（2）用样本频率估计总体，从全校学生中随机抽取两名学生，记视力落在区间内的人数为X，落在区间内的人数为Y，试求的值．22．（本小题满分12分）已知函数，．（1）若在上恒成立，求k的取值范围；（2）设为图象上一点，为图象上一点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，证明：．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题1．D〖解析〗全集为U，集合，，图中阴影部分表示的集合是．故选D．2．B〖解析〗根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为，故选B．3．C〖解析〗将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，首先将A，E排在中间3个位置，有种排法，再将剩下的3个人全排列有种排法，所以一共有种排法．故选C．4．C〖解析〗因为方程表示椭圆，所以有解得或．5．A〖解析〗当时，，即，即，又，即，故，即，当时，由，无解，综上，实数a的取值范围是．故选A．6．C〖解析〗从A点到B点需要向右走3段，向上走3段，共有种，从B点到C点，向下走1段，向右走2段，共种，从C点到D点，向右走2段，向上走2段，共种，因此，从A点到D点的最短路径的走法有种．故选C．7．D〖解析〗因为G为重心，故，从而，．即．，则．注意到平面ABC的法向量即，因此CG与平面ABC所成角的正弦值即为．故选D．8．A〖解析〗甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，因此丙盒中抽到的红球的概率为．故选A．二、多选题9．CD〖解析〗由，，．10．ACD〖解析〗对于A选项，，故A正确；对于B选项，，并不一定有A，B互斥；B错误对于C选项，因为事件A，B相互独立，故，故C正确；对于D选项，因为，故事件A，B相互独立，故D正确．11．ACD〖解析〗对于A选项，注意到，因此，从而，故A正确；对于B选项，由可得，即，故B错误；对于C选项，，，，相加即得，故C正确；对于D选项，，同理，，三式相加即得，故D正确．12．AC〖解析〗对于A选项，当H为时，E，F，G，H共面，故A正确；对于B选项，HG在面上的投影不可能与EF垂直，因此HG不垂直于EF，从而B错误；对于C选项，取，的中点M，N，当H在MN上时，FH在面上的投影为NH，而，且，因此，即H的轨迹即为MN，且其长度为，故C正确；对于D选项，由于面EFG与面不平行，因此体积不为定值．故D错误．三、填空题13．〖解析〗由为第二象限角可知在第一、三象限，而，则在第一象限，故，因此14．〖解析〗设事件A：，事件B：，则事件AB：，则，，从而．15．2〖解析〗直线过定点，过定点，当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而；当时，易求得，此时，综上可知，．16．〖解析〗依题意有两个零点，即方程有两个解，，且满足，设，则直线和函数的图象有两个不同的交点，且满足，因为，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得最大值，最大值为，故，所以作直线和函数的图象如下：由图象知：，因此①当时，，不符合题意；②当时，要，而函数在上单调递减，则，即，解得，所以．综合①②得．又因为函数在上单调递增，，，所以a的取值范围是．四、解答题17．解：（1）由题意．的展开式的通项为，的展开式的通项为，……2分故，，因此；……5分（2），即，……6分则，……7分由函数在上单调递减，在上单调递增．注意到n取值为整数