福建省南平市希望高级中学2021-2022学年高二数学文月考试题含解析

福建省南平市希望高级中学2021-2022学年高二数学文

月考试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.如图，已知抛物线的方程为x?=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线与抛物线相交于

P,Q两点，点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两

点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则NMBN的大小等于()

参考答案:

D

【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率.

【分析】设直线PQ的方程为：y=kx-1,P(x,,y.),Q(x2,y2),联立直线PQ方程与

抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得心+*=0,再由已知

kB「?kBQ=-3可解得kBQ=^/3,由此可知NBNM与/BMN的大小，由三角形内角

和定理可得NMBN.

【解答】解：设直线PQ的方程为：y=kx-l,P(xi,y。，Q(x2,y2),

‘尸kxT

<o

由x=2pv■得X2-2pkx+2p=0,A>0,

则xi+xz=2pk,XiX2=2p,

y2-l

-

丫「1y2-lkxj-2kx22

k+k=1

BPBQxx

A1A2=A1x2

2kx1XX1XCCCC

——!—£9----2--(--1_+_£9_)2k,-Zp-Z^pk,

X1X2=2D=0,即kBp+kwF。①

又knp?knQ=-3②，

k

联立①②解得知P二娟，BQ~W3(

.7T兀

ZBNM=^T-ZBMN=^5-

所以J,J,

故NMBN=n-ZBNM-NBMN=3,

故选D.

2.记S.为等差数列的前J■项和.若，+4・24,壬-41,则14】的公差为(

A.1B.2C.4D.8

参考答案：

C

四+3d+si]+4d24

%.246x5(24+7d.24

由IS6-48,得[网+24148,整理得&+5d・16,解得“4.

参考答案:

A

-XCDS(一月XDDSX

=-/w

(叫1

...函数为奇函数，故排除D.

cosl__2ras2

—>0,/（2）==：<0

又25故排除B,C.

选A.

点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以

下步骤进行：

（1）求出函数的定义域，对图象进行排除；

（2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除；

（3）根据函数图象的变化趋势判断；

（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行

判断.

4.根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（）

A.1B.eC.e_*D.e-1

参考答案：

C

【分析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值。

【详解】由题x=3,x=x-2=3-l,此时x>0继续运行，x=l-2=-l<0,程序运行结束，得

/='T,故选c。

【点睛】本题考查程序框图，是基础题。

x3-匕=1-------

5.设凡外分别是双曲线9的左、右焦点.若点尸双曲线上，且尸6尸产2=°,

则同+呵=（

)

A.而,2而

BC.

75D.2病

参考答案：

B

略

”的一个单调递增区间是（

6.函数/8）=彳-)

B.〔一°°，-1]C.

A.D.

[一■KO]

参考答案：

A

7.已知命题P对任意的xeR,$inxWl,则（）

A,力：存在x€R;sinx2:1B,子存祗wR,sinx>l

C.十:任意的x€R,sinx31D.~»口:任意的工€氏sinx>1

参考答案：

B

8.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）

1111

A.2B.3C.4D.6

参考答案：

B

„21

p=K

解法一：由排列组合知识可知，所求概率a3；

解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、

/>=!

（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故3.

【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力.

,［x=2s+l,fx=a/,

9.在平面直角坐标系xOy中，若直线=S（s为参数）和直线（t

为参数）平行，则常数a的值为（）

A.8B.6C.2D.4

参考答案：

D

I

10.函数f（x）=1x3—4x在［-3,4］上的最大值与最小值分别为（）

4竺，一竺B.丝,一3C.3；。心3

333333

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知M（-5,0）,N（5,0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P,使

|PM|=|PN|+6,则称曲线C为“黄金曲线”.下列五条曲线:

/££/

①16-9=1；②y?=4x；③4-9=1；

④4+9=1；⑤/+丫？-x-3=0

其中为“黄金曲线”的是—.（写出所有“黄金曲线”的序号）

参考答案:

②⑤

【考点】曲线与方程.

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算

出所求双曲线的方程.再分别将双曲线与五条曲线联立，通过解方程判断是否有交点，由

此可得答案.

【解答】解：...点M(-5,0),N(5,0),点P使;PM|-PN|=6,

.•.点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线,可得b'c?-1=5?-3』6,

则双曲线的方程为916=1(x>0),

对于①，两方程联立，无解.则①错；

对于②，联立y2=4x和916=1(x>0),解得x=-8—成立，则②成立;

对于③，联立4-9=1和916=1(x>0),无解，则③错;

对于④，联立4+9=1和916=1(x>0),无解，则④错；

22

_y_

对于⑤，联立x^+y。-x-3=0和916=1(x>0),化简得25x2-9x-171=0,

由韦达定理可得两根之积小于0,必有一个正根，则⑤成立.

・•.为“黄金曲线”的是②⑤.

故答案为：②⑤.

【点评】本题考查双曲线的定义和方程，考查联立曲线方程求交点，考查运算能力，属于

中档题.

12.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K"，事件B

为“抽得为黑桃”，则概率P(AUB)=—.(结果用最简分数表示)

参考答案：

7

26

【考点】互斥事件的概率加法公式.

【分析】由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别求两个事件的概率是我们熟悉的

古典概型，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果.

【解答】解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，

•••事件A为“抽得红桃K”，

1

，事件A的概率P=52,

•••事件B为“抽得为黑桃”，

13

二事件B的概率是P=变，

113_7

二由互斥事件概率公式P(AUB)=被耍■下.

7

故答案为：26.

13.如图，正的中线AF与中位线DE相交于点G,已知是。DE绕边

DE旋转形成的一个图形，且4*平面ABC,现给出下列命题：

①恒有直线3c7/平面

②恒有直线DEJ■平面月FG；

③恒有平面WFG_L平面/£)£。

其中正确命题的序号为

参考答案:

①②③

略

2cosax-y-1=0,ae—,—n

14.直线L63」的倾斜角8的取值范围是o

参考答案：

.3

0,—u［一兀河

L3」4

f1

15.已知函数曲线了=/(外过点RZ/Q))处的切线与直线X=1和

直线了=X所围三角形的面积为0

参考答案：

2

16.知整数的数对列如

下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),

…则第60个数对是.

参考答案：

(5,7)

略

y=-x2-Inx

17.函数’2的单调递减区间为

A.(-tilB.(0.1]C.U，*0)D.(°，*0)

参考答案：

B

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知等差数列口」的前4项和为10,且与asa?成等比数列，求数列｛4｝的通项公

式.

参考答案：

18.解:设数列;％:的首项为例，公差为d，则的+%+%+%=10，则2ai+3d=5，

由干白2，。3，。7成等比数列，所以化简律+=0

所以]勿+如=5解得卜三或卜=12

勉"a=0[a=014=3

弁以数列1%;的通项公式为%=5取a”=5-5.

略

19.[12分]

口袋里装有7个大小相同小球，其中三个标有数字1,两个标有数字2,一个标有

数字3,一个标有数字4.

(I)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次

与第二次取到小球上的数字之和为上当《为何值时，其发生的概率最大？说明理

由；

(II)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第

一次与第二次取到小球上的数字之和为7.求？的分布列和数学期望.

参考答案：

(I)《可能的取值为234.56Z8

ClC]X212

尸6=3)=

c；c；49

尸6=4)=盥+等*％=加筌+雷吟

C；。x2।C；C；_5*7)=金=2

PR=6)=

C；C；cicT-4949

尸6=8)=1T,

'CiCi49

(II)军可能的取值为

2,34567,

心=2)=寻=；依=3)=等q依=4)=等4

收=5)=笑Sq依=6)=言总收=7)=2

234567

P224521

7721212121

蛇)=4

20.已知椭圆/+/="">'>")经过点(2*6),且离心率为-F.椭圆上还有两点

2

P、Q,O为坐标原点，连接OP、OQ,其斜率的积为4.

(1)求椭圆方程；

(2)求证：。理为定值，并求出此定值;

(3)求PQ中点的轨迹方程；

参考答案：

(2)设P(xi.yjQ(x2.yJ

yi7j=_一一i

则由条件可得Xl*2=X[X2=~^»式1)

y.=4一一i-(2),yj=4--2-(3)

又P、Q两点在椭圆上，故44

..|。碟+|0Q|3=X；+x；+y：+yj=8+|(x：+x；)

又由(1)得x：X22=16y：y/

..|。琛+阿=

=xj+Xj=1620

(2)设中点M(xj).则由条件可得

Ja

2x=X]+Xj4x®16+2xaXj4x-16x,x3

2，=乂+力14y・4+2＞必4y-4尸必

M点的轨迹方程为±+±=1

82

21.(本小题满分13分)

在某次测验中，有.6位同学的平均成绩为75分.用心表示编号为n(n=l,2,…，6)的

同学所得的成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n：1,2,3,4,5

成绩XM70,76,72,70,72

(1)求第6位同学的成绩X6,及这6位同学成绩的标准差s；

(2)若从前5位同学中，随机地选取2位同学，求恰有1位同学的成绩在区间(68,75)

中的概率.

参考答案：

1W

解：(1)；x=Azx=75,

6B-l

s

X

.,.X4=6—S,X.=6X?5-70—76—72—70—72=90,.......3分

16I

s:=-S(x,—x)a=-(5S+1J+3J-f-52+32+153)=49»s=7.........6分

6*-t6

(2)从5位同学中随机选取2位同学，有：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},⑵3},{2,4},⑵