2024届四川省蓉城名校联盟数学高一下期末达标测试试题含解析

2024届四川省蓉城名校联盟数学高一下期末达标测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是A． B． C． D．2．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④3．关于的方程在内有相异两实根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.95．已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．116．已知向量，向量，且，那么等于()A． B． C． D．7．函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A． B． C． D．8．的值是()A． B． C． D．9．在棱长为2的正方体中，是内（不含边界）的一个动点，若，则线段的长的取值范围为（）A． B． C． D．10．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789ABCDEF10进制0123456789101112131415现在，将十进制整数2019化成16进制数为（）A．7E3 B．7F3 C．8E3 D．8F3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知点，点，则________．12．已知圆，直线l被圆所截得的弦的中点为.则直线l的方程是________（用一般式直线方程表示）.13．在等比数列中，，公比，若，则达到最大时n的值为____________．14．已知正数、满足，则的最小值是________．15．若，则________.16．已知向量，，则与的夹角等于_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某地区有小学21所，中学14所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取5所学校，对学生进行视力检查．（1）求应从小学、中学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的5所学校中抽取2所学校作进一步数据分析：①列出所有可能抽取的结果；②求抽取的2所学校至少有一所中学的概率．18．如图，在直角梯形中，，，，，记，.（1）用，表示和；（2）求的值.19．已知数列的前n项和为，满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）令，，求数列的前n项和.20．在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．21．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元，满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2020年该产品的利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

可先确定奇偶性，再确定单调性．【题目详解】由题意A、B、C三个函数都是偶函数，D不是偶函数也不是奇函数，排除D，A中在上不单调，C中在是递增，只有B中函数在上递减．故选B．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时可分别确定函数的这两个性质．2、D【解题分析】

作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【题目详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,与为互相垂直的异面直线,故①不正确;,故②正确;与为异面直线,故③正确;由正方体性质可知平面,故,故④正确.故选:D【题目点拨】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.3、C【解题分析】

将问题转化为与有两个不同的交点；根据可得，对照的图象可构造出不等式求得结果.【题目详解】方程有两个相异实根等价于与有两个不同的交点当时，由图象可知：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查正弦型函数的图象应用，主要是根据方程根的个数确定参数范围，关键是能够将问题转化为交点个数问题，利用数形结合来进行求解.4、C【解题分析】

由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A+B).【题目详解】因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.【题目点拨】本题考查互斥事件的概率，能利用对立事件概率之和为1进行计算，属于基本题.5、B【解题分析】

由题意，得到，结合基本不等式，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，正实数a，b满足，则，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.6、D【解题分析】

由两向量平行，其向量坐标交叉相乘相等，得到.【题目详解】因为，所以，解得：.【题目点拨】本题考查向量平行的坐标运算，考查基本运算，注意符号的正负.7、D【解题分析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.8、A【解题分析】由于==.故选A．9、C【解题分析】

先判断是正四面体，可得正四面体的棱长为，则的最大值为的长，的最小值是到平面的距离，结合不在三角形的边上，计算可得结果.【题目详解】由正方体的性质可知，是正四面体，且正四面体的棱长为，在内，的最大值为，的最小值是到平面的距离，设在平面的射影为,则为正三角形的中心，，，的最小值为，又因为不在三角形的边上，所以的范围是，故选C.【题目点拨】本题主要考查正方体的性质及立体几何求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.10、A【解题分析】

通过竖式除法，用2019除以16，取其余数，再用商除以16，取其余数，直至商为零，将余数逆着写出来即可.【题目详解】用2019除以16，得余数为3，商为126；用126除以16，得余数为14，商为7；用7除以16，得余数为7，商为0；将余数3,14,7逆着写，即可得7E3.故选：A.【题目点拨】本题考查进制的转化，只需按照流程执行即可.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

直接利用两点间的距离公式求解即可．【题目详解】点A（2，1），B（5，﹣1），则|AB|．故答案为：．【题目点拨】本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．12、【解题分析】

将圆的方程化为标椎方程，找出圆心坐标与半径，根据垂径定理得到直线与直线垂直，根据直线的斜率求出直线的斜率，确定出直线的方程即可．【题目详解】由已知圆的方程可得，所以圆心，半径为3，由垂径定理知：直线直线，因为直线的斜率，所以直线的斜率，则直线的方程为，即.故答案为：.【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.13、7【解题分析】

利用，得的值【题目详解】因为，，所以为7.故答案为：7【题目点拨】本题考查等比数列的项的性质及单调性，找到与1的分界是关键，是基础题14、.【解题分析】

利用等式得，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【题目详解】，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是，故答案为：.【题目点拨】本题考查利用基本不等式求最值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15、【解题分析】

观察式子特征，直接写出，即可求出。【题目详解】观察的式子特征，明确各项关系，以及首末两项，即可写出，所以，相比，增加了后两项，少了第一项，故。【题目点拨】本题主要考查学生的数学抽象能力，正确弄清式子特征是解题关键。16、【解题分析】

由已知向量的坐标求得两向量的模及数量积，代入数量积求夹角公式得答案．【题目详解】∵（﹣1，），（，﹣1），∴，，则cos，∴与的夹角等于．故答案为：．【题目点拨】本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求向量的夹角，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）3所、2所；（2）①共10种；②【解题分析】

（1）根据分层抽样的方法，得到分层抽样的比例，即可求解样本中小学与中学抽取的学校数目；（2）①3所小学分别记为；2所中学分别记为，利用列举法，即可求得抽取的2所学校的所有结果；②利用古典概型的概率计算公式，即可求得相应的概率．【题目详解】（1）学校总数为35所，所以分层抽样的比例为，计算各类学校应抽取的数目为：，故从小学、中学中分别抽取的学校数目为3所、2所．（2）①3所小学分别记为；2所中学分别记为应抽取的2所学校的所有结果为：共10种．②设“抽取的2所学校至少有一所中学”作为事件．其结果共有7种，所以概率为．【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18、（1），；（2）1【解题分析】

（1）根据向量的线性运算可直接求解得到结果；（2）将所求数量积转化为，根据数量积运算性质求得结果.【题目详解】（1），（2）由（1）得：【题目点拨】本题考查利用基底表示向量、平面向量数量积的求解问题；关键是能够熟练掌握平面向量的线性运算和数量积运算的性质.19、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）利用当时，求证即可；（2）先结合（1）求得，再由，然后累加求和即可.【题目详解】解：（1）因为，①，②①-②得：，即，又，即，则，即数列是以6为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）得，则，即，则，即，故.【题目点拨】本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了公式法求和及裂项求和法求和，属中档题.20、(1)；（2）.【解题分析】

（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可求出B的度数；（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，将b，c及cosA的值代入即可求出值．【题目详解】(1),由正弦定理得，所以，因为三角形ABC为锐角三角形，所以.（2）由余弦定理得，，所以所以.21、（1）；（2）厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.【解题分析】