+广东省深圳实验学校2023--2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年广东省深圳实验学校九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每题3分，共30分，将正确答案的代号写在答题卷上）1．（3分）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（）A． B． C． D．2．（3分）如果与的和等于3，那么a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（3分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）A． B． C． D．14．（3分）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（）A．23° B．53° C．60° D．67°5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B． C．3 D．46．（3分）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°7．（3分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD8．（3分）函数y＝与y＝kx+1（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．9．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定10．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于点N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF，记x＝，y＝，z＝，则有（）A．x＞y＞z B．x＝y＝z C．x＝y＞z D．x＞y＝z二.填空题（每空3分，共15分，将答案写在答题卷上）11．（3分）因式分解：﹣2x2+18＝．12．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1y2（填“＞”或“＜”）．13．（3分）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为．14．（3分）如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点D，E分别在边AC，AB上，点F是边BC的中点．现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，则AE＝cm．15．（3分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则n的值＝．​三.解答题（共7小题，16题8分，17题5分，18题7分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）16．（8分）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；（2）解不等式组：．17．（5分）先化简，再求值：，其中x＝1．18．（7分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分优秀，良好，合格，不合格四个等级（分别用A，B，C，D表示），现从中随机抽取若干名学生的“综合素质“的等级作为样本进行数据分析，并绘制下列两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．（1）本次随机抽取的学生有名，等级为优秀（A）的学生人数所占的百分比是；（2）在扇形统计图中，等级为合格（C）的学生所在扇形的圆心角度数是；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校九年级学生共1200名，请根据以上调查结果估算，等级为良好及良好以上的学生共有多少名？19．（8分）班级搞活动，需要购置甲乙两种物品．已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用150元购买甲种物品的件数恰好与用120元购买乙种物品的件数相同．（1）求甲乙两种物品每件的价格分别是多少元？（2）若550元班会费全部用于购买甲乙两种物品（两种都要有），问可购买甲乙两种物品各几件？20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．（1）求证：∠DMN＝∠BNM；（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．21．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．22．（10分）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．求证：．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．

2023-2024学年广东省深圳实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，共30分，将正确答案的代号写在答题卷上）1．（3分）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（）A． B． C． D．【解答】解：A．长方体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，故不符合题意；B．圆锥的三视图主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意；C．圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；D．球的三视图都是圆，故符合题意；故选：D．2．（3分）如果与的和等于3，那么a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵与＝2的和等于3，∴＝3﹣2＝，故a+1＝3，则a＝2．故选：C．3．（3分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）A． B． C． D．1【解答】解：∵四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，∴现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为＝，故选：B．4．（3分）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（）A．23° B．53° C．60° D．67°【解答】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H．∵AB∥CD，∴∠2＝∠FHG．又∵∠1+∠E＝∠FHG，∴∠2＝∠1+∠E＝23°+30°＝53°．故选：B．5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B． C．3 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC＝6，BD＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴CB＝＝5，∵E为边BC的中点，∴OE＝BC＝．故选：B．6．（3分）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AP＝BP，CQ＝AQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，∵∠BAC＝110°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，故选：A．7．（3分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD【解答】解：A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AO＝BO，∴OA＝OC＝OB＝OD，即AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：B．8．（3分）函数y＝与y＝kx+1（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．【解答】解：当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝kx+1在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意；当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝kx+1在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，故选：C．9．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：∵b+c＝5，∴c＝5﹣b．Δ＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24．∵（b﹣6）2≥0，∴（b﹣6）2+24＞0，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．故选：A．10．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于点N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF，记x＝，y＝，z＝，则有（）A．x＞y＞z B．x＝y＝z C．x＝y＞z D．x＞y＝z【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∵DE⊥AF，∴∠BAF+∠DEA＝90°，∴∠AFB＝∠DEA，在△AFB和△DEA，，∴△AFB≌△DEA（AAS），∴∠BAF＝∠ADE，BF＝AE，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，∴∠ADE＝∠BDE＝22.5°，∵∠ABF＝∠AON＝90°，∠BAF＝∠NAO，∴△ABF∽△AON，∵∠BAN＝∠CAF，∠ABN＝∠ACF＝45°，∴△BAN∽△CAF，∴y＝＝＝＝，z＝＝＝，∴y＝z，∵BF＝AE，AB＝BC，∴BE＝CF，∴＝＝，∵∠ADE＝22.5°，∠EAD＝90°，∴∠AEM＝67.5°，∠AME＝∠ADE+∠MAD＝67.5°，∴∠AEM＝∠AME，∴AE＝AM，过点M作MH⊥AD于点H，如图：∵∠ADE＝22.5°，∠EDB＝45°，∴∠MDO＝∠MDH＝22.5°，∵MH⊥AD，MO⊥AC，∴OM＝HM，∵∠MAH＝45°，∠MHA＝90°，∴AM＝HM＝OM，∴AE＝OM，∴BE＝AE＝2OM，∴x＝＝2，∴x＞y＝z．解法二：作OP∥AB交DE于P．∵AN平分∠BAO，∴＝＝＝＝，即y＝z＝．∵△AEM的角平分线与高重合．∴△AEM的等腰三角形，AM＝AE，∵OP∥AB，OB＝OD，∴EP＝DP，∴△OMP∽△AME，∴＝，∴OP＝OM，∴x＝＝＝2，∴x＞y＝z，故选：D．二.填空题（每空3分，共15分，将答案写在答题卷上）11．（3分）因式分解：﹣2x2+18＝﹣2（x+3）（x﹣3）．【解答】解：﹣2x2+18＝﹣2（x2﹣9）＝﹣2（x+3）（x﹣3），故答案为：﹣2（x+3）（x﹣3）．12．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1＞y2（填“＞”或“＜”）．【解答】解：∵y＝中k＝6＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．13．（3分）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为2．【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，∴a+b＝3，ab＝1，∴a+b﹣ab＝3﹣1＝2．故答案为：2．14．（3分）如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点D，E分别在边AC，AB上，点F是边BC的中点．现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，则AE＝cm．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB＝＝5（cm），过F作FH⊥AB于H，∴∠BHF＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BFH∽△BAC，∴＝＝，∵点F是边BC的中点，∴BF＝BC＝2，∴＝＝，∴FH＝，BH＝，∴EH＝5﹣﹣AE＝﹣AE，∵现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，∴EF＝AE，∵EF2＝HF2+EH2，∴AE2＝（）2+（﹣AE）2，解得：AE＝（cm），故答案为：．15．（3分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则n的值＝﹣3．​【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝|n|，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故答案为：﹣3．三.解答题（共7小题，16题8分，17题5分，18题7分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）16．（8分）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，∴x＝＝，∴，；（2），解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．17．（5分）先化简，再求值：，其中x＝1．【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．18．（7分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分优秀，良好，合格，不合格四个等级（分别用A，B，C，D表示），现从中随机抽取若干名学生的“综合素质“的等级作为样本进行数据分析，并绘制下列两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．（1）本次随机抽取的学生有50名，等级为优秀（A）的学生人数所占的百分比是40%；（2）在扇形统计图中，等级为合格（C）的学生所在扇形的圆心角度数是57.6°；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校九年级学生共1200名，请根据以上调查结果估算，等级为良好及良好以上的学生共有多少名？【解答】解：（1）∵被调查的学生数为：18÷36%＝50（人），∴A等级人数为50﹣（18+8+4）＝20（人），则等级为优秀（A）的学生人数所占的百分比是×100%＝40%，故答案为：50，40%；（2）等级为合格（C）的学生所在扇形的圆心角度数是360°×＝57.6°，故答案为：57.6°；（3）补全条形统计图如下：（4）（名），答：评价结果为良好及良好等级以上的学生大约共有912名．19．（8分）班级搞活动，需要购置甲乙两种物品．已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用150元购买甲种物品的件数恰好与用120元购买乙种物品的件数相同．（1）求甲乙两种物品每件的价格分别是多少元？（2）若550元班会费全部用于购买甲乙两种物品（两种都要有），问可购买甲乙两种物品各几件？【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格为x元，则每件甲种物品的价格为（x+10）元，依题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝50．答：每件甲种物品的价格为50元，每件乙种物品的价格为40元．（2）设可以购进甲种物品m件，乙种物品n件，依题意得：50m+40n＝550，∴m＝11﹣n．又∵m，n均为正整数，∴或．答：可以购进7件甲种物品、5件乙种物品或3件甲种物品、10件乙种物品．20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．（1）求证：∠DMN＝∠BNM；（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BM∥DN，∴∠MBO＝∠NDO，又∠BOM＝∠DON，∴△BOM≌△DON（ASA），∴BM＝DN，∴四边形BMDN为平行四边形，∴BN∥DM，∴∠DMN＝∠BNM；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．21．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝（x＞0）的图象经过点A（4，1），∴1＝．∴m＝4．∴反比例函数解析式为y2＝（x＞0）．把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．∴点B坐标为（，8），∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8），∴．∴．故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．（2）由y1﹣y2＞0，∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值．由图象可得，＜x＜4．（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，∴Q（p，）．∴PQ＝﹣2p+9﹣．∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣）•p＝3．解得p1＝，p2＝2．∴P（，4）或（2，5）．22．（10分）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．求证：．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为200．【解答】【阅读理解】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC2