行测数量关系知识点汇总

行测常用数学公式一、 工程问题工作量二工作效率X工作时间； 工作效率二工作量F工作时间；工作时间二工作量F工作效率； 总工作量二各分工作量之和；注：在解决实际问题时，常设总工作量为1或最小公倍数二、 几何边端问题 （1） 方阵问题：1•实心方阵：方阵总人数=（最外层每边人数）2=（外圈人数一4+1）2=N2最外层人数=（最外层每边人数一1）X42•空心方阵：方阵总人数=（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2X层数）2=（最外层每边人数-层数）X层数X4=中空方阵的人数。★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。N边行每边有a人，则一共有N（a-1）人。实心长方阵：总人数二MXN外圈人数=2M+2N-4方阵：总人数=N2 N排N列外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？解：（10—3）X3X4=84（人）（2） 排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人（3） 爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬|M-N|层。三、 植树问题线型棵数二总长/间隔+1 环型棵数二总长/间隔 楼间棵数二总长/间隔-1（1） 单边线形植树：棵数二总长一间隔+1;总长二（棵数-1）x间隔（2） 单边环形植树：棵数二总长一间隔； 总长二棵数x间隔（3） 单边楼间植树：棵数二总长一间隔一1；总长二（棵数+1）x间隔（4） 双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。（5） 剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2nXM+1）段四、 行程问题⑴路程二速度X时间； 平均速度二总路程F总时间平均速度型：平均速度二丄亠v+v12（2） 相遇追及型：相遇问题：相遇距离二（大速度+小速度）x相遇时间追及问题：追击距离=（大速度一小速度）X追及时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）X背离时间（3） 流水行船型：顺水速度=船速+水速； 逆水速度=船速一水速。顺流行程二顺流速度X顺流时间=（船速+水速）X顺流时间逆流行程=逆流速度X逆流时间=（船速一水速）X逆流时间（4） 火车过桥型：列车在桥上的时间=（桥长一车长）F列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）F列车速度

列车速度二（桥长+车长）三过桥时间（5）环形运动型：反向运动：环形周长二（大速度+小速度）X相遇时间同向运动：环形周长=（大速度一小速度）X相遇时间(6)扶梯上下型：扶梯总长二人走的阶数X（1土红），（顺行用加、逆行用减）(6)u人顺行：速度之和X时间二扶梯总长逆行：速度之差X时间=扶梯总长(7)(8)队伍行进型(7)(8)队伍行进型：对头T队尾：队伍长度二（U.+U.）X时间队尾T对头：队伍长度=典型行程模型：（U人U队）X时间人一队等距离平均速度：u二岀么等距离平均速度：u二岀么u+u12(U［、U2分别代表往、返速度）等发车前后过车：核心公式:2tt等发车前后过车：核心公式:2tt——1-^-t+t12等间距同向反向：禺=T2tu—u反1 2离）不间歇多次相遇：单岸型：s= 23s+s—1 2两岸型：s=3s-s12（S表示两岸距2tt无动力顺水漂流：漂流所需时间=严产t—t逆顺

（其中t顺和t逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间）五、溶液问题⑴溶液=溶质+溶剂浓度=溶质F溶液溶质=溶液X浓度 溶液=溶质F浓度⑵浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N,交换质量L后浓度都变成c%,则⑶混合稀释型②容液加入比例肉吕的溶亂在倒出相同的溶瀛则浓度黄］〔丄严虹汉原浓度14■农①容液倒出比例为a的落海再加入相同的落质，则浓度沟（1+莎孟x原浓度等溶质增减溶质核心公式：r二L2r+r1 3

（其中r〔、r2、r3分别代表连续变化的浓度）六、利润问题1）利润=销售价（卖出价）一成本;利润=销售价一成本成本 成本1）利润=销售价（卖出价）一成本;利润=销售价一成本成本 成本销售价成本（2）销售价=成本X（l+利润率）;销售价1+利润率（3）利息=本金X利率X时期； 本金=本利和-4-（1+利率X时期）。本利和=本金+利息=本金X（1+利率X时期）二本金x（1+利率）期限月利率二年利率-12； 月利率X12二年利率。例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10.2%。（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”•••2400X（1+10.2%X36） =2400X1.3672=3281.28（元）七、年龄问题关键是年龄差不变；①几年后年龄=大小年龄差—倍数差一小年龄②几年前年龄=小年龄一大小年龄差—倍数差八、容斥原理⑴两集合标准型：满足条件A的个数+满足条件B的个数一两者都满足的个数=总个数一两者都不满足的个数⑵三集合标准型：A+B+C-（AB+BC+AC）+ABC=总个数-都不满足的个数，即满足条件A的个数+满足条件B的个数+满足条件C的个数-三者都不满足的情况数|aubuc|=|a|+\b|+|ci_|anb|-bnc|_|anc|+|anbnc|⑶三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件的兀素数量为z,可以得以下等式：①W二x+y+z ②A+B+C=x+2y+3z⑷三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形标数时，注意由中间向外标记九、牛吃草问题核心公式：y=（N—x）T原有草量=（牛数一每天长草量）X天数，其中：一般设每天长草量为X注意：如果草场面积有区别，如'M头牛吃W亩草时”，N用M代入，此时N代表单位面积上W的牛数。十、指数增长如果有一个量，每个周期后变为原来的A倍，那么N个周期后就是最开始的AN倍，一个周1期前应该是当时的1。A十一、调和平均数

调和平均数公式：a二^2a+a12等价钱平均价格核心公式：p等价钱平均价格核心公式：p二2P1p2p+p12P1、P2分别代表之前两种东西的价格）等溶质增减溶质核心公式：r等溶质增减溶质核心公式：r二—2r+r13（其中r2、r3分别代表连续变化的浓度）2a根与系数的关系（2）a+b>2a根与系数的关系（2）a+b>2弋abbcx+x———,x•x——1 2a1 2aa+b"T")2>aba2+b2>2aba+b+c__3)3>abc十二、减半调和平均数核心公式：a—"巴a+a12十三、余数同余问题核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”注意：n的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。十四、星期日期问题闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28日，记口诀：一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算。平年与闰年判断方法年共有天数2月天数平年不能被4整除365天28天闰年可以被4整除366天29天★星期推断：一年加1天；闰年再加1天。大月与小月包括月份月共有天数大月1、3、5、7、8、10、1231天小月2、4、6、9、1130天注意：星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每（N+1）天”。卜五、不等式1）一元二次方程求根公式：ax2+bx+c二a（x-x）（x-x）12TOC\o"1-5"\h\zI /(b2-4ac>0)其中 =—b+、"2—4ac =—b—\1b2(b2-4ac>0)^其^p：x— ；1 2a 2

（3）a2+b2+c2>3abc a+b+c>3^abc推广：x+x+x+...+x>nn-.xx…xTOC\o"1-5"\h\z1 2 3 n V1 2n一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。b 1 1b两项分母列项公式：一-—=(-—丄)x-m(m+a)mm+aa三项分母裂项公式： - =[- — - 2m(m+a)(m+2a)m(m+a) (m+a)(m+2a) 2a十六、排列组合排列公式：Pm=n(n—1)(n—2)^(n—m+1),(mWn)。 A3二7x6x5n 75x4x3组合公式：Cm=Pm4-Pm=(规定C0=1)。C3= n n m n 5 3X2X1错位排列(装错信封)问题：D=0,D=1,D=2,D=9,D=44,D=265,TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4 5 6N人排成一圈有An/N种； N枚珍珠串成一串有An/2种。N N十七、等差数列—(1)s="%""1十叮=na+1n(n-1)d；(2)a=a+(n—1)d；(3)项数n=a+1；n 2 12 n1 d(4)若a,A,b成等差数列，贝U：2A=a+b； (5)若m+n=k+i,贝U：a+a=A+a；前n个奇数：1,3,5,7,9,・・・(2n—1)之和为n2(其中：n为项数,a】为首项，a“为末项，d为公差，s为等差数列前n项的和) 1 n十八、等比数列1"(1)a=aQn-i； (2)s= _砂(q丰1) (3)若a,G,b成等比数列，贝J：G2=ab；n1 n 1—q（5）a-a=（m-n）dmn（4）若m+n=k+i,贝V：（5）a-a=（m-n）dmn(6) =q(6) =q(m-n)(其中：n为项数,ana为首项，a为末项，q为公比，s为等比数列前n项的和)1 n n十九、典型数列前N项和4,11十2十3十…十洱=4.21十3十5十…十(血一1)=/4,11十2十3十…十洱=4.21十3十5十…十(血一1)=/4.32+4十&十’■■十（M）=n（n十1）4.4乎十，十牛十…十卅二歸（歸+1）（刼+1）6D99 J,兀(4沖一1) ggg 2汽［讥十1)4.5严十胪十5十…十［＞—1)= ——- 4.6I3+23+33+…十异= 一-4.713+33十史十…十(加一l)3=n2(2^-1)4.8十十…十汉帥十1)”+罟2□平方数底数1234567891011平方149162536496481100121底数1213141516171819202122平方144169196225256289324361400441484底数2324252627282930313233平方52957662567672978484190096110241089立力数底数1234567891011立力18276412521634351272910001331多次方数次方12345678910112248163264128256512102420483392781243729441664256102455251256253125663621612967776171±1X1X1X1X1X1X1X1X1X224862486233971X3971X344646464645555555555666666666677931X7931X78842684268991X91X91X91X9★1既不是质数也不是合数1.200以内质数 2357 101103109111317192329 1131271311373137414347535913914915115716316761677173798389971731791811911931971992.典型形似质数分解91=7X13111=3X37119=7X17133=7X19117=9X13143=11X33147=7X21153=7X13161=7X23171=9X19187=11X17209=19X111001=7X11X133.常用“非唯一”变换①数字0的变换：0二0n（N丰0）②数字1的变换：1=ao=1n=(-1)2n(a丰0)③特殊数字变换：16=24=4264=2 若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的侧面积：S=nrl;侧 若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的侧面积：S=nrl;侧 图形等比缩放型：一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，贝V：1.所有对应角度不发生变化； 2.所有对应长度变为原来的m倍；3.所有对应面积变为原来的m2倍； 4.所有对应体积变为原来的m3倍。81=34=92 256=28=4=162512=29=83729=93=272=361024=210=45=322④个位幂次数字：4=22=418=23=81 9=32=91二十、基础几何公式 1•勾股定理：a2+b2二C2（其中：a、b为直角边，c为斜边）常用勾股数直角边369121551078直角边4812162012242415斜边51015202513262517面积公式：正方形=a2 长方形=axb 三角形=—ah=—absinc 梯形=丄（。+b）h222圆形=兀R2 平行四边形=ah扇形=兀R23600表面积：正方体=6a2 长方体=2x（ab+be+ac） 圆柱体=2nr2+2nrh 球的表面积=4兀R2体积公式—4正方体=a3长方体=abe 圆柱体=Sh=nr2h 圆锥=一nr2h 球=—兀R333几何最值型：1.平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。二十一、页码问题对多少页出现多少1或2的公式如果是X千里找几，公式是1000+X00*3如果是X百里找几，就是100+X0*2,X有多少个0就*多少。依次类推!请注意，要找的数一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一类的了，比如，7000页中有多少3就是1000+700*3=3100（个） 20000页中有多少6就是2000*4=8000（个）友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了二十二、青蛙跳井问题例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?总解题方法：完成任务的次数=井深或绳长-每次滑下米数（遇到半米要将前面的单位转化成半米）例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。完成任务的次数=（总长-单长）/实际单长+1数量关系公式两次相遇公式：单岸型S=（3S1+S2）/2两岸型S=3S1-S2例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？A.1120米B.1280米C.1520米D.1760米解：典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸720米处相遇、距离乙岸400米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸2•漂流瓶公式：T=(2七逆枕顺)/(t逆-t顺)例题：AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，A――B,从A城到B城需行3天时间，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？A、3天 B、21天C、24天D、木筏无法自己漂到B城解：公式代入直接求得243•沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2tl*t2)/(t1+12) 车速/人速=(tl+t2)/(t2-tl)例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的()倍？A.3 B.4 C.5 D.6解：车速/人速二(10+6)/(10-6)=4选B往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2)例题：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？()A.24 B.24.5 C.25 D.25.5解：代入公式得2*30*20/(30+20)=24选A电梯问题：能看到级数=(人速+电梯速度)*顺行运动所需时间 (顺)能看到级数=(人速-电梯速度)*逆行运动所需时间 (逆)6•什锦糖问题公式：均价A=n/{(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)}例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4.4元，6元，6.6元，如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？A.4.8元B.5元C.5.3元D.5.5元7.十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是：析：男生平均分X,女生1.2X1.2X 75-X 175 =1.81.2X-751.8得X=70女生为849•一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1）段10.方阵问题：方阵人数二（最外层人数/4+1）的2次方 N排N列最外层有4N-4人例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？解：最外层每边的人数是96/4+1=25，则共有学生25*25=62511•过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A）/（N-A）次例题（广东05）有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？A.7 B.8 C.9 D.10解：（37-1）/（5-1）=915.植树问题：线型棵数=总长/间隔+1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1例题：一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156M186M234M，树与树之间距离为6M,三个角上必须栽一棵树，共需多少树？A93 B95 C96 D9912.星期日期问题：闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28日，记口诀：一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算例：2002年9月1号是星期日 2008年9月1号是星期几？解：因为从2002到2008—共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，贝V：4X1+2X2=8,此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。例：2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？解：4+1=5，即是过5天，为星期四。（08年2月29日没到）13•复利计算公式：本息二本金*｛（1+利率）的N次方｝，N为相差年数例题：某人将10万远存入银行，银行利息2%/年，2年后他从银行取钱，需缴纳利息税，税率为20%,则税后他能实际提取出的本金合计约为多少万元？（ ）A.10.32 B.10.44 C.10.50 D10.61解:两年利息为（1+2%）的平方*10-10=0.404 税后的利息为0.404*（1-20%）约等于0.323，则提取出的本金合计约为10.32万元14.牛吃草问题：草场原有草量=（牛数-每天长草量）*天数例题：有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽

水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？A、16B、20C、24D、28解：（10-X）*8二（8-X）*12求得X=4 （10-4）*8=（6-4）*Y求得答案Y=2416：比赛场次问题：淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1 淘汰赛需决前四名场次二N单循环赛场次为组合N人中取2 双循环赛场次为排列N人中排2比赛赛制比赛场次循环赛单循环赛参赛选手数x（参赛选手数1）/2双循环赛参赛选手数X（参赛选手数1）淘汰赛只决出冠（亚）军参赛选手数1要求决出前三（四）名参赛选手数N人传接球M次公式：次数=（N-1）的M次方/N最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数例题：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。A.60种B.65种C.70种D.75种解：（4-1）的5次方/4=60.75最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数数量关系归纳分析一、等差数列：两项之差、商成等差数列1.60，30，20，15，12，（）A.7B.8C.9D.102.2. 23,2.2. 23,423,823,()A.9233.1,10, 31, 70, 123()A.136二、“两项之和（差）、积（商）等于第三项”型基本类型：⑴两项之和（差）、积(商)=第=第3项。4.-1,1,(),1,1,2A.1B.05.21,31,(),61,0,61A.21B.06.1944,108,18,6,()A.3B.17.2,4,2,(),41,21A.2B.4三、平方数、立方数1）平方数列。1,4,9,16,25,36,49,62）立方数列。 1,8,27,64125,216,38.1,2,3,7, 46, ( )AB.1223C.1423D.1023B.186C.226D.2563项；⑵两项之和(差)、积(商)±