新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州和静高级中学2023-2024学年高三数学第一学期期末调研试题含解析_第1页
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文档简介

新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州和静高级中学2023-2024学年高三数学第一学期期末调研试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,集合,则().A. B.C. D.2.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针,则针落地后与直线相交的概率约为()A. B. C. D.3.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56 B.60 C.140 D.1204.如图,在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,.若分别是棱上的点,且,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.5.已知函数,则方程的实数根的个数是()A. B. C. D.6.已知,函数,若函数恰有三个零点,则()A. B.C. D.7.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“—”表示一根阳线,“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为()A. B. C. D.8.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:对任意都有零点;则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.9.已知平面平面,且是正方形,在正方形内部有一点,满足与平面所成的角相等,则点的轨迹长度为()A. B.16 C. D.10.已知三棱柱()A. B. C. D.11.函数的图象大致为A. B. C. D.12.关于函数,有下述三个结论:①函数的一个周期为;②函数在上单调递增;③函数的值域为.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.② C.②③ D.③二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.数列的前项和为,数列的前项和为,满足,,且.若任意,成立,则实数的取值范围为__________.14.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.15.的展开式中项的系数为_______.16.若复数满足,其中为虚数单位,则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明:当时,直线过定点.18.(12分)如图,空间几何体中,是边长为2的等边三角形,,,,平面平面,且平面平面,为中点.(1)证明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.19.(12分)已知数列满足,,其前n项和为.(1)通过计算,,,猜想并证明数列的通项公式;(2)设数列满足,,,若数列是单调递减数列,求常数t的取值范围.20.(12分)已知函数(1)求函数的单调递增区间(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上不同两点,如果在曲线上存在点,使得①;②曲线在点M处的切线平行于直线AB,则称函数存在“中值和谐切线”,当时,函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由21.(12分)某精密仪器生产车间每天生产个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布(单位:微米),且相互独立.若零件的长度满足,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为,求及的数学期望;(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由.附:若随机变量服从正态分布,则.22.(10分)在中,角,,的对边分别为,其中,.(1)求角的值;(2)若,,为边上的任意一点,求的最小值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

算出集合A、B及,再求补集即可.【详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.2、D【解析】

根据统计数据,求出频率,用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景,考查利用频率估计概率,属于基础题.3、C【解析】

试题分析:由题意得,自习时间不少于小时的频率为,故自习时间不少于小时的频率为,故选C.考点:频率分布直方图及其应用.4、B【解析】

建立空间直角坐标系,利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为,建立空间直角坐标系如下图所示.所以,所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法,属于中档题.5、D【解析】

画出函数,将方程看作交点个数,运用图象判断根的个数.【详解】画出函数令有两解,则分别有3个,2个解,故方程的实数根的个数是3+2=5个故选:D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用,分类思想的运用,数学结合的思想判断方程的根,难度较大,属于中档题.6、C【解析】

当时,最多一个零点;当时,,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画函数草图,根据草图可得.【详解】当时,,得;最多一个零点;当时,,,当,即时,,在,上递增,最多一个零点.不合题意;当,即时,令得,,函数递增,令得,,函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点,在,上有2个零点,如图:且,解得,,.故选.【点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数,故按“一元化”想法,逐步分类讨论,这一过程中有可能分类不全面、不彻底.7、B【解析】

根据古典概型的概率求法,先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数,再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数,代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种,这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种,分别是(巽,坤),(兑,坤),(离,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选:B【点睛】本题主要考查古典概型的概率,还考查了运算求解的能力,属于基础题.8、A【解析】

先分别判断每一个命题的真假,再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时,直线和直线,即直线为和直线互相垂直,所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件,当直线和直线互相垂直时,,解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.:“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件,故是假命题.当时,没有零点,所以命题是假命题.所以是真命题,是假命题,是假命题,是假命题.故选:.【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系,考查二次函数的图象,考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、C【解析】

根据与平面所成的角相等,判断出,建立平面直角坐标系,求得点的轨迹方程,由此求得点的轨迹长度.【详解】由于平面平面,且交线为,,所以平面,平面.所以和分别是直线与平面所成的角,所以,所以,即,所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示,则,,设(点在第一象限内),由得,即,化简得,由于点在第一象限内,所以点的轨迹是以为圆心,半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程,解得,故,由于,所以,所以点的轨迹长度为.故选:C【点睛】本小题主要考查线面角的概念和运用,考查动点轨迹方程的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查数形结合的数学思想方法,属于难题.10、C【解析】因为直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=11、D【解析】

由题可得函数的定义域为,因为,所以函数为奇函数,排除选项B;又,,所以排除选项A、C,故选D.12、C【解析】

①用周期函数的定义验证.②当时,,,再利用单调性判断.③根据平移变换,函数的值域等价于函数的值域,而,当时,再求值域.【详解】因为,故①错误;当时,,所以,所以在上单调递增,故②正确;函数的值域等价于函数的值域,易知,故当时,,故③正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质,还考查推理论证能力以及分类讨论思想,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

当时,,可得到,再用累乘法求出,再求出,根据定义求出,再借助单调性求解.【详解】解:当时,,则,,当时,,,,,,(当且仅当时等号成立),,故答案为:.【点睛】本题主要考查已知求,累乘法,主要考查计算能力,属于中档题.14、【解析】由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为.15、40【解析】

根据二项定理展开式,求得r的值,进而求得系数.【详解】根据二项定理展开式的通项式得所以,解得所以系数【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用,属于基础题.16、【解析】

把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,求出得答案.【详解】,,则,的共轭复数在复平面内对应点的坐标为,故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】

(1)在中,计算出的值,可得出的值,进而可得出的值,由此可得出椭圆的标准方程;(2)设点、,设直线的方程为,将该直线方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,根据已知条件得出,利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式,代入直线的方程,即可得出直线所过定点的坐标.【详解】(1)在中,,,,,,,,因此,椭圆的标准方程为;(2)由题不妨设,设点,联立,消去化简得,且,,,,,∴代入,化简得,化简得,,,,直线,因此,直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中直线过定点的问题,考查计算能力,属于中等题.18、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)分别取,的中点,,连接,,,,,要证明平面,只需证明面∥面即可.(2)以点为原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立空间直角坐标系,分别计算面的法向量,面的法向量可取,并判断二面角为锐角,再利用计算即可.【详解】(1)证明:分别取,的中点,,连接,,,,.由平面平面,且交于,平面,有平面,由平面平面,且交于,平面,有平面,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,由,有,∥,又平面,平面,所以∥平面,由∥平面,∥平面,,所以平面∥平面,所以∥平面(2)以点为原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立如图所示空间直角坐标系由面,所以面的法向量可取,点,点,点,,,设面的法向量,所以,取,二面角的平面角为,则为锐角.所以【点睛】本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值,考查学生的运算能力,在做此类题时,一定要准确写出点的坐标.19、(1),证明见解析;(2)【解析】

(1)首先利用赋值法求出的值,进一步利用定义求出数列的通项公式;(2)首先利用叠乘法求出数列的通项公式,进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围.【详解】(1)数列满足,,其前项和为.所以,,则,,,所以猜想得:.证明:由于,所以,则:(常数),所以数列是首项为1,公差为的等差数列.所以,整理得.(2)数列满足,,所以,则,所以.则,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,叠乘法的应用,函数的单调性在数列中的应用,基本不等式的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于中档题型.20、(1)见解析(2)不存在,见解析【解析】

(1)求出函数的导数,通过讨论的范围求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,结合导数的几何意义,再令,转化为方程有解问题,即可说明.【详解】(1)函数的定义域为,所以当时,;,所以函数在上单调递增当时,①当时,函数在上递增②,显然无增区间;③当时,,函数在上递增,综上当函数在上单调递增.当时函数在上单调递增;当时函数无单调递增区间当时函数在上单调递增(2)假设函数存在“中值相依切线”设是曲线上不同的两个点,且则曲线

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