高数下册期末复习考试资料

《高等数学》复习考试

（下册）

第8章空间解析几何与向量代数

一、向量及其运算

1、空间直角坐标系

空间直角坐标系：三条两两垂直相交于原点的坐标轴，x轴、y轴和z轴构成右手关系。

（1）学会：a）找出空间中给定点的坐标。b）找出空间中以给定（x,y,z）为坐标的点。c）

空间各部分点坐标的特点。

（2）两点〃1（玉，匕，Z）、场（才2,乙，Z2）的距离公式

d（M[,=W闯=）（巧一.）2+（〃2—,）2+92-Z]）2

2、向量

（1）向量的概念

数量：只有大小；

向量：既有大小又有方向。向量只有大小和方向。

在空间中用有向线段表示向量。其长度表示向量的大小也称为模或范数；其方向表示向量的

方向。一个向量可以放在空间中任意位置。

（2）特殊向量

零向量。：大小为0。任意方向都是0的方向。只有一个零向量。

单位向量：大小为1。有无穷多个单位向量。如果）。0,则

一1一

e=r同"ra

是与三方向一致的单位向量，称为M的单位化。

（3）两向量的关系

A

向量）和B有夹角e=（5,b）,o<o<TVo

AA

当区5）=时说3±5；当（用8）=o或万时说罚

（4）向量的坐标

把向量百的始点放在原点，得百的终点〃（a,,a”a/）0=OM},则有百的分解式

a=axi+ayj+azk

其中是标准单位向量。{a”a，，a』是向量云的坐标。a,,a„,a,分别是M在x、y、

z轴上的投影；^^，当三包^分别是方在矛、y、z轴上的投影向量.

向量与坐标一一对应。向量的理论分为两部分：用几何描述的向量理论和用坐标描述的

向量理论。两部分理论对应地出现，互相翻译。

设（X］，九Z1）、刈（芍，/2,Z2），则

"泌2=（4_xji+（y2-yx）j+（z2-z^）k={x2-y2-yvz2-zj

（终点坐标减始点坐标。）始点坐标、终点坐标、向量坐标知其二求第三。

（5）模和方向余弦

设百=\ax,ay,aJ,贝ij

同=M+a：+a：

%

cosa=/，，，，“

J/+/+/

a

cosB-2

Ja2+/+i

Vxyz

%

COSV=/4

旧++广

其中a/"分别是Z与x、y、z轴的夹角，它们支定了M的方向。

COS2«+COS2月+COS?/=1o一次性求出三个方向余弦：

•j^-ra=Losa,cos/3,cosy}

同

3、向量运算

（1）加减法

a）几何方法

两向量用平行四边形法则或三角形法则（接龙法）相加。

-3与三大小相等方向相反。a-b=3+（j）。

b）坐标方法

设百=比汽，aj5={bx,by,b\则

a+b=卜，土bx,ayd：4,2±bz}

（2）数乘向量

a）几何方法

网=乖卜府的方向：当4>0时与云同向;当％<0时与M反向。

b）坐标方法

2{a*,ay,az}={Aax,Aav,2az)

(3)两向量的数量积

a)几何方法

A

a-Z?=|t/||/?|cos(tz,/?)=|«|prjab=网prjba

b)坐标方法

设百=by,bz}，则

db=axbx+ayby+azbz

c）物理意义

位移了外力户做的功

W=Fr

（4）两向量的向量积

ax5是一个新的向量。

a）几何方法

A

卜x@=同Wsin（5,b）；GxB）J_a,（axb）±bfa,b,axb成右手关系。

b）坐标方法

设百==h，6y,&},则

jk

MxB={a也-azby,a7bx-axbz,axby-aybx}=a、ayaz

bxbybz

c）几何意义

卜xq=以"B为边的平行四边形的面积。

（5）三向量的混合积

a）[a,b,c]=（axb）-c»[a,b,c'\—\b,c,a\—[c,a,b~\,

b）几何意义

忸,b,司=以落瓦5为边的平行六面体的体积。

（6）熟悉各种运算的运算律。

4、平行、垂直、共面条件

（1）设M=\ax,ay,az]0,b=b，%々}。下列命题等价：

a)a//b；

b)存在实数4使得b=

c)bx:ax=by:ay=h::az；

d)axb-0o

(2)下列命题等价：

a)aA.b■,

b)axbx+ayby+azbz=0；

(3)m,5,5共面=[a,b,c]=0o

二、空间解析几何

1、一般概念

空间几何对象：曲面和曲线。平面是特殊的曲面，直线是特殊的曲线。

空间解析几何就是用代数方程研究几何对象。

几何对象Z和它的代数方程4的关系如下：

(1)Z上每点的坐标都满足方程《；

(2)坐标满足方程{的点都在E上。

空间解析几何的主要任务：

(1)根据已知条件写出几何对象的方程；

(2)根据几何对象的方程分析几何对象的形状。

2、空间解析几何

(1)平面

a)点法式方程

n:A(x-x0)+B(y-几)+C(z-z0)=0

其中万={A,B,C]0是万的随便一个固定的法向量，Mo(Xo，yo，Zo)e〃是随便固定的

一点。利用条件求出”,Al。即可写出平面的点法式方程。

b)一般方程

7i\Ax+By+Cz+D=0

其中万={A,B,C]丰G是万的法向量。

(0,0,0)G兀oD=0

7tIIx(y,z)轴oA(B,C)=0

可以用一般式方程写满足条件的平面方程。利用条件求出A,B,C,。即可写出平面的-一般方

程.

c)三点式方程

T

取万=

i）MXM2xM%,%=K

ii）写出点法式方程。

d）截距式方程

如果平面%与X,y,z轴分别交于非原点（a,0,0）,（0,6,0）,（0,0,c）,则

XyZ

乃：一+—+—=1

abc

e)点#0(%0,y0,z0)到平面

7T:Ax+By+Cz+I)-0

的距离

d_+"+%+〃

YIA2+B2+C2

f)设

勺：A{x4-Bxy+CYz+&=0

7V2:A2X+B2y+C2z+%=0

则

/A、1^，ni\|A4+呼jGGl

COS(1],72)=:

E+B；+C；Q&+B；+C；

乃]_L町o万i，万2o44+8]a2+GG=o

万i//72<=>n1//n2<=>A[:4=B]:B2=Cx:C2

(2)直线

a)点向式方程

x一3二3一九二z-z0

111np

其中§=\ni,n,p\0是/的随便一个固定的方向向量，用0（%,%*0）£/是随便固定的

一点。利用条件求出S,M0即可写出直线的点向式方程。

b）参数方程

x=x0+mt

J：<y=y0+nt

z=zQ+pt

其中6={///,n,p}6是1的随便一个固定的方向向量，（X。，几，z°）e/是随便固定的

一点，力是参数。

C）一般方程

乃]:Axx+B{y+C\z+么=0

42:4入+B2y+C2z+4=0

1作为平面兀、和乃2的交线。

d）点向式方程

]..-*0=-一九=z—Z。

n1np

化为一般方程

x-=一一九

7:mn

♦一九=z-Z。

.nP

e）一般方程化点向式方程：

i）求出，方程组的一个解心（々，几，z0）；

ii）取6=4x%={A，4，G}X{&,62，G}；

iii）用必o（x（）,y0,z。）和s写出点向式方程。

f）两直线

,x-_y一—_z-一

1\■~~

叫%Pi

._y-y2_z-z2

，2'——

加2n20

的夹角

=卜=I班g+-%+PW2|

"一丽一扼+&p；"小ME

/]J,，2O瓦，魇O勿1加2+n\n2+P[P?-0

11//12os{//s2o/1:m2=%:n2-pi:p2

直线

j.x—x0=）一J，o=z—4

mnP

与平面

7r:Ax+By+Cz+D=0

的夹角

.ALv-n\\Am+Bn+Cp\

sin(/,")=j11।=

NHy/A2+B-+C2y]m2+n2+p1

/J_4<=>g//万o/：/+〃：8+/7:C

1//7iosJL万ozzz4+〃5+pC=0

g)过直线

,4i:Axx+Biy+Cxz+〃i=0

7T2:A2X+B,2y+C2z+4=0

的平面束

町:Axx+B、y+C}z+&+4(4JX+B,2y+C2z+D)、=0

用已知条件确定;l,从而在平面束中求出满足要求的平面。

(3)常见的空间曲面

(1)柱面

二元方程F(x,y)=0(或Hz,y)=0或夕(x,z)=0)在空间中表示母线平行于

z(或x或y)轴的柱面。

(2)旋转曲面

yz)=0

曲线绕y轴旋转一周得的旋转曲面的方程为

x=0

f{y,+^z2+x2)=0

其它曲线绕其它轴转的情况类似(请你试写出来)。

(3)二次曲面

a)学会用“截痕法”分析曲面的形状。

b)熟悉P56-P64列出的各种二次曲面及它们的方程。

c)特别常用的曲面：柱面、锥面、(椭)球面、抛物面。

(4)空间曲线

a)空间曲线的一般方程(曲线作为两曲面的交线)

F(x,y,z)=0

.G(x,y,z)=0

参数方程

X=x(t)

\y=y(t)

z-z(t)

b）由一般方程写参数方程的常用方法：先由一般方程变形出（…）：+6,•）；=1;令

（•••））=cos。,（…）2=sin。；再进一步写出参数方程。

c）曲线在坐标平面上的投影

由方程

F(x,y,z)=0

G(x,y,z)=0

消去z（或x或力得到在灯（或yz或zx）面上的投影

H(x,y)=H(y,z)=0或H（z,x）=0、

或<

z-0x=0y=0,

第9章多元函数微分法及其应用

一、多元函数的极限和连续性

1.多元函数的极限

（1）计算多元函数极限的方法：（i）要善于变形；（ii）把一组东西看出一个整体，转化为一

元函数的极限，再用一元函数求极限的方法求极限。

（2）证明极限lim/（x,y）不存在：举一些”—“°的方式（比如〉=儿+女。一无0）），使

1而yfy（）

极限不存在或与方式（％）有关。

2.多元函数的连续性

（1）证明/在（/，打）点不连续：（D用前面方法证明lim/（%），）不存在；或5）求出

XTX0

0

lim/（x,y）*/（x0,j0）»

y->Jo

（2）证明/在（/，儿）点连续就是证明limf{x,y）=/（x0,y0）»

XT%）

）fo

二、偏导数和全微分

1.偏导数

（1）/（X,y）在（/，弘））点的偏导数分两步：（i）作一元函数

8（x）=/（x,%）,〃&）=/（/，，）；GD£（%,%）=。'&）/&，%）=/（%）。因此

〃“。）=蚂4。+必“一（2。）""%）=蚂/（2。+77（2。）

加t。ArAy->o2AV

（2）偏导数的几何意义：（i）<（%,%）=曲线「二/（乐汽）在（xo，y。）点切线对x轴的

Z二）（x'y。）在（Xo，y°）点切线对Z轴的斜率=--1―.„关于

斜率；（ii）曲线

，—y。fx（xo9yo）

一,（与，打）完全类似。

（3）当相应的高阶导数连续时，高阶偏导数与求导次序无关。

2.全微分

（1）全微分概念

如果存在与Ax和Ay无关的A（x0,M））和B（x0,y（））使

1-7Ar2+Ay2

Az=f（x0+Ar,笫+-，%）=A（x°,y0）Ax+B（x0,y0）Ay+J

则称/在（x0,%）点可微。/在（x0,y0）点的全微分

dz=A（x0,y0）Ar+B（x0,y0）Ay=A（x0,y0）dx+B（x0,%）dy

关于任意点（x,y）的全微分，上面（公,%）改为*,y）。当（x,y）是复合函数的中间变量

时，全微分公式也一样。

（2）如果/在（/,打）点可微，则/在（%,用）点的偏导数都存在，并且

dz=fx（x0,%）—+/Go，%W=fx.,y0）dx+fy（x0,y0）dy

（3）（i）/在（%,%）点可微O

f（x0+\x,yQ+Ay）-f（x0,几）-&y°）Ax+fy（x0,y0）Ay]_

iim,一u

"+*

Ay-*0*J

5）证明/在（%,打）点不可微就是证明极限

J./Go+Ax,%+Ay）-'%）—[/；（/，No垣+力（尤0，%）M

^0+Ay2

不存在或不为0。

3.导数的计算

（1）一般函数求导方法：（i）保留求导变元，固定其他变元为常数，得一元函数；（ii）对此

一元函数求导。

（2）复合函数求导方法：（i）画复合函数图；（ii）根据复合函数图写求导公式（设对x求

导）：每个x所在的路径都对应一项：此路径中的每个相邻函数关系都求导，这些导数相乘

作公式的一个求导项；（iii）根据求导公式求得偏导数。（iv）利用低阶偏导数求高阶偏导数，

遇到求偏导函数的导数时，各阶偏导函数与原函数有相同的函数图。（复合函数求导一定要

求到底！）

（3）隐函数求导方法：（i）把隐函数变量看作其它变量的函数得恒等式（组）；（ii）对恒等

式（组）两边求导得含所求导数的方程（组）；（iii）解方程（组）得所求导数；（iv）求隐函

数的高阶偏导数有两种方法：（a）利用低阶偏导数求高阶偏导数；（b）继续对求低阶导数时得

的方程（组）求导，得含高阶导数的方程（组），解此方程（组）得高阶导数。不管用哪种

方法，都要代入低阶导数的结果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求导的变量。

隐函数求导也可解出隐函数再求导。反函数看作隐函数处理。

4.连续、可导、可微、偏导数连续的关系

孙22

0,2，x+y^0

反例；；G：,一+y都

00,x=y=0

在（0,0）点。要熟悉一些典型例题。

三、多元函数微分法的应用

x=x（r）

1.曲线在（x（fo）,y（fo），z（，o））的切向量

.z=z（f）

T=(x'(fo),y(ro),Z'a))

彳―血)=z_z&)

切线:

x'ko)y'to)z，&)

法平面:NoL-M%))+Xy-Mo))+z'(%Xz-z(%))=o

如果L:{z二:&则用x作参数L：i=*x）。（用y或z作参数的情况类似）

、Z=z（x）

2.曲面Z：尸（x,y,z）=0在（%，%，？。）点的法向量

切平面：

工（Xo,y（），ZoXx-Xo）+G（Xo,%"（））（＞-"）+工（Xo,yo,Zo）（z-Zo）=0

法线：

*—/（）=y-y（）=z-z（）

工（入0，%/0）工（工0，%*0）

当曲面以参数方程给出时，消去参数变成一般方程再做。

3.方向导数与梯度

（1）/（x,y,z）在点（/，光/。）沿方向/的方向导数

df_..f（x+tcosa,y+tcos/3,z+rcos/）-/（jc,y,z）

—=urn----0-----------0-----------0--------------0---0---0-

K~i，-＞（/t

°'（Xo，,o，zo）

=fx（X。，加Zo）cosa+4（x0，加Zo）cos夕+f:（x0,y0,z0）cos/

其中cose,cos尸,cosy是/的方向余弦。

求f（x,y,z）在点（/，加%。）沿方向7的方向导数的方法：（i）求导

f'（xo，）o，z（））/（Xo，yo，Zo）,工（加，%⑦）;（ii）求7的方向余弦

工7=卜05。3056工057）;（市）代入上面公式。有时要用上面极限求方向导数。

l7l

（2）/（乂乂2）在点（项）,孔,2（1）的梯度

grad于={/,（/，％，z°）,%（%,%，z°）,工（％，为，Z。）}

（孙北,飞）

梯度是方向导数最大的方向，梯度的反方向是方向导数最小的方向，与梯度垂直方向的

方向导数为0：

gradf,I与梯度同向

（%,加飞）

更

--gradf,/与梯度反向。

树（％,九,“）

（同,％,%）

0,/1梯度

梯度是等值面f（x,y,z）=C的法向量。

4.极值与最值

（1）无条件极值

如果存在去心邻域U=。（（/,乂））,»使

f（x,y）jf（xo,九）［（x,7）e

则称（％,%）为/（x,y）的极不值点，称小伙）为f（x,y）的极条值。可见，极值是小范围的

最值。

如果/（%））在（%,%）点有二阶偏导数，

必要条件:｛般比2

_R2cJ4<On（Xo，yo）M/fi勺极大值点；

充分条件：4R卜〉0=>m）,尤国的极小值点；其中

-2<0=（%,尤方9J极值点。

A=九（%，%IC=，%），B=fxy（x0,%）。

解无条件极值问题的方法：

求出九（x,y）或&.（x,y）不存在的全部点保，无），…,仁,无）

⑴卜出板士肺全部解a,词,…,5,”）向用定

义对（用,无）,…,（x„,y„）逐点判定；用充分条件对（否,M）,…,（4,%）逐点判定。是否极值点,

是极大值点还是极小值点，一定要有明确的结论；（iii）必要时求出相应的极值。

（2）最值

/（x,y）在（闭）区域O上的最大（小）值点有两种可能称龈溜上；因此

求最大（小）值的方法：（i）求/（x,y）在3。的最大值M（最小值〃？）：（ii）求出

九（羽y域//y）或A/，y）不存在的全部点伉,无）,…,伉，其）

'（法器酌全部解（P），…，（…）曲结果

最大值=max•••,/（%„,/）,/日,%）,…,『风,?„,）｝

最小值=min｛/〃,/（吊，无），…"优,y„）,/（%,,%"♦,/（4,%）｝

如果根据问题的实际知：最大（小）值在。内部取得，并且，在。内部到处可导且只

有唯一个驻点或导数不存在的点，则这点就是最大（小）值点。

5.条件极值

Z=/（X|，，Z）

条件极值问题.'（"'…'/）二°的解法：

.落（3，，当）=0

⑴写拉格朗日函数L=/（x,，怎）+4域（x,,x„）++4,或,（工，，，X"）；

（ii）求函数L非条件极值的驻点（4，,儿“不用解出）；

（iii）根据问题的实际判断每个驻点是否极值点，是极大值点还是极小值点。

6.泰勒公式

设函数f（x,y）充分可导，则

f（x0+h,yQ+k）

=〃々，/）+力导+4?1#々，九）+7^f77v-+4事］FGo+仍，儿+傲）

仁X<OxdyJ（A+1）!ISxdyJ

其中0<6<1。

有时可以把一组东西看作一个乙利用一元函数写出关于力的泰勒公式，再把大代回得

到原函数的泰勒公式。

四、相关题目

1.求多元函数的极限；

2.证明多元函数在某点的极限不存在；

3.证明多元函数在某点不连续（连续）；

4.求给定多元函数（在某点）的偏导数；

5.求多元函数（在某点）的全微分；

6.求多元复合函数、隐函数的一阶或高阶偏导数，或全微分；

7.求曲线在某点的切线方程、法面方程；求曲面在某点的切面方程、法线方程；（可能要先

根据已知写出方程）

8.求给定函数在某点的梯度，在某点沿某方向的方向导数；

9.求函数的极值、最大（小）值、条件极值；

10.证明多元函数在某点不可导（不可微或导函数不连续）。

第10章重积分

一、二重积分

1.二重积分的概念

设。是平面上的有界闭区域，/(%>)是。上有界函数。

分割：把0分割为〃个小区域：ACT“

“近似”：V(^.,77,)GACT,..作

府，7)45

求和：

i=\

取极限：记X=max|Acr,.|,

K心不存在，称庵。上不可积；

图•5'7心飞=4存在，称A为/(再就ED上的二重积分，记为

JJ/(x，y)^=jjf(x,y)dxdy=处"jAq.

DDi=l

当/(x，y)有了实际意义，

D

也相应地有实际意义。例如，如果/(x,y)是质量面密度，则二重积分就是。的总质量：当

/(x,y)是以。为底的曲顶柱体的高度函数时，二重积分是此曲顶柱体的体积。

jjQda=0JJf{x,y)d(j=0(£)的面积=0)Jjdcr=O的面积

DDD

2.二重积分的性质

(1)线性性

JJ[0(x，>')+0ggy)pcr=ajjf(x,y)dcr+尸JJg(x,y)da

DDD

(2)可加性

如果D分割成两个区域£>,和D2,则

JJf(x,y)da=y)dcy+JJ/(x,y)da

DD、D2

(3)单调性

如果

f(x,y)<g(x,y),((x,y)ED)

则

JJ/(x，<JJg(x,y)da

DD

特别，如果

/(x,y)>(<)O,((x,^)eD)

则

JJ/(x，y)db»(W)O

D

如果

m<于(x,y)<M,((x,y)GD)

则

m(y<jj/(x,y)da<Ma

D

其中b是。的面积。

(4)中值定理

如果/(x,y)在。上连续，则存在使

其中b是。的面积。

3.二重积分的计算

(1)直角坐标

X-型区域Y-型区域

D={(x,y)y(x)<”%㈤。<x<b]D={卜"吊。)<x<x2(j),c<y<^}

如果。是X-型区域，则(后x积分)

1L

D"'」

如果。是Y-型区域，则（后y积分）

JJf(x,y)da=y)dx=j：［j：("x,丁闷办

D

如果。既是X-型区域又是Y-型区域，则

JJ/（x，y=£'f（x,y）dy=£办£；/（*，），炫

哪个简单就计算哪个。里层上下限总是外层积分变量的函数。

如果D既不是X-型区域又不是Y-型区域,则需作适当分割。

（2）极坐标

如果

小-Pi（€）亮大

D={（。,夕）乃（e）〈夕W22（0），a<ew4}

其中awev4是。的张角；P=8e）是.....

D

（注意：面积元素多;个夕；当。包含原点时。=0,/?=2]㈤⑹=0）o当。的边界是

圆弧或被积函数含有x?+y2时，用极坐标积分比较简单。

曲线极坐标方程的求法：设曲线方程F（x,y）=O,贝i」MQCose,psine）=0,解出

P=。®）。

二、三重积分

1.三重积分的概念

设V是空间的有界闭区域，/（x,y,z）是U上有界函数。

分割：把V分割为〃个小区域：△%八•♦,△%

“近似”：v（q,%6）e△匕，作

求和:力/（3〃，）内匕

;=1

取极限:记4=max|AvJ,

lim寸"An?不存在，称/(乂>)专让不可积；

图》△匕[=A存在，称A为/>(%))在吐的三重积分，记为

JJJ7(X，y，Z)办=HP(X,y,Z)dxdydz=\\m^f(。,7,0)△匕

vv»=1

当f(x,y,z)有了实际意义，

JJJ/(x，y，z)du

V

也相应地有实际意义。例如，如果/(x,y,z)是质量体密度，则三重积分就是u的总质量。

JJJOdv=0JJJf(x,y,z)dv=0(n的体积=O)JjJdv=v的体积

VVV

2.三重积分的性质

(1)线性性

JJJW(x，y，z)+g(x,y,Z^lv=aJJJ/(X,y,z)dv+/?JJJg(x,y,z)dv

VVV

(2)可加性

如果u分割成两个区域匕和匕，则

0J7(x,y,zMu=([|7(x,y,z”u+JJJf{x,y,z)dv

vV|V,

(3)单调性

如果

f(x,y,z)<g(x,y,z),((x,y,z)GV)

则

fJff(x,y,z)dv<JJJg(x,y,z)dv

VV

特别，如果

/(x,y,z)n(w)0,((%y,z)Gv)

则

JJJ/(x，y，z)dvN(W)O

V

如果

M>f(x,y,z)>m,((x,y,z)GV)

则

Mv>[H/(x,y,z)dv>mv

其中u是u的体积。

(4)中值定理

如果/(x,y,z)在2上连续,则存在仁,〃,？)€V使

JJJ/(X，y,z)dv=fg小g)V

(ii)一套二

设区域z

V

V={(X,y,z](x,y)eD2,c<z<d}

z

其中，卜,同是v在z轴上的投影;

面Z=z截u的截口。则

JJJf(x，y，z)dv=£dzJJf(x,y,z)dxdy=£

vD.D.

一般情况下用二套一方法计算；当/(x,y,z)不含(x,y),或用极坐标计算

\\f[,x,y,2)dxdy

D:

时不含(a。)，用一套二计算比较简单。

往其它坐标平面或坐标轴投影完全类似。

(2)柱面坐标

用柱面坐标计算三重积分的方法：

(i)先把三重积分写成二套一

ffj/U%z)方=JJ海£：：))yz>/z

(ii)再用极坐标计算外层积分

心瞋：""zMz=)>£：丽£2；；：》(pcosapsinaz”z

%

往其它坐标平面投影完全类似。

(3)球面坐标

(i)球面坐标与直角坐标的关系

x=rsinecos®

<y=rsin/sin。；dxdydz=r2sin(pdOd(pdr

z=rcos(p

(ii)主要掌握以下三种简单情形：

(a)原点是u的内点。此时

JJJ/(X，Xz”v=[J4。]：'/(rsinecosO,rsin^>sin0,rcos(p)r2sin(pdr

其中r=re,彷是v的外边界。

(b)口的边界在原点与xy平面相切，u包含z轴正向。此时

jjjf(x,y,z)dv=£dO^2d(p^^^(rsin^cos^,rsin^sin^,rcos^)r2sin(pdr

其中r=r®,°)是v的外边界。

(c)v是锥面0=a与外边界r=r(e,°)包围。此时

JJJf{x,y,z)dv=£de/d。，/(rsin^cos^,rsin^sin^,rcos^>)r2s'm(pdr

不管是计算二重积分还是三重积分，如果区域边界的表达式不一致，就要作适当区域分

割。里层上下限总是外层积分变量的函数。

三、重积分的应用

1.体积

u的体积=JJJdxdydz

2.曲面z=f[x,y),((x,y)eDxy)的面积

A=jj+A2(x,y)+fy(x,y)dxdy

其中dS=y]\+f；(x,y)+f^x,y)dxdy是面积微分；O,v是曲面在xy上的投影。

曲面表示成y=f(x,z),((x,z)G)或x=f(y,z),((y,z)e£>vJ时类似。

3.质心

设区域V的密度为/(x,y,z),则V的质量

M=J0/(x,y,z”u

V

质心坐标

元=LJJJxf3>'z)"Ly=AJJJ升(乂乂z)dv,3=，JJJzf(x,y,z

vy甘

在平面情形少一个坐标且为二重积分。

4.转动惯量

(1)平面情形

设区域。的密度为/(x,y),则转动惯量

2

，r=y)dxdy,Iy=JJx/(x,y)dxdy

DD

(2)空间情形

设区域v的密度为f(x,y,z)，则v的转动惯量

2222

L=J"(J+z)/Uy,z)dxdydz,Iy=JJJ(x+z)/(x,y,z)dxdydz

VV

2

i:=ffl(x+V)/(x,y,z)dxdydz

V

5.引力

设区域u的密度为了(无,y,z),贝!)u对u以外的质量为M的质点(与，加修。)的引力

声=(工,J工)

为

Fx=内，G.QZXXT。)3dMz

''[必-.)2+3-.)2+(z-Z0)2

GW(x,y,z.7。)3dxdvdz

v[J(x-xo)2+&-凡)2+(z-Zo)2

Fz=川G.”zXz-z。)3dxd“z

V[J(x-Xo)2+(--%)2+(z-Zo)2

其中的复杂性是由力的分解时乘cosa,cos⑸cosy引起的。

计算时注意对称性。

四、相关题目

1.用直角坐标计算二重积分，当边界的表达式不一致时会适当分割区域；知道什么时候用

极坐标计算简单并会用极坐标计算二重积分；

2.用直角坐标计算三重积分，当边界的表达式不一致时会适当分割区域；知道什么时候用

柱面坐标或球面坐标计算简单并会用柱面坐标或球面坐标坐标计算三重积分；

3.用二重积分或三重积分计算几何体的体积；

4.用二重积分计算空间曲面的面积；

5.用二重积分或三重积分计算质量、质心、转动惯量、引力等物理应用。

第11章曲线积分与曲面积分

一、曲线积分

1.对弧长的曲线积分

(1)概念

设L是空间有界曲线，/(x,y,z)是L上有界函数。

分割：把£分割为〃个小弧段：

“近似”：V(基弧M_M，S为弧MTM的弧长，作

求和：力低二2

1=1

取极限：记；l=max|弧

野》/(30，)用不存在，说/(x,y,z施L上第一类不可积；

X—>u=A存在，称A为/■(龙广/旌乙上对弧长的曲线积分，记为

1=1

£/(x,y,z)ds=lim£77,，)9

/=|

当/(x,y,z)有了实际意义,

Jj(x，y，z)ds

也相应地有实际意义。例如，如果/(x,y,z)是质量弧长密度，则曲线积分就是L的总质量。

平面曲线积分是空间曲线积分的特例。

(2)性质

(i)线性性

6M(x，乂z)+Pg(x,y,z)}/s=ajj(x,y,z)ds+万上g(x,y,z)ds

(ii)曲线段可加性

把L分割成两段乙和4，则

JJ(X,y,z)ds=£/(X,y,z)ds+£f(x,y,z)ds

(iii)单调性

如果在L上有/(x,y,z)<g(x,y,z),则

Jj(x，V，z”s<£g(x,y,z)ds

特别，如果在L上有/(x,y,z)N(W)O,则

£/(X,^,Z)</5>(<)0

如果在L上有M>f(x,y,z)>m,则

Ms>jf(x,y,z)ds>ms

其中s是L的弧长。

(iv)中值定理

如果/(1,丁*)在/,上连续，则存在乙使

Jj(九,=/(4,〃,，卜

其中s是L的弧长。

(3)计算

X-

设<y=y，0,QWfW⑶，则

z=z(0

j/(x,y,z)ds=「/(MUy(.z(/)XM/++z⑺2dt

其中ds=yjx'^+y'^+z'^dt是弧长微分。

当L：{;二时就用K作参数L：«y=y(x)；类似地有时用y或z作参数。

2.对坐标的曲线积分

(1)概念

设L是空间有界的有向曲线，A是始点B是终点

F(x,y,z)=P{x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k是L上有界向量函数。

分割：把L分割为〃个小弧段：A=MQ,M„---,Mn^B

“近似”：V(4，q,)e弧必_幽,。设弧机_】必•的长是公邑，云©,〃八乙)是£在

(务〃,，£)点与L方向一致的单位切向量。

作

电久).恁,%，4冰：

求和:之户(媒，

7=1

取极限：记4=ma邓瓜MiK|

£网多，＜/)•》£，/，r)As,.

1=1

’不全存在，称在上第厘不可积；

=4都存在，称4为7(x,y,z建L上对坐标的曲线积分，记为

[/(x,y,z)=Ly,z)•&(•«,y,z)ds

=J/P(”z)cosa+Q(尤，y,z)cos0+R(x,y,z)cos

=JP(x,y,z)公+(2(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

=1P(x，y，z)公+(Q(x,y,z)办+(/?(x,y,z)c/z=HmF(,7,.,<,.)■e,7,.,)Ay

j=l

其中百(x,y,z)={cosa,cos⑸c