2024届湖北省黄冈市浠水县洗马高级中学高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届湖北省黄冈市浠水县洗马高级中学高一数学第二学期期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知是等差数列的前项和，.若对恒成立，则正整数构成的集合是（）A． B． C． D．2．在中，角、、所对的边分别为、、，如果，则的形状是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形3．已知数列的通项公式，前项和为，则关于数列、的极限，下面判断正确的是（）A．数列的极限不存在，的极限存在B．数列的极限存在，的极限不存在C．数列、的极限均存在，但极限值不相等D．数列、的极限均存在，且极限值相等4．已知角的终边过点，则的值为A． B． C． D．5．l：的斜率为A．﹣2 B．2 C． D．6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A． B．C． D．7．设集合，，，则（）A． B． C． D．8．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（）A． B． C． D．9．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．如图，将边长为的正方形沿对角线折成大小等于的二面角分别为的中点，若，则线段长度的取值范围为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的最小正周期是____.12．函数的最小值是．13．已知数列的通项公式为，的前项和为，则___________.14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________15．某公司租地建仓库，每月土地占用费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元.16．数列满足，则的前60项和为_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若（1）化简；（2）求函数的单调递增区间.18．已知向量.（1）若向量，且，求的坐标；（2）若向量与互相垂直，求实数的值.19．在等差数列中，为其前项和()，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项为，证明：20．在△中，，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的大小．21．已知平面向量，且（1）若是与共线的单位向量，求的坐标；（2）若，且，设向量与的夹角为，求．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

先分析出，即得k的值.【题目详解】因为因为所以.所以,所以正整数构成的集合是.故选A【题目点拨】本题主要考查等差数列前n项和的最小值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、C【解题分析】

结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果【题目详解】利用正弦定理得，化简得，即，则或，解得或故的形状是等腰三角形或直角三角形故选：C【题目点拨】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题3、D【解题分析】

分别考虑与的极限，然后作比较.【题目详解】因为，又，所以数列、的极限均存在，且极限值相等，故选D.【题目点拨】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到.4、B【解题分析】

由三角函数的广义定义可得的值.【题目详解】因为，故选B.【题目点拨】本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力.5、B【解题分析】

先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率.【题目详解】由题得直线的方程为y=2x,所以直线的斜率为2.故选：B【题目点拨】本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解题分析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，故选B．考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．7、A【解题分析】因为，所以，又因为，，故选A.8、C【解题分析】

根据题意，利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出答案．【题目详解】由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，所以ab＝6；则S△ABCabsinC；故选：C．【题目点拨】本题考查余弦定理、三角形面积计算公式，关键是利用余弦定理求出ab的值.9、C【解题分析】由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，，则该双曲线的离心率为.故选C.10、A【解题分析】

连接和，由二面角的定义得出，由结合为的中点，可知是的角平分线且，由的范围可得出的范围，于是得出的取值范围．【题目详解】连接，可得，即有为二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，则，故答案为，故选A．【题目点拨】本题考查线段长度的取值范围，考查二面角的定义以及锐角三角函数的定义，解题的关键在于充分研究图形的几何特征，将所求线段与角建立关系，借助三角函数来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

将三角函数化简为标准形式，再利用周期公式得到答案.【题目详解】由于所以【题目点拨】本题考查了三角函数的化简，周期公式，属于简单题.12、3【解题分析】试题分析：考点：基本不等式.13、【解题分析】

计算出，再由可得出的值.【题目详解】当时，则，当时，则，当时，.，，因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列求和，解题的关键就是找出数列的规律，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14、1【解题分析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7=a1(1-2点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.15、8.2【解题分析】

设仓库与车站距离为公里，可得出、关于的函数关系式，然后利用双勾函数的单调性求出的最小值.【题目详解】设仓库与车站距离为公里，由已知，.费用之和，求中，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，所以，当时，取得最小值万元，故答案为：.【题目点拨】本题考查利用双勾函数求最值，解题的关键就是根据题意建立函数关系式，再利用基本不等式求最值时，若等号取不到时，可利用相应的双勾函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16、1830【解题分析】

由题意可得，，，，，，…，，变形可得，，，，，，，，…，利用数列的结构特征，求出的前60项和．【题目详解】解：，∴，，，，，，…，，∴，，，，，，，，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，的前60项和为，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前项和，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）利用利用诱导公式化简得解析式，可的结果．（2）利用余弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．【题目详解】（1）.（2）令，，的单调递增区间为.【题目点拨】本题考查利用诱导公式化简求值、求余弦函数的单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题．18、（1）或（2）【解题分析】

（1）因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程.（2）由于已知条件可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题.【题目详解】（1）法一:设，则，所以解得所以或法二:设，因为，，所以，因为，所以解得或，所以或（2）因为向量与互相垂直所以，即而，，所以，因此，解得【题目点拨】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.19、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；（2）化简，再利用裂项相消求数列的和，化简整理，即可证得．【题目详解】（1）设等差数列的公差是，由，，得解得，，∴.（2）由（1）知，，∴，，因为，则成立.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式的求法，也考查了裂项相消求和求数列的和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）通过正弦定理易得，代入即可．（Ⅱ）三边长知道通过余弦定理即可求得的大小．【题目详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得．因为，所以．（Ⅱ）由余弦定理．因为三角形内角，所以．【题目点拨】此题考查正弦定理和余弦定理，记住公式很容易求解，属于简单题目．21、或【解题分析】分析：（1）由与共线，可设，又由为单位