2024届江苏省无锡市太湖高级中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届江苏省无锡市太湖高级中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，，，则（）A．或 B． C． D．2．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（）A． B． C． D．3．已知等比数列的前项和为，，，则（）A．31 B．15 C．8 D．74．已知数列中，，则=（）A． B． C． D．5．已知，，，则（）A． B． C．-7 D．76．如果存在实数，使成立，那么实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或7．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：A．100 B．80 C．60 D．408．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（）A．0 B．2 C．4 D．149．若，则下列不等式不成立的是()A． B． C． D．10．若，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．12．直线的倾斜角为_____________13．记为数列的前项和.若，则_______.14．已知，则的值为__________．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．16．若复数z满足z⋅2i=z2+1（其中i三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约km/h的的B处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，最多需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？18．某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如下表：售价（元）45678周销量（件）9085837973（1）求周销量y（件）关于售价x（元）的线性回归方程；（2）按（1）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于598元，则该店应该将产品的售价定为多少？参考公式：，.参考数据：，19．若，讨论关于x的方程在上的解的个数.20．已知等比数列的首项为，公比为，它的前项和为.（1）若，，求；（2）若，，且，求.21．△ABC的内角A，B，C所对边分别为，已知△ABC面积为.（1）求角C；（2）若D为AB中点，且c=2，求CD的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由正弦定理计算即可。【题目详解】由题根据正弦定理可得即，解得，所以为或，又因为，所以为故选C.【题目点拨】本题考查正弦定理，属于简单题。2、D【解题分析】

根据两个球的表面积之比求出半径之比，利用半径之比求出球的体积比.【题目详解】由题知，则.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了球体的表面积公式和体积公式，属于基础题.3、B【解题分析】

利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.【题目详解】由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.故选：B.【题目点拨】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.4、B【解题分析】

，故选B.5、C【解题分析】

把已知等式平方后可求得．【题目详解】∵，∴，即，，∵，∴，∴，，∴．故选C．【题目点拨】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正切公式，解题关键是把已知等式平方，并把1用代替，以求得．6、A【解题分析】

根据，可得，再根据基本不等式取等的条件可得答案.【题目详解】因为，所以，即，即，又（当且仅当时等号成立）所以，所以.故选：A【题目点拨】本题考查了余弦函数的值域，考查了基本不等式取等的条件，属于中档题.7、A【解题分析】

根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8、B【解题分析】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=1，由a＜b，则b变为4﹣1=1，由a=b=1，则输出的a=1．故选B．9、A【解题分析】

由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.【题目详解】由题得a＜b＜0，对于选项A,=，所以选项A错误.对于选项B,显然正确.对于选项C,，所以，所以选项C正确.对于选项D,，所以选项D正确.故答案为A【题目点拨】(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.10、D【解题分析】

利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.【题目详解】对于选项A,不一定成立，如a=1＞b=-2,但是，所以该选项是错误的；对于选项B,所以该选项是错误的；对于选项C,ab符号不确定，所以不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D,因为a>b,所以，所以该选项是正确的.故选D【题目点拨】本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.【题目详解】设球半径为，则，解得，所以【题目点拨】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.12、【解题分析】

先求得直线的斜率，由此求得对应的倾斜角.【题目详解】依题意可知，直线的斜率为，故倾斜角为.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的计算，属于基础题.13、【解题分析】

由和的关系，结合等比数列的定义，即可得出通项公式.【题目详解】当时，当时，即则数列是首项为，公比为的等比数列故答案为：【题目点拨】本题主要考查了已知求，属于基础题.14、【解题分析】

利用诱导公式将等式化简，可求出的值.【题目详解】由诱导公式可得，故答案为.【题目点拨】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.15、【解题分析】由三视图知该几何体是一个半圆锥挖掉一个三棱锥后剩余的部分，如图所示，所以其体积为.点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.16、1【解题分析】设z=a+bi,a,b∈R，则由z⋅2则-2b=a2+b2+12a=0三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析.【解题分析】

由题意利用正弦定理首先求得的大小，然后确定检查员检查合格的方法即可.【题目详解】检查开始处为，设公路上两点到考点的距离均为1km.在中，,由正弦定理，得，，.在中，,为等边三角形，.在段需要5min，在段需要5min.则最多需要5min，检查员开始收不到信号，并至少持续5min.【题目点拨】本题主要考查正弦定理的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、（1）；（2）14元【解题分析】

（1）由表中数据求得,结合参考数据可得.再代入方程即可求得线性回归方程.（2）设售价为元,代入（1）中的回归方程,求得销量.即可求得利润的表达式.由于周利润大于598元,得不等式后,解不等式即可求解.【题目详解】（1）由表可得,因为,由参考数据,,所以代入公式可得,则,所以线性回归方程；（2）设售价为元,由（1）知周销量为,所以利润,解得,因为,则.所以为了确保周利润大于598元,则该店应该将产品的售价定为14元.【题目点拨】本题考查了线性回归方程的求法和简单应用,一元二次不等式的解法,属于基础题.19、答案不唯一，见解析【解题分析】

首先将方程化简为，再画出的图像，根据和交点的个数即可求出方程根的个数.【题目详解】由题知：，，.令，，图像如图所示：当或，即或时，无解，即方程无解.当，即时，得到，则方程有两个解.当，即时，得到在有两个解，则方程有四个解.当，即时，得到或，则方程有四个解.当，即时，得到在有一个解，则方程有两个解.当，即时，得到，则方程有一个解.综上所述：当或时，即方程无解，当时，方程有一个解.当或时，方程有两个解.当时，方程有四个解.【题目点拨】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解题的关键，属于难题.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据题意建立和的方程组，求出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；（2）分、、三种情况讨论，然后利用等比数列的求和公式求出和，即可计算出.【题目详解】（1）若，则，得，则，这与矛盾，则，所以，，解得，因此，；（2）当时，则，所以，；当时，，，则，此时;当时，则.因此，.【题目点拨】本题考查等比数列通项公式的计算，同时也考查了与等比数列前项和相关的数列极限的计算，解题时要注意对公比的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.21、（1）（2）【解题分析】

（1）根据，由正弦定理化