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文档简介
云南省楚雄州民族实验中学2024届高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.素数指整数在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数。我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如。在不超过15的素数中,随机选取两个不同的数,其和小于18的概率是()A. B. C. D.2.已知等差数列中,,则公差()A. B. C.1 D.23.若,则()A.-1 B. C.-1或 D.或4.已知锐角△ABC的面积为,BC=4,CA=3,则角C的大小为()A.75° B.60° C.45° D.30°5.化简=()A. B.C. D.6.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,时速在的汽车辆数为()A.8 B.80 C.65 D.707.=()A. B. C. D.8.如图所示,程序框图算法流程图的输出结果是A. B. C. D.9.的内角的对边分别为,若的面积为,则()A. B. C. D.10.设为锐角,,若与共线,则角()A.15° B.30° C.45° D.60°二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知数列是等差数列,记数列的前项和为,若,则________.12.在平面直角坐标系中,定义两点之间的直角距离为:现有以下命题:①若是轴上的两点,则;②已知,则为定值;③原点与直线上任意一点之间的直角距离的最小值为;④若表示两点间的距离,那么.其中真命题是__________(写出所有真命题的序号).13.终边经过点,则_____________14.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是____.15.已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为45°,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________.16.设函数的部分图象如图所示,则的表达式______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.底面半径为3,高为的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形,侧棱与底面垂直的四棱柱).(1)设正四棱柱的底面边长为,试将棱柱的高表示成的函数;(2)当取何值时,此正四棱柱的表面积最大,并求出最大值.18.(1)求证:(2)请利用(1)的结论证明:(3)请你把(2)的结论推到更一般的情形,使之成为推广后的特例,并加以证明:(4)化简:.19.已知等比数列的各项为正数,为其前项的和,,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列是首项为,公差为的等差数列,求数列的通项公式及其前项的和.20.某工厂共有200名工人,已知这200名工人去年完成的产品数都在区间(单位:万件)内,其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工,现将其分成5组,第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为,,,,,并绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本,求这5组分别应抽取的人数;(2)现从(1)中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验,求选取的2名工人在同一组的概率.21.已知,,其中.(1)求的值;(2)求的值.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】
找出不超过15的素数,从其中任取2个共有多少种取法,找到取出的两个和小于18的个数,根据古典概型求解即可.【题目详解】不超过15的素数为,共6个,任取2个分别为,,,,,,,,,,,,,,,共15个基本事件,其中两个和小于18的共有11个基本事件,根据古典概型概率公式知.【题目点拨】本题主要考查了古典概型,基本事件,属于中档题.2、C【解题分析】
利用通项得到关于公差d的方程,解方程即得解.【题目详解】由题得.故选C【题目点拨】本题主要考查数列的通项的基本量的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、C【解题分析】
将已知等式平方,可根据二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系将等式化为,解方程可求得结果.【题目详解】由得:即,解得:或本题正确选项:【题目点拨】本题考查三角函数值的求解问题,关键是能够通过平方运算,将等式化简为关于的方程,涉及到二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系的应用.4、B【解题分析】试题分析:由三角形的面积公式,得,即,解得,又因为三角形为锐角三角形,所以.考点:三角形的面积公式.5、D【解题分析】
根据向量的加法与减法的运算法则,即可求解,得到答案.【题目详解】由题意,根据向量的运算法则,可得=++==,故选D.【题目点拨】本题主要考查了向量的加法与减法的运算法则,其中解答中熟记向量的加法与减法的运算法则,准确化简、运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.6、B【解题分析】
先计算时速在的汽车频率,再乘200,。【题目详解】由图知:时速在的汽车频率为所以时速在的汽车辆数为,选B.【题目点拨】本题考查频率分布直方图,属于基础题。7、A【解题分析】
试题分析:由诱导公式,故选A.考点:诱导公式.8、D【解题分析】
模拟程序图框的运行过程,得出当时,不再运行循环体,直接输出S值.【题目详解】模拟程序图框的运行过程,得S=0,n=2,n<8满足条件,进入循环:S=满足条件,进入循环:进入循环:不满足判断框的条件,进而输出s值,该程序运行后输出的是计算:.故选D.【题目点拨】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题目.根据程序框图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.9、C【解题分析】
由题意可得,化简后利用正弦定理将“边化为角“即可.【题目详解】解:的面积为,,,故选:C.【题目点拨】本题主要考查正弦定理的应用和三角形的面积公式,属于基础题.10、B【解题分析】由题意,,又为锐角,∴.故选B.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、1【解题分析】
由等差数列的求和公式和性质可得,代入已知式子可得.【题目详解】由等差数列的求和公式和性质可得:=,且,∴.故答案为:1.【题目点拨】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用,属于基础题.12、①②④【解题分析】
根据新定义的直角距离,结合具体选项,进行逐一分析即可.【题目详解】对①:因为是轴上的两点,故,则,①正确;对②:根据定义因为,故,②正确;对③:根据定义,当且仅当时,取得最小值,故③错误;对④:因为,由不等式,即可得,故④正确.综上正确的有①②④故答案为:①②④.【题目点拨】本题考查新定义问题,涉及同角三角函数关系,绝对值三角不等式,属综合题.13、【解题分析】
根据正弦值的定义,求得正弦值.【题目详解】依题意.故答案为:【题目点拨】本小题主要考查根据角的终边上一点的坐标求正弦值,属于基础题.14、(-4,2)【解题分析】试题分析:因为当且仅当时取等号,所以考点:基本不等式求最值15、【解题分析】
分析:先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径,最后根据圆锥侧面积公式求结果.详解:因为母线,所成角的余弦值为,所以母线,所成角的正弦值为,因为的面积为,设母线长为所以,因为与圆锥底面所成角为45°,所以底面半径为因此圆锥的侧面积为16、【解题分析】
根据图象的最高点得到,由图象得到,故得,然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到,进而可得函数的解析式.【题目详解】由图象可得,∴,∴,∴.又点在函数的图象上,∴,∴,∴.又,∴.∴.故答案为.【题目点拨】已知图象确定函数解析式的方法(1)由图象直接得到,即最高点的纵坐标.(2)由图象得到函数的周期,进而得到的值.(3)的确定方法有两种.①运用代点法求解,通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出的值;②运用“五点法”求解,即由函数最开始与轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令,)确定.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)正四棱柱的底面边长为时,正四棱柱的表面积最大值为48.【解题分析】试题分析:(1)根据比例关系式求出关于的解析式即可;(2)设该正四棱柱的表面积为,得到关系式,根据二次函数的性质求出的最大值即可.试题解析:(1)根据相似性可得:,解得:;(2)设该正四棱柱的表面积为.则有关系式,因为,所以当时,,故当正四棱柱的底面边长为时,正四棱柱的表面积最大值为.点睛:本题考查了数形结合思想,考查二次函数的性质以及求函数的最值问题,是一道中档题;该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时,三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度,除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法:如求的最小值,那么可以看成是数轴上的点到和的距离之和,易知最小值为2、求导法等.18、(1)证明见解析,(2)证明见解析,(3),证明见解析(4)【解题分析】
(1)右边余切化正切后,利用二倍角的正切公式变形可证;(2)将(1)的结果变形为,然后将所证等式的右边的正切化为余切即可得证;(3)根据(1)(2)的规律可得结果;(4)由(3)的结果可得.【题目详解】(1)证明:因为,所以(2)因为,所以,所以(3)一般地:,证明:因为所以,以此类推得(4).【题目点拨】本题考查了归纳推理,考查了同角公式,考查了二倍角的正切公式,属于中档题.19、(Ⅰ)(Ⅱ),【解题分析】
(Ⅰ)设正项等比数列的公比为且,由已知列式求得首项与公比,则数列的通项公式可求;(Ⅱ)由已知求得,再由数列的分组求和即可.【题目详解】(Ⅰ)由题意知,等比数列的公比,且,所以,解得,或(舍去),则所求数列的通项公式为.(Ⅱ)由题意得,故【题目点拨】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式的应用,同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和.20、(1)第1组:2;第2组:8,;第3组:9;第4组:3;第5组:3(2)【解题分析】
(1)根据频率之和为列方程,解方程求得的值.然后根据分层抽样的计算方法,计算出每组抽取的人数.(2)利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【题目详解】(1):,.用分层抽样比较合适.第1组应抽取的人数为,第2组应抽取的人数为,第3组应抽取的人数为,第4组应抽取的人数为,第5组应抽取的人数为.(2)(1)中25人的样本中的优秀员工中,第4组有3人,记这3人分别为,第5组有3人,记这3人分别为.从这6人中随机选取2名,所有的基本事件为:,,,,,,,,,,,,,,,共有15个基本事件.选取的2名工人在同一组的基本
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