浙江省普通高等学校2023-2024学年高三上数学期末达标测试试题含解析

浙江省普通高等学校2023-2024学年高三上数学期末达标测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（）A． B． C． D．2．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（）A．9 B．27 C．81 D．3．设复数满足，则（）A．1 B．-1 C． D．4．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（）A． B． C． D．5．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，则a3=（）A．2 B．4 C． D．86．下列函数中，在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．7．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（）A． B． C． D．8．复数（）．A． B． C． D．9．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为()A． B． C． D．110．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（）A． B． C． D．11．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（）A．7 B．6 C．5 D．412．设m，n为直线，、为平面，则的一个充分条件可以是()A．，， B．，C．， D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足，则的最小值为________.14．过且斜率为的直线交抛物线于两点，为的焦点若的面积等于的面积的2倍，则的值为___________.15．若函数为偶函数，则．16．已知向量与的夹角为，||＝||＝1，且⊥（λ），则实数_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且.（1）求证：；（2）设平面与交于点，求证：为的中点.18．（12分）如图，四棱锥中，平面平面，若，四边形是平行四边形，且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若点在线段上，且平面，，，求二面角的余弦值.19．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）如图：在中，，，.（1）求角；（2）设为的中点，求中线的长.21．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考：（参考公式，其中）22．（10分）已知函数.（1）若，解关于的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.【详解】由于复数对应复平面上的点，，则，，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.2、A【解析】

根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由，得，解得或.因为.且数列递增，所以.又，解得，故.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、B【解析】

利用复数的四则运算即可求解.【详解】由.故选：B【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.4、D【解析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数又由函数为偶函数，所以，解得，因为，当时，，故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、B【解析】

根据题意得到，，解得答案.【详解】，，解得或（舍去）.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.6、C【解析】

由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】因为函数和在递增，而在递减.故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.7、C【解析】

根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.【详解】不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8、A【解析】试题分析：，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.9、C【解析】试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则，可得：，当且仅当时取等号，故选C．考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．10、B【解析】

设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，，，，，，，，可得，，抛物线的准线与轴交于，的面积为，解得，则抛物线的方程为，所以，.故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11、C【解析】

由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．【详解】的二项展开式中二项式系数和为，．故选：C．【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．12、B【解析】

根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，当，，时，由于不在平面内，故无法得出.对于B选项，由于，，所以.故B选项正确.对于C选项，当，时，可能含于平面，故无法得出.对于D选项，当，时，无法得出.综上所述，的一个充分条件是“，”故选：B【点睛】本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】

先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为.故答案为：4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。14、2【解析】

联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.【详解】如图，设，由，则，由可得，由，则，所以，得.故答案为：2【点睛】此题考查了抛物线的性质，属于中档题.15、1【解析】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．16、1【解析】

根据条件即可得出，由即可得出，进行数量积的运算即可求出λ．【详解】∵向量与的夹角为，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案为：1．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）要做证明，只需证明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用线面平行的性质定理即可得到∥，从而获得证明【详解】证明：（1）因为平面，平面，所以.因为，所以.又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.（2）因为平面与交于点，所以平面.因为分别为的中点，所以∥.又因为平面，平面，所以∥平面.又因为平面，平面平面，所以∥，又因为是的中点，所以为的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）推导出BC⊥CE,从而EC⊥平面ABCD,进而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面AEC,从而BD⊥AC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.（Ⅱ）设AC与BD的交点为G,推导出EC//FG,取BC的中点为O,连结OD,则OD⊥BC,以O为坐标原点，以过点O且与CE平行的直线为x轴，以BC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：，即，因为平面平面，所以平面，所以，因为，所以平面，所以，因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，故；解法一：（Ⅱ）设与的交点为，因为平面，平面平面于，所以，因为是中点，所以是的中点，因为，取的中点为，连接，则，因为平面平面，所以面，以为坐标原点，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，同理可得平面的法向量，设平面与平面的夹角为，因为，所以二面角的余弦值为.解法二：（Ⅱ）设与的交点为，因为平面，平面平面于，所以，因为是中点，所以是的中点，因为，，所以平面，所以，取中点，连接、，因为，所以，故平面，所以，即是二面角的平面角，不妨设，因为，，在中，，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题.19、（1）；（2）【解析】

（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；（2）原不等式可转化为在R上恒成立，分别求函数与的最小值，根据能同时成立，可得的最小值，即可求解.【详解】（1）①当时,不等式可化为,得，无解；②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故0<x≤1;③当x>1时,不等式可化为,得x<2,故1<x<2.综上，不等式的解集为（2）由题意知在R上恒成立，所以令，则当时，又当时，取得最小值，且又所以当时，与同时取得最小值.所以所以，即实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】

（1）通过求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根据求出的值，由正弦定理求出边，最后在中由余弦定理即可得结果.【详解】（1）∵，∴.由正弦定理，即.得，∵，∴为钝角，为锐角，故.（2）∵，∴.由正弦定理得，即得.在中由余弦定理得：，∴.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.21、（1）列联表见解析，有的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）.【解析】

（1）结合题意完善列联表，计算出的观测值，对照临界值表可得出结论；（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【详解】（1）由于在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为，所以人中患心肺疾病的人数为人，故可将列联表补充如下：患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计.故有的把握认为患心肺疾病与性别有关；（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形：、、、、、、、、、.其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形，分别为：、、、、、、、、，所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.【点睛】本题考查利用独立性