高中数学高考冲刺综合复习练习题

高中数学高考冲刺综合复习练习题

平面向量的数量积

1.a=(2,3),b=(—1,—1),则a・6=()

A.IB.-IC.-5D.5

2.已知向量&=(2,1),b=(—1,A),a•(2a—6)=0,则4=()

A.-12B.-6C.6D.12

3.已知向量a=10,且|6=12,且60,则向量a与6的夹

角为()

A.60°B.120°C.135°D.150°

4.若a=(2,3),b=(—4,7),则a在6方向上的投影为()

A/65r—J13r—

A.千B.q65C.^-D.qi3

oo

5.平面向量a与力的夹角为60°,a=(2,0),\b=1,则a•8=

6.半圆的直径48=4,。为圆心，。是半圆上不同于/、8的任意一

点，若夕为半径3的中点，则（为+阳•无的值是（）

A.-2B.-IC.2D.无法确定，与。点位置有关

7.设a,6是非零向量，若函数f（x）=（xa+6）-（a—耘）的图象是一

条直线，则必有（）

A.a_L6B.a//bC.a\=Z?D.a\^\b

8.已知两不共线向量a=(cosa,sina),b=(cosJ3,sin£),则下

列说法不下争的是()

A.(a+Z?)_L(a—6)B.a与6的夹角等于a—8

C.a~\-b+a—b\>2D.a与6在a+6方向上的投影相等

9.已知向量a,右均为单位向量，若它们的夹角是60。，则1a—3〃等

于.

10.已知a、b、c都是单位向量，且a+b=c,则的值为

________•

11.△板三顶点坐标为4(1,0),8(0,2),0(0,0),P(x,力是坐标平

面内一点，满足苏•为W0,帝•宓》0,则9•碉最小值为

________•

12.(13分)已知|印=隹，|引=3,a与6夹角为45°,求使a+Ab

与Aa+6的夹角为钝角时，4的取值范围.

13.(12分)在△18。中，角4B,。对应的边分别为a,b,c,若

油•充=应•充=2,求c的值.

1.已知向量a,8满足a，4|a|=l,|引=2,贝”2&—引=()

A.0B.2隹C.4D.8

2.已知a=(l,0),b=[x,1),若a•b=小,则x的值为()

A.A/2B.2A/2C.^3-1D.^3

3已知a|=2,6是单位向量，且a与6夹角为60。，则a・（a—6）等

于（）

A.IB.2-A/3C.3D.4一而

4.已知向量a,6满足（a+26）,（a—6）=—6,且|a=1,b\=2,

则a与右的夹角为.

能力提升

5.在a中，NC=90°,4C=4,则油•充等于（）

A.-16B.-8C.8D.16

6.已知a=（l,sii?x）,b=（2,sin2x）,其中x£（0,n）.若|a・，|

—\a\\b\,则tanx的值等于（）

A.IB.-IC.小D.?

乙

7.若两个非零向量a,b满足|a+6|=|a—引=2|a|,则向量a+6与

a—6的夹角是（）

JIJI2Ji5n

A.-B.-7rC.f-D.一^

b336

8.若非零向量a,6满足|a+引=|引，贝>］（|

A.12al>|2a+6|B.12a|<12a+Z>|C.|2->|a+2b|D.\2b\<\a+2b\

9.已知|H|=|6=2,（&+2b）•（&—■）=—2,则&与6的夹角为

10在边长为1的正三角形4%中，设求-2初，需=3出则初•诙=

筋赤1

11.在△/%中，已知——十——工攻,且加•充=娟花・I充I,贝1]

|祖|屈2

△/仇?的形状是.

12.（13分）已知直角梯形/腼中，AD//BC,ZADC=9Q°,AD=2,BC

=1,尸是腰加上的动点，求|9+3/|的最小值.

13.（12分）如图K25—1,梯形力物中，AD//BC,ADA.AB,=1,BC

=2,AB=3,尸是理上的一个动点，当初•苏!取最小值时，求tanN

DPA的值.

图K25-1

正弦定理和余弦定理

1.已知锐角△48。的面积为队内，BC=4,0=3,则角。的大小为

（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

2.在△49C中，若25行加:111康005（8—/）,则△49C的形状是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

3.在△48。中，下列关系式①asin4=6sin/；②a=Z?cosC+ccos8；③

a2+Z?2—c=2abcosC；®b=csinJ+asin^一定成立的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.已知a,b,c分别是△/%的三个内角4,B,。所对的边，若&=

1,b=小,且8是/与。的等差中项，则sin/=.

5.在中，a=/+l,b=\[3~l,°=而，则C=（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

JT

6.在%中，B=—,三边长a,b,c成等差数列，且ac=6,则6

o

的值是（）

A.^2B.^3C.洞.道

7.在锐角回中，角/、B、。的对边分别为a、b、c,若（才+/一

b2）tanB=\[3ac,则角夕的值为（）

JIJIJTJI

A・yC.TD.y

8.在△力打。中，a,b,。分别是角4B,。所对的边，若（小6—

c）cosA^acosC,贝（!cos力（）

9.已知△/回三边长分别为a,b,。且3+//—<?=aS,则C=

10.已知a,b,c分别是'的三个内角4B,。所对的边，若才一

b'=-\[3bc,sir\C=2\[3sinB,则A=.

11.△/回的三内角4B,。所对边长分别是a,b,c,设向量卬=（a

+5,sin。，n=（ma+c,sin/?—sinJ）,若必〃〃，则角夕的大小为

12.（13分）设△力8C的内角/、B、。所对的边分别为a、b、c,已知a

1

1,2cos

94

(1)求的周长；

(2)求cos(A—0的值.

13.(12分)在阿中，角4,B,。所对的边分别为a,b,c,且满足

csin4=acosC

(1)求角。的大小；

(2)求/si"—cos月+宁的最大值，并求取得最大值时角46的大

小.

解三角形的应用

1.以观测者的位置作为原点，东、南、西、北四个方向把平面分成四

个象限，以正北方向线为始边，按顺时针方向旋转280。到目标方向

线，则目标方向线的位置在观测者的()

A.北偏东80°B.东偏北80°C.北偏西80°D.西偏北80°

2.从4处望6处的仰角为a、从夕处望/处的俯角为8,则。与£

的关系为()

A.a〉BB.a=£C.a+8=90°D.。+£=120°

3.如图K28—1,为了测量隧道口48的长度，给定下列四组数据，计

算时应当用数据()

b

图K28-1

A.a,a,SB.a,£,aC.a,b,yD.a,B,b

4.如图K28—2,已知两座灯塔/和8与海洋观察站C的距离都等于

akm,灯塔力在观察站。的北偏东20°方向上，灯塔8在观察站。的南

偏东40。方向上，则灯塔/与灯塔耳的距离为()

图K28-2

5.某人向正东方向走双m后，向右转150。，然后朝新的方向走了

3km,结果他离出发点恰好为小km,则x=()

A.#B.2m或4D.3

6.为测量某塔48的高度，在一幢与塔48相距20m的楼顶处测得塔顶

力的仰角为30°,测得塔基夕的俯角为45°,那么塔力耳的高度是

A.201+mB.2014mC.20(1+A/3)mD

7.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔月的南偏西75°

距灯塔68海里的〃处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则

这只船的航行速度为（）

A.17乎海里/小时B.34m海里/小时C.但海里/小时D.34班海里

乙乙

/小时

8.飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地

以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地到甲地距离为

（）

A.1400kmB.TOO^kmC.700A/3kmD.1400也km

9.[四川卷]在中，sinMWsin^+sinZ—sinBsinC,则/的取

值范围是（）

、

‘J："IrJT]（JIJT

A.0,—fe.-,冗C.0,-D.—JI

I6r[6JI3J3，7

10.某舰艇在/处测得遇险渔船在北偏东45。距离为10海里的。处，

此时得知，该渔船正沿南偏东75。方向，以每小时9海里的速度向一

小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是

图K28-3

11.如图K28—3,海岸线上有相距5海里的两座灯塔4,B,灯塔8位

于灯塔/的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔4的北偏

西75°方向，与4相距3g海里的〃处；乙船位于灯塔夕的北偏西

60°方向，与夕相距5海里的。处.则甲、乙两艘轮船之间的距离为

________海里.

12.在△力夕中，。为坐标原点，/（I,cos0},8（sin。，1）,

/1

IT

0,—,则△以8的面积达到最大值时，0=.

JI

13.△/回中，A=~,BC=3,则的周长为（用8表

O

示）.

14.（10分）［惠州三模］如图K28—4,某河段的两岸可视为平行,为了

测量该河段的宽度，在河的一边选取两点4B,观察对岸的点C,测

得/。夕=75°,ZCBA=45°,且48=100米.

（1）求sin75°；

（2）求该河段的宽度.

AB

图K28-4

15.（13分）在△力抗?中，已知角4,B,。的对边分别是a,b,c,且,

+6?—c2—

（1）求角。的大小；

2j［力

（2）如果0C4Wk，T77=2cos2--sin^-l,求实数"的取值范围.

16.（12分）如图K28—5,在山脚力测得山顶尸的仰角为a,沿倾斜角

为£的斜坡向上走a米到8,在8处测得山顶〃的仰角为人试借助

.—asinasiny—8

图中的辅助线，求证:山商h=

siny—a

图K28-5

数列的概念与简单表示法

1.设数列｛4｝的前〃项和为S,且S=2（a「1）,则为=（）

A.8B.4C.2D.1

2.［福州一模］把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这

些数目的点子可以排成一个正三角形（如图K29-1所示），则第七个三

角形数是（）

八

♦X\

八八、八'\\/、、•、\\

1361015

图K29-1

A.27B.28C.29D.30

3.设数列｛a｝的前〃项和S,=（〃-1）2,则4+&0=（）

A.16B.24C.32D.48

4.已知数列｛4｝的前4项为1,3,7,15,写出数列｛4｝的一个通项公式

能力提升

5.已知数列、后，小，3,平，…,则®是该数列的（）

A.第6项B.第7项C.第9项D.第11项

6.已知数列｛品｝的前〃项和S=//—16〃，第A项满足6＜为＜9,贝］A=

A.13B.12C.10D.9

7.设数列｛a〃｝的通项公式为a〃=20—4〃，前〃项和为S,则S中最大

的是（）

A.SB.S或WC.iSsD.&

8.〃个连续自然数按规律排成下表：

01234567891011--

根据规律，从2011到2013的箭头方向依次为（）

A.I—B.-fC.t-D.—；

9.设数列｛4｝满足：ai=2,a/,+i=l——,记数列｛&,｝的前〃项之积为

n〃，则n刈2的值为（）

11

A.—~B.—IC.-D.1

212

10.1,…的一个通项公式是________.

325

用3〃一1

11.设数列｛a｝的前〃项和为S”对于所有〃£N*,S=」一-——，

乙

且国=54,则ai=.

=

12,数列｛a｝中，3.n—।।,若Sn7,则72—.

13.一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中♦表示实心圆，O表示空

心圆）：

若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2013个圆中，空心

圆的个数为.

14.（10分设数列｛a｝中，a=l,点（a〃，a〃+i）（〃=1,2,3,…）均在直

线y=2x+l上.

（1）求&2,&,a的值；

（2）求数列｛a｝的通项公式.

15.（13分）已知数列｛劣｝的各项均为正数，S,为其前〃项和，对于任

意的〃£N*满足关系式2s=3a〃-3.

（1）求数列｛a｝的通项公式；

⑵设数列｛4｝的通项公式是4=^------------,前〃项和为北，求

log3a„•log3an+i

证：对于任意的正整数〃，总有7X1.

16.（12分）设各项均为正数的数列｛a｝的前〃项和为S”已知2a2=8

+4,数列｛、/&｝是公差为小件0）的等差数列，求数列｛2｝的通项公式

（用〃、（表示）.

等差数列

1.等差数列｛2｝的前〃项和为S,若W=4,S=20,则该数列的公差

为（）

A.7B.6C.3D.2

2.等差数列｛2｝中，&+@+a=12,那么a+a2H---ck-\-ai=()

A.21B.28C.32D.35

3.已知数列｛劣｝是等差数列，若a+&+a9=2冗，贝Ucosla+a)=

4已知｛a｝是等差数列，S,为其前〃项和，〃£N*.若a=16,甑=20,

则So的值为.

2112

5,数列｛品｝满足a=l,a2=-,且+=—(〃22),则品等于

22⑵⑵_]

A.~V7B.-7C,-"D.-'

〃十1〃十2⑹⑹

6.已知等差数列｛aj满足a+近一备=2,则｛a｝的前15项和Si5=

A.10B.15C.30D.60

7.在等差数列｛a,｝中，首项a=0,公差dWO,若&-=a+/2H--1-

37,贝！]k=()

A.21B.22C.23D.24

8.已知数列｛品｝中，33=2,&=1,且数列是等差数列，则加

⑶十1J

等于()

212

A.—~B.~C.-D.5

9.已知数列｛4｝满足a〃+i=a,+l(〃£N+),且续+国+a=18,则

log3(a+a+aj的值为()

A.-3B.3C.2D.-2

10.S为等差数列｛2｝的前〃项和，$=&,&=1,则徐=.

11.已知数列｛劣｝对于任意夕，q£N*,有aP-\-aq=ap+q,若a=4，则为6

y

12.已知等差数列｛&｝中，a2=6,35=15,若4=即，则数列仿』的前

9项和等于.

13.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的

和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数

列的公和，已知数列｛2｝是等和数列，且a=2,公和为5,那么演的

值为.

14.(10分已知等差数列｛a｝中,31=1,&=­3.

(1)求数列｛a｝的通项公式；

(2)若数列｛a｝的前4项和5=—35,求4的值.

15.(13分)在数列｛4｝中，a=4,且对任意大于1的正整数〃，点

n,在直线y=X—2上.

(1)求数列｛a｝的通项公式；

⑵已知数列｛4｝的前〃项和A+---\-bn=a试比较与4的大

小.

16.(12分)数列｛a｝满足a=l,品+i=(〃2+〃一九)区(〃=1,2,…)

4是常数.

(1)当石2=—1时，求A及a的值；

⑵数列｛2｝是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不

可能，说明理由.

课时作业（三十一）［第31讲数列的综合应用］

1.已知数列｛2｝的通项公式是2=7若，其中a6均为正常数，那

bn~r\

么必与an+\的大小关系是.

2.从盛满10L纯酒精的容器里倒出1L,然后用水填满，再倒出1L混

合溶液，再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里

还有纯酒精L.

3.若数列x,a,色,y成等差数列，x,4，Ay成等比数列，则

O—I—o2

一:b1•7民一的取值范围是

4.已知数列｛4｝中，ai=a,a为正实数，a〃+i=a〃一•'（〃£“），若

,33>0,则a的取值范围是.

5.等比数列｛a｝的前〃项和为S”且4ai,2&,0成等差数列.若国=

1,贝1S=.

6.某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基

础上翻两番，则年平均增长率为.

7.设数列W中，若&+i=a+a+2（〃£N*）,则称数列｛a,｝为“凸数

列”，若4=1,a=-2,则该数列前6项和为.

8.已知数列｛2｝是正项等比数列，也,｝是等差数列，且呆=为，则一定

有（填序号）.

①33+49＜加+加②续+4>庆+〃；③&+<39>加+）；④

&+（39〈为+th.

9.公差不为零的等差数列｛a｝的前〃项和为S.若乃是&与&的等比

中项，&=32,则So等于.

10.设等比数列的公比为外前〃项和为£,若S“S,+i,S+2成等差

数列，则公比°=.

11.通项公式为4=套+〃的数列｛a｝,若满足水&〈&<21〈桀，且

a>a〃+i对〃>8恒成立，则实数H的取值范围是.

12.已知数列｛劣｝满足：国="（勿为正整数），an+\=

<2,a”为偶数,若a=1,则勿所有可能的取值为.

、3a〃+l,品为奇数.

13.（8分）已知｛2｝是公差为d的等差数列，它的前〃项和为S”S=

2s+4,4=1+a：

3/i

（1）求公差d的值；

⑵若d=-］求数列｛4｝中的最大项和最小项的值.

乙

14.某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为6

人，以后学生人数年增长率为4.9%。.该校今年年初有旧实验设备a

套，其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备

数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备.

⑴如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，

那么每年应更换的旧设备是多少套？

⑵依照⑴的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？

下列数据供计算时参考：

1.r^21.0049%

.361.04

1.110^21.0049"比

.591.05

1.ln^21.0049公

.851.06

15.数列｛a｝的首项为1,前〃项和是S”存在常数4耳使

+6对任意正整数〃都成立.

⑴若力=0,求证：数列｛&｝是等比数列；

⑵设数列｛a｝是等差数列，若p〈q,且求p,q的值.

55du

16.(12分已知数列｛&｝的前〃项和为S,且满足2s产夕2一2〃，代

N*,其中常数夕＞2.

(1)证明：数列｛2+1｝为等比数列；

⑵若必=3,求数列W的通项公式；

⑶对于⑵中数列｛8｝,若数列出｝满足4=log2(&+l)(〃WN*),在瓦

与瓦H之间插入21(400个2,得到一个新的数列｛④｝,试问:是否

存在正整数加，使得数列｛的｝的前勿项的和北=2011?如果存在，求出

力的值；如果不存在，说明理由.

等比数列

1.下列四个结论中，正确的个数是()

①等比数列｛品｝的公比g>0且内,则｛品｝是递增数列;

②等差数列不是递增数列就是递减数列；

③｛2｝是递增数列，｛4｝是递减数列，则｛a-4｝是递增数列；

④EJ是递增的等差数列，则｛2a,｝是递增的等比数列.

A.IB.2C.3D.4

2.等比数列｛a｝中，若乃+a=1,桀+&=9,那么国+桀等于（）

A.27B.27或一27

C.81D.81或一81

3.A.1B.^/2C.2D.平

4.各项都为正数的等比数列｛&,｝中，8=1,^+a=27-+-,则通项

323s

=

公式3n.

5.设S为等比数列｛8,｝的前〃项和，已知3S=4-2,35=43—2,则

公比（）

A.3B.4C.5D.6

2

6.在等比数列｛8,｝中，若&&呆a40=32,则包的值为（）

3[2

A.4B.2

C.-2D.-4

7.已知数列｛4｝是首项为1的等比数列，S是数列｛a｝的前〃项和，

且9&=&,则数列，工，的前5项和为（）

3〃

15.131.1

AA1或/而或二

8.数列｛品｝的前〃项和为S”若a=l,a”+i=3S0（〃21）,则为=

（）

A.3X4'B.3X4'+1

C.4'D.4'+l

9.已知公差不为0的等差数列｛2｝满足a,a,丛成等比数列，S为

C-C

｛2｝的前〃项和，则的值为（）

05-03

A.2B.3

1

C.-D.4

10.在△/回中，tan/是以一4为第三项，4为第七项的等差数列的公

差，tan8是以（为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tanC=

O

11.设项数为10的等比数列的中间两项与2l+9x+6=0的两根相

等，则数列的各项相乘的积为.

12.在等比数列｛a｝中，a〉0,且&•4...&•桀=16,则㈤+桀的

最小值为.

13.已知a,b,c是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，

2I2

得到一个等比数列，则3q的值为.

14.（10分）设等比数列｛2｝的前〃项和为Sn.已知32=6,631+a3=30,

求①和S.

15.(13分已知等比数列｛a｝的公比q=3,前3项和£=7.

O

(1)求数列｛2｝的通项公式；

JT

⑵若函数ax)=4sin(2x+。)(给0,0＜。＜冗)在x=丁处取得最大

0

值，且最大值为43,求函数A*)的解析式.

16.(12分)已知公差不为0的等差数列｛a｝的首项a为a(a£R),且

―,，成等比数列.

＜31苴24

(1)求数列｛a｝的通项公式；

(2)对〃£N*,试比较…+」•与工的大小.

&32232n31

参考答案

1.C［解析］a-6=2X(―D+3X(―1)=-5.

2.D［解析］a•(2a—力)=2步-a•6=0,即10—(4—2)=0,所以4

—12,故选D.

3.B［解析］由161cos夕=-60=cos夕=—5,故。=

乙

120°.

a・b2X—4+3X7乖

4.A［M^r］VCOS0=,a在6

la•引―74+9・116+49—5

方向上的投影lalcos。=产勺义呼=卓.

5.B［解析］|a1=2,a•b=/a/•lbI,cos60°=2X1X；=1.

6.A［解析］(咫+附•瓦=2用-死=—2.

7.A［解析］由题意知函数广(x)=x，—*入+a*入―牙斤，又因为函

数广(x)的图象是一条直线，所以a-6=0,即所以选A.

8.B［解析］a=(cos。，sina),b=(cosB,sin£),则|a=b\

a.b

=1,设a,6的夹角是。，则cos9=^----M=COSQCOS£+

sinasinJ3=cos(a—B),.,•夕与。一8不一定相等.

9.小［解析］：|a—3引2=才一6a・右+9下=10—6XCOS60°=7,

la—3引=小.

10.\［解析］6=c—a,两边平方，并结合单位向量，得&•。=《.

11.3［解析］•1=(x—1,y),(l,O)=x—IWO,・X,

——1,

•.•帝•彼=(x,y-2)-(0,2)=2(y—2)三0,

.2.

.•.办•油=(x,y)•(―1,2)=2y—x23.

a•b

12.［解答］由条件知，cos450=lai-lbP'.a•b=3,

设a+几入与4a+b的夹角为夕，则。为钝角,

a+b•几a-Yb

C0S|a+Xb\­|^a+b\<0,

，(a+几b)(4a+b)〈0.

Xa~+A厅+(1+•ZKO,

/.2A+9A+3(l+A2)<0,/.3A2+lM+3<0,

.—11—^/85—11+^85

*-6O<6-

若。=180°时，a+46与4a+6共线且方向相反,

.二存在A<0,使a+46=4（4a+6）,

AA=1,

/a,6不共线，；

人=k.

k=A=-1,

且4W—1.

6

13.［解答］如图，取45的中点区连接应,

则匕=］（方1+宓）.

由屈•尼=物・次,得油•（而+反）=0,

所以m•宓=0,即四_L位

又少为4?的中点，所以。=%,即6=a

在RtA4£T中，|充|cos/=|左

即6cos4=5，①

乙

都•充=|。|•|充|cos4=%cos/=2.②

2

将②代入①，得：=2,解得c=2.

乙

1.B［解析］:|2a一二『=4/-4a•/>+房=8,

A\2a~b\=2^2.

2.D［解析］依题意得a•6=X="\/5.

3.C［解析］a・(a—b)=4—&-6=4-2XlXcos60°=3.

JI

4.—［解析］设a与6的夹角为。，依题意有(a+28)•(a—6)=才+

O

a•6—26?=—7+2cos。=—6,所以cos。.因为0W。W兀，故

乙

5.D［解析］因为NC=90°,所以充•宓=0,所以。・G(充+

⑦・能=|充1+充・宓=彩=16.

6.A［解析］由a•b\=\a%知a〃6.所以sin2x=2sin7,即

JT

2sinxcosx=2sin'x,而(0,n),所以sinx=cosx,即x=］,故

tanx=1.故选A.

7.C［解析］依题意，由|a+引=|a—引=21a|得a_L6,下=34，cos

,一疗1

(a+b,a~b)=.+6—a~b\=~2,所以向量与&一右的夹角

8.C［解析］因为/a+6/=/”所以a•(a+2b)=0,即a_L(a+

26),因此|a|、|a+2引、|2引构成直角三角形的三边，|2引为斜边,

所以|2引＞|a+2引.

JI

9.—［解析］设a与8的夹角为。，由(a+26)•(a—Z?)=—2得|a2

O

+a・6—2|引2=4+2X2XCOS，一2X4=-2,

乙1兀

解得cose=5，••e=公~.

乙o

10.-1［解析］由题知，D为BC中点，月为喈三等分点，以所在

的直线为x轴，以49所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得

X,用,0,0),彳一o),g,用，故初=卜，_当,强=

16，6/

所以电・诙=—乎x*=—；.

264

‘京疝'

11.等边三角形［解析］非零向量油与充满足——十——•友=0,

li^im)

力力•A「I

即N胡C的平分线垂直于a；：.AB=AC,又cos/=--------N4

I羽I充I2

JI

=7，所以△49。为等边三角形.

O

12.［解答］建立如图所示的坐标系，设DC=h,则4(2,0),8(1,

/?).设尸(0,0—。),

则为=(2,一力，用=3h~y),.二|e+3您=«25+3力—4y

2曲=5.

【难点突破】

13.［解答］如图，以/为原点，%为x轴，初为y轴建立平面直角坐

标系刘什,则4(0,0),8(3,0),C(3,2),〃(0,1),设4CPD=a,Z

BPA=B,P®力(0WyW2).

IT

.,.初=(―3,1—y),苏1=(—3,—y),

(1)35

，物・力=/-p+9=y—-2+—,

l句4

1(1

.•.当y=］时，物•咫取最小值，此时尸3,-

易知I加I=I初，a=B.

3

在△/勿中，tan£=,=6,

2

2tan£12

所以tanZZ¥34=—tan(a+£)=

tan2£—135,

1.已知锐角△力回的面积为3、/§,BC=4,CA=3,则角。的大小为

（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

2.在△/仇:中，若2sin/sin欣cos（8一心，则△/呢的形状是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

3.在△48C中，下列关系式①asin夕=6sin/；②a=AosC+ccos氏③

a~~\~If—c=2abcc）sC；④6=csin4+asinC一定成立的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.已知a,b,c分别是△四。的三个内角4,B,。所对的边,若（3=

1,b=p且8是/与。的等差中项，则sin/=.

5.在%中，a=#+l,b=\（3-l,c=y1iO,则4（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

6.在△/%中，B=~,三边长a,b,c成等差数列，且ac=6,则6

o

的值是（）

A.mB.V3C.洞.乘

7.在锐角△/阿中，角4B、C的对边分别为a、b、c,若（,+。2—

的tanB=/ac,则角8的值为（）

JIJIJTJI

A・谈•前••石

8.在△/%中，a,b,。分别是角/,B,。所对的边，若（电b—

c）cosA=acosC,贝!]cos力=（）

9.已知△/欧三边长分别为a,b,c且3+方一/=则。=

10.已知a,b,c分别是△/比'的三个内角4B,。所对的边，若才一

b2=\[3bc,sinC=2\[3sinB,贝!]A=.

11.△/回的三内角4B,。所对边长分别是a,b,c,设向量卬=（a

+b,sin。，/?=（y5a+c,sin3—sin/）,若勿〃〃，则角夕的大小为

_______•

12.（13分）设△/%的内角/、B、。所对的边分别为a、b、c,已知a

1

=

=1,b29cosC=1.

(1)求的周长；

(2)求cos(A—6)的值.

13.(12分)在△力回中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,且满足

csin4=acosC

(1)求角。的大小；

(\

(2)求45sin/—cos夕十♦的最大值，并求取得最大值时角力,歹的大

小.

1.C［解析］注意旋转的方向是顺时针方向，作出相应的图形，分析

可得正确选项为C.

2.B［解析］如图所示，从/处望8处和从8处望/处视线均为A8.而

a,£同为48与水平线所成的角，因此a=B.

3.C［解析］由4与夕不可到达，故不易测量a,£.

4.B［解析］利用余弦定理解易知N4/=120°.在△羽0中,

(1］

由余弦定理得/月+初一24?・atosl20°=2才一2才X—5=

3a2,AB=\［3akm.

5.C［解析］作出图形，由余弦定理有1+32—2X3XXCOS30°=3,

得•一3:才+6=0,解得x=［5或2m.

6.A［解析］解相关的两个直角三角形，和△比Z?（如图），可得

正确选项为A.

7.A［解析］如图所示，在中,

68X^3厂

:.MN=隹"=34人6,

海里/小时.

JL乙

8.A［解析］如图所示，△49C中，/ABC=75°-15°=60°,,：AB

=8C=1400,，/C=1400,即丙地到甲地距离为1400km,故应选A.

9.C［解析］根据正弦定理有4W62+/—A,由余弦定理可知才二万

+。2—26ccos/,所以If+c—2Z?CCOS24^!JC—be,即有cosA^~,所

乙

（JT1

以角力的取值范围为|o,yj,选C.

2

10.5小时［解析］如图，设经过方小时渔船和舰艇同时到达8处，此

O

即为舰艇到达渔船的最短时间.在△/笈中，。=45。+75°=120。，

0=10,CB=9t,AB=211.

由余弦定理（21力2=1。2+（9。2—2・10•92-cosl20°,即36度一9方一

95

10=0,解得力=鼻或一斤（舍）.

OJL乙

11.V13［解析］连接42则力。=5.在△NC9中，AD=3乖,AC=5,Z

DAC=45°,由余弦定理得。=而.

12.-［解析］1—2sin9—《cos0—^（1—cos（1—sin夕）=［

JI

当2。=R即9=7时，面积最大.

乙

'n）ACQ

13.6sin^+—+3［解析］在△加「中，由正弦定理得：丁丁）

I6JsinB,

2

化简得/C=2msin8,

=彳♦）］=向,化简得AB=2'\［3sin.3-B,

sinJi-B+—2）

-I3/2

所以三角形的周长为：

3+4C+/6=3+2/sin8+2#sin卓一8

JI

7

14.［解答］(l)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+

cos30°sin45°

1

=2X2+2X2—4°

224

(2):/。8=75。，N曲=45°,

，N4/=180°—/CAB—/CBA=60°,

ABBC

由正弦定理得:

sinAACBsinN6W

.J^sin75°

"BC=sin60°J

如图过点8作物垂直于对岸，垂足为〃,则劭的长就是该河段的宽

度.

BD

在Rt△劭。中，•:/BCD=/CBA=45°,sh\/BCD=~^

DC

A/6+A/2

10°X4

^sin75°。

:.BD=BCshA50.->sin45

sinorOno工乂2,

2

256+2镜503+■

(米).

33

才+62一d隹

15.［解答］(1)由步+5一/=也助，得

2ab2.

由余弦定理知cos、？'•.•'=石_・

(2)•.,勿=2cos'—sin8—1

乙

1+cos/

=2~T~sin[n-(4+0]—1

=cos/—sin(/+0=cos/—sinA~\~~

I6J

Ji□小1

=cosy4—sin/icos——cos^sin——cos/1—^-sin/4—-cos/4

b622

1A/3JIJIit

=-cos^--r-sinJ=cos^cos——sin^sin-=COST4+—

乙乙ooo

2JIJIJI

VO<J^—,yKJI.

ooo

(吟irn

；・一IWCOSZ+g<5,即为的取值范围是一1,2•

16.[解答]证明：在△力即中，

ZABP=180°—v+£,

N河=180°—(a—8)一/ABP

=180°—(。一0一(180°—v+£)

=y—a.

APAB

在中，根据正弦定理,得

sin/48PsinZW

AP-------a------,，”=-a--,-s-i-n----Y-—--8-

sin180°—•y+£siny—a'_siny—a

asinasinV—8

所以山高为h=APsix\a

siny—a

1.A［解析］由S=2(a—1)得a=2；由5=2(22-1)得色=4；由W

=2(a—1)得a=8.故选A.

2.B［解析］观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一

项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律可得第七个三角形

7X1-1-7

数是1+2+3+4+5+6+7=----7-----=28,故选B.

乙

3.C［解析］a9+&0=5)—W+So—iSg—Siu-&=9?-7-=32.故选C.

4.2"-1［解析］因为1=2—1,3=4—1=22-1,7=8—1=2,—1,15=

16—1=2"—1,…联想到2”,可以归纳出通项公式为a=2〃-1.

5.C［解析］原数列可写成或、巾、3近、…，可以看出根号内

的数是从5开始的奇数构成的数列，所以21=5+5—1)X2,所以〃

=9.故选C.

6.B［解析］当〃三2时，2=5—£-尸2〃一17,当〃=1时，4=—

15,满足上式，所以通项公式是％=2〃一17.因为6〈为<9,所以6〈2〃一

17<9,即11.5〈水13,又因为4WN*,所以上=12.故选B.

7.B［解析］该数列是单调递减数列，由a=20—4〃>0得〃<5,故

当〃>5时，aXO,所以S或£最大.故选B.

8.D［解析］观察4的倍数0,4,8,…的位置.由于2012是4的倍

数，故指向2012的箭头是一,从2012指出的箭头是(.故选D.

9.D［解析］因为品+2=1——1-—，

2+1a,,-1La”

1

=

a〃+3=1-a”

a〃+2

所以｛2｝是周期为3的周期数列.又a=2,4=1—4=1—；=

乙乙_L

2

—4,从而n3=11,

所以口2012=(—l)610X2X-=l.故选D.

乙

2122

10.［解析］若把5换成I，同时首项1换成5,规律就出现

IlIJLLJJL乙

了.

11.2［解析］因为&=£­W=40丁一13a=27ai=54,所以a=2.

12,63［解析］+］=yjn+1_yl~n,所以S=［〃+l—1,

当S,=7时，有d〃+l—l=7,所以〃=63.

13.448［解析］复制一次得圆总数为27个，其中空心圆的个数为6

个，要得到2013个圆，需先复制74次，再复制前15个圆即可，所以

空心圆的个数为74X6+4=448.

14.［解答］(1)由已知可得a〃+i=2a〃+1,所以4=2d+1=3,桀=24

+1=7,<31=2&+1=15.

(2)因为H〃+i=2a〃+1,所以可设(3〃+1+4=2(品+4)，得<2〃+1=2a+

4,所以4=1,

于是a,+i+l=2(a〃+l),所以数列3+1｝是等比数列，首项为2,公

比为2,

所以通项公式为a〃+l=2X2"T,即a=2〃-1.