叠加法-对一般动力荷载的反应1

第六章高等结构动力学对一般动力荷载的反响---叠加法§6.1无阻尼体系的Duhamel积分§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算§6.3有阻尼体系的反响第六章对一般动力荷载的反响—叠加法图6-1〔无阻尼〕Duhamel积分的推导结构承受图6-1所示任意的一般性荷裁p(t)，求解体系的反应。§6.1无阻尼体系的Duhamel积分§6.1无阻尼体系的Duhamel积分求解的思路：第六章中所述的短持续时间冲击作用下计算结构反响的近似分析方法，可以用作推导在一般动力荷载下计算反响的根底；t=τ时的荷载强度P〔τ〕，在dτ时间间隔内作用结构上，将产生荷载冲量p(τ)dτ。用方程(6-19)来计算结构对这个冲量的反响。无阻尼体系的Duhamel积分§6.1无阻尼体系的Duhamel积分对于有限持续时间的冲量来说，这种方法是近似的，但当荷载的持续时间趋于零时，它却是精确的;因此，在微分意义下dτ期间，荷载p(τ)所产生的反响恰为(对于t>τ)〔6-1〕dv(t)项表示在t>τ时程范围内微分冲击p(τ)dτ引起的自由振动反响的奉献，不是时间间隔dt内v的变化。§6.1无阻尼体系的Duhamel积分图6-1〔无阻尼〕Duhamel积分的推导整个荷载时程可以视作由一系列连续的短脉冲所组成，每一个脉冲将产生一个如方程〔6-1〕所示的微分反响。对于这个线性弹性体来说，那么总反响可将在荷载时程所产生的全部微分反响相加而获得，亦即对方程〔6-1〕进行积分：〔6-2〕§6.1无阻尼体系的Duhamel积分对问题的再认识数学上的积分问题；力学上，对冲量引起的自由振动影响的迭加原理应用。这样，Duhamel积分的应用条件是什么呢？§6.1无阻尼体系的Duhamel积分方程〔6-2〕一般称作无阻尼体系的Duhamel积分。它可用来计算任意形式的动力荷载p(t)作用下无阻尼单自由度体系的反响。但在荷载变化很不规那么时，计算必须利用数值积分来进行。〔6-3〕方程〔6-2〕也可写成如下形式

式中新的符号的定义如下〔6-4〕方程〔6-3〕称作卷积积分。计算任意荷裁作用下结构的反响时，利用这个积分可以获得整个时间域的反响。函数h(t-τ)一般称作单位脉冲反响〔这是对无阻尼体系定义的〕，因为它表示，在t=τ时，在一个单位大小的脉冲作用下，结构的反响。§6.1无阻尼体系的Duhamel积分不用说，在方程〔6-2〕中，必须假定在荷载开始作用时〔t=0时〕，结构处于静止状态。对于其它特定的初始条件：v(0)≠0和(0)≠0，这个解还必须加上一个附加自由振动反响。因此，一般情况下〔6-5〕§6.1无阻尼体系的Duhamel积分如果所施加的荷载函数是可积的，结构的动力反响可以用前面(6-2)或(6-5)式的积分来计算。在许多实际情况中，因为荷载仅由试验数据给出，此时反响就必须用数值的方法才能十算。注意到在这样的分析中，三角恒等式，和把方程(6-2)写成如下形式〔在零初始假定条件下〕将是有用的：〔6-10〕

或

其中〔6-11〕§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算

因此，要进行Duhamel积分的数值积分，必须进行积分和的数值计算。例如，苜先考察这两个积分中的第一个，其被积函数绘于图7-2中。为了数值计算的方便，计算等时间增量△τ的函数值，函数的相继值用相应的角标来区分。可将这些纵坐标乘以适当的加权系数然后相加而得到近似的积分值。以数学式子表达，即〔6-8*〕其中，而表示数值求和过程，其具体形式依赖于所利用的近以积分的序号。对于三种根本的近似方法，其求和方法如下进行：

简单求和法(ζ=1):〔6-9a*〕§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算图6-2Duhamel积分数值求和法的公式化梯形法那么(ζ=2):〔6-9b*〕§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算simpson法那么(ζ=3):〔6-9c*〕对于simpson法那么来说，式中必须是偶数。利用式(6-9*)中任何一个式子和式(6-8*)，可得到所考虑的特定时间t的积分的近似值。但是，一般来说，需要求整个反响过程而不只是求某特定时间的位移，换句话说，必须计算一系列相继时刻t1，t2，…的反响，其中两相邻时间之间的间隔为〔如用simpson法那么寸为2〕。为了得到全部的反响过程，把方程〔6-9*〕的求和表示成增量形式更为方便。§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算simpson法那么(ζ=3):〔6-10c*〕

简单求和法(ζ=1):〔6-10a*〕梯形法那么(ζ=2):〔6-10b*〕§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算简单求和梯形法那么Simpson法那么利用其中任意一个式子，都可以直接由多需N的任意具体值来获得。但是，通常是要求整个反响的时间历程，为此必须计算直到获得所期望反响时间历程的一系列N的值。为此，应用这些式子的如下递归形式更有效：无阻尼体系§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算简单求和梯形法那么Simpson法那么这里

§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算〔6-11*〕

项可用完全同样的方法来计算，即其中可以用与方程〔6-10*〕一样的表达式来计算，但用正弦函数代替余弦函数，将方程〔6-8*〕和〔6-11*〕代入方程〔6-10〕那么可导得无阻尼体系最后的反响方程：〔6-12*〕§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算例题E6-1为了说明Duhamel积分的数值计算，我们来计算一个承受冲击波的水塔的动力反响。结构和冲击波荷载的理想化模型示于图E6-1.图E6-1承受冲击波荷载的水塔§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算对于这个体系，振动频率和周期为：弧度/秒秒在数值积分中所用的时间增量为秒，其相应的自由振动角增量为弧度〔较长的增量大概也可获得同样满意的结果〕。计算的公式为：其中在这个无阻尼分析中，应用Simpson法那么求和，公式如下：

〔6-7*〕计算过程如下：〔6-9*〕〔6-6*〕§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算初值的选取：

由图6-1可知，当时，，当时，根据三角形比例关系，依次计算出相应的，从而得出相应的和的值。乘数=1〔6〕〔根据公式〔6-9*〕确定〕乘数=4〔6〕〔根据公式〔6-9*〕确定〕§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算乘数=1〔6〕〔根据公式〔6-9*〕确定〕〔三项之和〕〔两项之和〕乘数=1〔11〕〔根据公式〔6-9*〕确定〕乘数=4〔11〕〔根据公式〔6-9*〕确定〕乘数=1〔11〕〔根据公式〔6-9*〕确定〕§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算〔三项之和〕〔两项之和〕根据公式〔6-10〕K=2700千磅/英尺以时为例同理进行计算：§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算乘数=1当时当时乘数=1当时当时§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算根据公式〔6-10〕K=2700千磅/英尺§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算§6.2无阻尼体系Duhamel积分的数值计算表示有阻尼体系在一般动力荷载下的反响的Duhamel积分式，除了由微分荷载冲量所引起的自由振动反响按指数衰减外，其推导和无阻尼分析完全相同。因此，在方程〔2-49〕中令和使，得出〔6-12*〕其中指数衰减是在荷载作用时(时刻)就开始的。在整个荷载作用时间内对这些微分反响项求和，那么结果为这就是和方程(6-2)对应的有阻尼反响。〔6-14*〕§6.3有阻尼体系的反响§6.3有阻尼体系的反响把〔6-14*〕式和〔6-3〕式的卷积积分相比较可以看出，有阻尼体系对单位脉冲的反响由下式给出：〔6-15*〕为了对有阻尼体系反响作数值计算，可把方程〔6-14*〕改写成方程(6-10)的形式：

此时〔6-16*〕〔6-17*〕§6.3有阻尼体系的反响

这些积分可用前述增量求和的同样方法进行计算，只是运算中要考虑指数衰减。第一个积分由下式给出：〔6-18*〕

式中的求和，可用上面所讨论的各种方法表达如下：〔6-19a*〕〔6-19b*〕简单求和法〔ζ=1〕：梯形法那么〔ζ=2〕：§6.3有阻尼体系的反响〔6-19c*〕Simpson法那么〔ζ=3〕：

项由余弦项换上正弦函数而得的类似表达式给出。上述任何一种数值方法所得解的精度当然依赖于时间间隔的长短。一般来说，要能很好地确定荷载函数和三角函数，必须选取足够短的；根据一般的经验，时一般可得到满意的结果。精度和计算的工作量随着求和方法的序号而增加。一般来说，Simpson方法的精度高，因此虽然它的数值计算复杂，但仍为群众所采用。§6.3有阻尼体系的反响低临界阻尼体系其中与前面的无阻尼体系一样，这些积分表达式可以用增量求和的方法来计算，但是现在必须考虑阻尼产生