2024届黑龙江省普通高等学校数学高一下期末学业质量监测试题含解析

2024届黑龙江省普通高等学校数学高一下期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．－ B． C．－ D．2．平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O点逆时针旋转后与单位园交于点B，则B的横坐标为（）A． B． C． D．3．在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，若，，，则其外接球的表面积为（）A． B． C． D．4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下列命题正确是（）A．m∥n，m∥α⇒n∥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n D．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）345.156.1264.04187.51218.01A． B． C． D．6．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据()A．一样稳定 B．变得比较稳定C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断7．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件，则的对立事件是（）A．至多有一件次品 B．两件全是正品 C．两件全是次品 D．至多有一件正品8．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．将函数的图像向右平衡个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增10．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,70二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数，的递增区间为______.12．已知函数，则函数的最小值是___．13．已知角终边经过点，则__________.14．方程在区间的解为_______.15．若，则______，______.16．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在锐角中，角,,所对的边分别为，，.已知,.（1）求的值；（2）若,求的面积.18．在中，角的对边分别为，已知，，.（1）求的值；（2）求和的值.19．已知函数f(x)=sin22x-π4（1）求当t=1时，求fπ（2）求gt（3）当-12≤t≤1时，要使关于t的方程g(t)=20．设全集为，集合，集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.21．如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到1°，参考数据：，）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】试题分析：由已知可得，故选D.考点：程序框图.2、B【解题分析】

，B的横坐标为，计算得到答案.【题目详解】有题意知：B的横坐标为：故答案选B【题目点拨】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.3、A【解题分析】

根据题意，将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线为其外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积．【题目详解】∵，，∠ABC=90∘，∴将直三棱柱扩充为长、宽、高为2、2、3的长方体,其体对角线为其外接球的直径,长度为，∴其外接球的半径为,表面积为=17π.故选：A.【题目点拨】本题考查几何体外接球，通常将几何体进行割补成长方体，几何体外接球等同于长方体外接球，利用长方体外接球直径等于体对角线长求出半径，再求出球的体积和表面积即可，属于简单题.4、D【解题分析】

在A中，n∥α或n⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．【题目详解】由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在A中，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故A错误；在B中，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n平行或异面，故B错误；在C中，α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5、A【解题分析】

由表中的数据分析得：自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的单调性，即可得出答案.【题目详解】对于A：函数在是单调递增，且函数值增加速度越来越快，将自变量代入，相应的函数值，比较接近，符合题意，所以正确；对于B：函数值随着自变量增加是等速的，不合题意；对于C：函数值随着自变量的增加比线性函数还缓慢，不合题意；选项D：函数值随着自变量增加反而减少，不合题意.故选:A.【题目点拨】本题考查函数模型的选择和应用问题，解题的关键是掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图像与性质，属于基础题.6、C【解题分析】

根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．【题目详解】由题可得：平均值为2，由，，所以变得不稳定.故选：C.【题目点拨】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．7、B【解题分析】

根据对立事件的概念，选出正确选项.【题目详解】从四件正品、两件次品中随机取出两件，“至少有一件次品”的对立事件为两件全是正品.故选：B【题目点拨】本小题主要考查对立事件的理解，属于基础题.8、A【解题分析】

首先设，将题意转化为，即可，再分类讨论求出，解不等式组即可.【题目详解】，恒成立，等价于，恒成立.令，对称轴为.即等价于，即可.当时，得到，解得：.当时，得到，解得：.当时，得到，解得：.综上所述：.故选：A【题目点拨】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，同时考查了二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键，属于中档题.9、C【解题分析】

根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质，得出结论．【题目详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin（2x）的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）＝2sin（x）的图象，故g（x）的最大值为2，故A错误；显然，g（x）的最小正周期为2π，故B错误；当时，g（x）＝，是最小值，故函数g（x）的图象关于直线对称，故C正确；在区间上，x∈[，]，函数g（x）＝2sin（x）单调递减，故D错误，故选：C．【题目点拨】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质应用，属于基础题．10、B【解题分析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、[0，](开区间也行)【解题分析】

根据正弦函数的单调递增区间，以及题中条件，即可求出结果.【题目详解】由得：，又，所以函数，的递增区间为.故答案为【题目点拨】本题主要考查正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的单调区间即可，属于常考题型.12、5【解题分析】因为，所以，函数，当且仅当，即时等号成立．点睛：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在用基本不等式时，注意＂一正二定三相等＂这三个条件，关键是找定值，在本题中，将拆成，凑成定值，再用基本不等式求出最小值．13、4【解题分析】

根据任意角的三角函数的定义，结合同角三角函数的基本关系求解即可．【题目详解】因为角终边经过点，所以，因此.故答案为：4【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．14、或【解题分析】

由题意求得，利用反三角函数求出方程在区间的解．【题目详解】解：，得，，或，；方程在区间的解为：或．故答案为：或．【题目点拨】本题考查了三角函数方程的解法与应用问题，是基础题．15、【解题分析】

对极限表达式进行整理，得到，由此作出判断，即可得出参数的值.【题目详解】因为所以，解得：.故答案为：；【题目点拨】本题主要考查由极限值求参数的问题，熟记极限运算法则即可，属于常考题型.16、0【解题分析】

将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为，计算得到答案.【题目详解】如图所示：将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为或故答案为0【题目点拨】本题考查了直线和圆相交问题，判断每段弧对应的圆周角为是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）3.【解题分析】

（1）利用正弦定理可得，消元后可得关于的三角方程，从该方程可得的值.（2）利用同角的三角函数的基本关系式结合（1）中的结果可得，再根据题设条件得到后再利用正弦定理可求的值，从而得到所求的面积.【题目详解】(1)在由正弦定理得，①，因为,所以，又因为，所以，整理得到，故.(2)在锐角中，因为，所以，将代入①得.在由正弦定理得，所以.【题目点拨】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等.18、（1）；（2），【解题分析】

（1）由，求得，由大边对大角可知均为锐角，利用同角三角函数关系求得，利用两角和差正弦公式求得结果；（2）根据正弦定理得到的关系，代入可求得；利用余弦定理求得.【题目详解】（1）（2）由正弦定理可得：又，解得：，则由余弦定理可得：【题目点拨】本题考查解三角形的相关知识，涉及到同角三角函数关系、两角和差正弦公式、大边对大角的关系、正弦定理和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.19、（1）-4（2）g(t)=t2【解题分析】

（1）直接代入计算得解；（2）先求出sin(2x-π4)∈[-12,1]【题目详解】（1）当t=1时，f(x)=sin22x-（2）因为x∈[π24,πf(x)=[sin(2x-当t<-12时，则当sin当-12≤t≤1时，则当当t>1时，则当sin(2x-π故g(t)=（3）当-12≤t≤1时，g(t)=-6t+1，令欲使g(t)=kt2-9有一个实根，则只需h(-解得k≤-2或所以k的范围：（-【题目点拨】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（1）化简集合，按并集的定义，即可求解；（2）得，结合数轴，确定集合端点位置，即可求解.【题目详解】解：（Ⅰ）集合，