复变函数课后习题答案1-4

习题一答案

1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轨复数:

1i

(i)—(2)------------

3+2i(z-D(z-2)

13/

(3)--------(4)-Z8+4Z2,-Z

i1-z

,13-2/

解：⑴z=------=------

3+2z13

32

因此：Rez=一,Imz=

1313,

1232.

忖=~i=,argz=-arctan—,z=—I—

V1331313

—3+i

(2)Z-(z-l)(z-2)-l-3z-^0

31

因此,Rez=TImz=——

io510

1131.

旧=argz=九■一arctan-,z=---------

M'31010

i3-3/3-5/

(3)Z=一£=T+

i1-z22

3T5

因此，Rez=-,Imz=——,

32

5-3+5z

argz=-arctan—,z=-----

2

(4)z=—a+4产z=-l+4z-z=-l+3f

因此,Rez=-l,Imz=3,

|z|=V10,argz-7c-arctan3,z=-l-3z

2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式:

(2)-1+y[3i

(1)z(3)r(sin6+icos3)

(4)r(cos<9-zsin<9)(5)1-cosO+isin。(0<<9<2^)

71.

1.71..71—I

解：(1)i=cos——Fzsin—=e2

22

7171(--0)i

(3)r(sin0+icosO')=r[cos(--0)+isin(—-6)]=re2

(4)r(cos0-isin0)=r[cos(-^)+isin(-^)]=re~9'

(5)l-cosO+isin。=2sin2—+2zsin—cos—

222

=2sin|[cos71-0..71-33—i

--------f-zsin------]=2sin-^2

22

3.求下列各式的值:

(1)(A/3-Z)5⑵(l+z)l(,()+(l-z)100

(3)(1-V30(cos6+isin0)(cos5^?+zsin5^)2

(4)

(l-z)(cos^-zsin<9)(cos3(p-zsin3*

(5)y/i(6)Jl+i

解:(1)(A/3—z)5=[2(cos(—)+isin(—))]5

66

=25(cos(--)+zsin(-—))=-16(73+i)

66

(2)(1+z)100+(1-z)100=(2z)50+(-2z)50=-2(2)50=-251

(3)(1-V3z)(cos0+isin0)

(l-i)(cos8-isin。)

2[cos(--)+zsin(--)](cos^+isin0)

___________33________________

V2[cos(--)+isin(--)][cos(-^)+isin(-^)]

44

=V2[cos(-^-)+isin(--^-)](cos20+zsin2。)

=V2[cos(2^-y1)+zsin(26>-3)]=&J"、"

(cos5^?+/sin5^)2

(4)

(cos3^»-zsin3^?)3

cosIO。+isin100

=cos19^?+zsin19^?

cos(-90)+isin(-9^9)

(5)VF=}cos—+isin—

\22

-+k=0

22

1Ji1Ji

—cos(y++zsin—(—+Ikjr)=<+-i,k=\

22

—i,k=2

4、八1+'Z2=百一i,试用三角形式表示Z1Z2与4

.F

777，)7，儿

解：z1=cos—+zsin—,z2=2[cos(——)+zsin(--)],所以

'凡fL')1’)1兀.兀、

Z]Z2=2[cos(---)+zsin(---)]=2(cos1-zsin—),

1212

Z11r/兀]、.(冗冗=i(cos5万..5万、

一二Tfcos(-r+7)+1sin(—+—)]+1sin—)

Z2246462~n12

5.解下列方程：

(1)(z+i)5=l(2)z"+/=0(a>0)

解:(1)z+i=y/l,由此

Z=双一i=e/-i,(Z：=0,1,2,3,4)

(2)z=\j-a4=#/(cos-+isin兀)

=<a[cos—(^+2k/i)+zsin—(^+2k7r)],当k=0,1,2,3时，对应的4

个根分别为：灸(1+。

6.证明下列各题：(1)设z=%+iy,则困：)’1上归忖+

证明：首先，显然有闫=1丁<k|+|)，|；

其次，因x2+y2>2|x||y|,固此有

2(X2+/)>(|X|+|J|)2,

从而之瞎。

2

⑵对任意复数Z],Z2,有卜[+Z2『=|z『+|z2|+2Re(z,z2)

证明：验证即可，首先左端=(否+4)2+(/+%)、

而右端=x「+y「+々一+y12+2Re[(Xj+iy^)(x2—zy2)]

=%；+++%?+2(%]]2+以力)=(再+%2)2+(必+%了，

由此，左端=右端，即原式成立。

(3)若。+6是实系数代数方程《jz"+qz""+--+an_lz+a0=0

的一个根，那么。一次也是它的一个根。

证明：方程两端取共钝，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算

规则，z"=(z)",由此得到："o(z)"+。1。厂」+…+a“_]Z+4)=0

由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则£也是。结论得证。

(4)若同=1,则V。WQ,皆有"二2

1-ab

证明：根据已知条件，有4。=1,因此:

a-ba—ha—h1,,

——=——==--------===a,证毕。

1-abaa-aba(a-b)a

⑸若同<1,网<1,则有纥2<i

1111l-ab

证明：=(a-b)(a-b)=|«|2+网~-ab-ab,

1-ab=(1-ab)(l-ab)=1+同力『-ab-ab,

因为同<1,|Z?|<1,所以，

同2+时一同2时_]=(]_同2)(时_])<0,

।I9-2a—b

因而一曲，即——h<l,结论得证。

।।\-ab

1.设同41,试写出使，+。|达到最大的z的表达式，其中〃为正整数，a

为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有口+。闫z"|+|a归1+W，

在上面两个不等式都取等号时|z"+4达到最大，为此，需要取z”

与Q同向且z"=1，即z"应为[的单位化向量，由此，z〃=£，

14

8.试用Z1,Z2，Z3来表述使这二:个点共线的条件。

解：要使三点共线，那么用向量表示时，22—4与23—4应平行，因而二

者应同向或反向，即幅角应相差0或%的整数倍，再由复数的除法运算规

则知Arg亘二^应为。或〃的整数倍，至此得到：

Z3一哥

Z「Z2，Z3三个点共线的条件是三二幺为实数。

Z3—Z1

9.写出过Z1，Z2(Z|WZ2)两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：

x=x+t(x-x)

(121，

、＞=%+*乃-％)

因而，复参数方程为：

z=x+iy=xi+iyl+t(x2一再+iy2-iyi)=zi+t(z2-z1)

其中，为实参数。

10.下列参数方程表示什么曲线？(其中/为实参数)

(1)z=(l+z)；(2)z=acost+ibsint(3)z=t+-

t

解：只需化为实参数方程即可。

(1)x=t,y=t,因而表示直线丁=%

.一x2y2

(2)x=acost,y=bsint,因而表示椭圆一7+=1

a'b'

(3)x=t,y=-,因而表示双曲线孙=1

t

11.证明复平面上的圆周方程可表示为zz+(u,+az+c=0,

其中。为复常数，c为实常数

证明：圆周的实方程可表不为：x++Ax+By+c=0,

代入％=：土三，y=-~~并注意到Y+丁=|z『=zz,由此

22/11

—7+77—7

22z

-A—BiA+Bi—

整理，得zz+-----z+-----z+c=0

22

A_i_R；A_Ri_

记------=a,则-------=a,由此得到

22

zz+az+az+c=O,结论得证。

12.证明：幅角主值函数argz在原点及负实轴上不连续。

证明：首先，argz在原点无定义，因而不连续。

对于％o<O,由argz的定义不难看出，当z由实轴上方趋

于七时，argzf",而当z由实轴下方趋于玉）时，argz——"，由此

说明limargz不存在，因而argz在玉，点不连续，即在负实轴上不连续，

结论得证。

13.函数w=一把z平面上的曲线％=1和X?+丁=4分别映成W平面中

Z

的什么曲线？

解：对于％=1,其方程可表示为Z=l+yi，代入映射函数中，得

.11l-iy

w=u+iv=—=---=-------,

zl+iy1+y

1—y

因而映成的像曲线的方程为11=——7,v=—二，消去参数

1+/1+/

得

U2+V2=]1,=即（M—g）2+V2=（；）？，表示一个

圆周。

对于1?+,2=4,其方程可表示为

z=x+iy=2cos6+2isin。

代入映射函数中，得

.11cosO-isin。

w=u+tv=-=--------------=------------

z2cos。+2isin。2

因而映成的像曲线的方程为U=-COS0,v=--sin6>,消去参数。，

22

得2/+丫~=一,表不一半径为一的圆周。

42

14.指出下列各题中点z的轨迹或所表示的点集，并做图：

解：(1)|z-z0|=r(r＞0),说明动点到z()的距离为一常数，因而表

示圆心为z(),半径为r的圆周。

(2)是由到&)的距离大于或等于r的点构成的集合，即圆心

为Z。半径为r的圆周及圆周外部的点集。

(3)上一1|+上一3|=8,说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常

数，因而表示一个椭圆。代入z=%=»,化为实方程得

(%-2)2।/

=1

1615

(4)|z+i|=|z-i],说明动点到，和T的距离相等，因而是，和T连线的

垂直平分线，即入轴。

71

(5)arg(z-i)=一,幅角为一常数，因而表示以i为顶点的与％轴正向

4

71

夹角为一的射线。

4

15.做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连

通还是多连通。

(1)2＜同＜3,以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，

有界，多连通

(2)avargz〈力(0＜。＜/＜2〃)，顶点在原点，两条边的倾角

分别为a,〃的角形区域，无界，单连通

(3)三|〉1，显然zw2,并且原不等式等价于|z—3|〉|z—2],说

明Z到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3连线的垂直平

分线即％=2.5左边部分除掉％=2后的点构成的集合，是一无界，多连通

区域。

(4)卜-2卜上+2|〉1,

显然该区域的边界为双曲线上一2|-|z+2|=l,化为实方程为

4x2——y2=l,再注意到z到2与z到一2的距离之差大于1,因而不

15

等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。

(5)|z-l|<4|z+l|，代入z=x+iy，化为实不等式，得

178

(^+―)29+/?>(—)2?

1515

17Q

所以表示圆心为(一记,0)半径为百的圆周外部，是一无界多连通区域。

习题二答案

1.指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。

3c.11

⑴(Z—l)5(2)Z+2泛(3)——(4)z+-----

?+lz+3

解：根据函数的可导性法则(可导函数的和、差、积、商仍为可导函数,

商时分母不为0),根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式,

再注意到区域上可导一定解析，由此得到：

(1)々一1)5处处解析，解-1)5]'=5a—1)4

(2)3+2之处处解析,(z3+2izY=3z2+2i

1,

(3)——的奇点为2~+1=0，即z=±i，

z2+l

(11+1)'_-2z(,.x

?+1(?+1)2(?+1)2

(4)zH-----的奇点为z=-3,

z+3

=L，(ZW-3)

z+3(z+3)

2.判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。

(1)/(z)=xy2+x2yi(2)/(z)=x2+y2i

(3)/⑵=/-3移2+i(3dy-丁3)(4)/(z)=i

解：根据柯西一黎曼定理：

(1)u=xy2,v=x7~y,

22

ux=y,vy=x,uy=2xy,匕=2刈

四个一阶偏导数皆连续，因而〃)处处可微，再由柯西一黎曼方程

ux=vv,人=一匕解得：％=y=0,

因此，函数在z=0点可导，/,(0)=u+zvI=0,

“'/xx|2=o

函数处处不解析。

(2)ti—x,v—，

Ux=2x,vy=2y,uy=0,匕=0

四个一阶偏导数皆连续，因而〃加处处可微，再由柯西一黎曼方程

ux=vv,uv=-匕解得：x=y,

因此，函数在直线y=无上可导，

f'(x+ix)=ux+ivx\y=x=2x,

因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。

(3)u=x3-3xy2,v=3x2y-y3,

2222

ux=3x-3y,vy=3x-3y,uy=-6xy,vx=6xy

四个一阶偏导数皆连续；因而U,v处处可微，并且M,V处处满

足柯西一黎曼方程ux=vy,uy=-匕.

因此，函数处处可导,处处解析，且导数为

222

f'(z)=ux+ivx=3x-3y+i6xy=3z

x+iy

(4)/(z)===-----

zx-iyx2+yx2+y

-2xy

因函数的定义域为zwO,故此，“亦处处不满足柯西一黎曼方程，

因而函数处处不可导，处处不解析。

3.当/,加,八取何值时/(z)=my?l+nx2y+i(x?l+/孙？)在复平面上处

处解析？

解：u=my3+nx2y,v=x3+Ixy2

2222

ux=2nxy,vv=2lxy,uy=3my+nx,vx=3x+ly,

由柯西一黎曼方程得：

ux=2nxy=vv=2lxy,⑴

2222

uv=3my+nx==-3x-ly（2）

由（1）得n=l,由（2）得〃=一3,3m=-I,因而，最终有

m=1,H=/=-3

4.证明:若/⑶解析，则有（^|/a）l）2+（T-|/u）l）2=|/M2

oxoy

证明：由柯西一黎曼方程知，左端=（—y/u~+v~）~+（—yju~+v~）2

dxdy

22

/uur+vvy.2uu+vv（uu+vvr）+（wvv-vur）

___/_1A\L/.，J\J'八A/、八八，

A/W2+V27M2+V2/+y2

_/（%+匕）2+丫2（%+匕）2

|2

=（%+匕）2=Wx+i匕

.2,,2

U+V

=|/'（z）『=右端’证毕。

5.证明：若/（z）=〃+iv在区域D内解析，且满足下列条件之一,则/（Z）

在D内定为常数。

（1）/（Z）在D内解析，（2）〃在D内为常数，

（3）|/（Z）|在D内为常数，（4）V=U2（5）2u+3v=l

证明：关键证明〃〃的一阶偏导数皆为0!

（1）~f（zj=ii-iv,因其解析，故此由柯西一黎曼方程得

%=一0，%=匕---------------（1）

而由/（Z）的解析性，又有〃x=Vy，Uy=~VX---------------（2）

由（1）、（2）知，=匕=V、，三0,因此〃三V三。2,即

/（Z）三仇十比2为常数

（2）设M三《，那么由柯西一黎曼方程得

匕=~Uy~0，Uy=%二0，

说明y与％,y无关，因而v=c2,从而/（z）三q+比2为常数。

（3）由已知，|/々）「=/+丫2三分为常数，等式两端分别对％,＞求偏

导数，得

2uu+2vv=0

--(1)

2uuy+2vvy=0

因/(z)解析，所以又有ux=vy,uy=-vx---------------(2)

求解方程组(1)、(2),得"x="v=匕=Vy三0,说明孙丫皆与工,〉无

关，因而为常数，从而/(z)也为常数。

(4)同理，丫=/两端分别对求偏导数，得

V,.=2uu,v=2uu

入AryYjv

再联立柯西一黎曼方程人x=Vyv,Uy=-V人,仍有

%=%=匕=。三°

(5)同前面一样，2〃+3V=1两端分别对1,y求偏导数，得

2M+3v=0,2w+3v=0

人人yy

考虑到柯西一黎曼方程〃x=vy,uy=-v八,仍有

uA=uy=匕A=匕y三0,证毕。

6.计算下列各值(若是对数还需求出主值)

(1)e(2)(3)Ln(-3+4z)

2

(4)sinf(5)(1+i)'(6)27§

~—iTTTT

解:(1)e2=cos(--)+isin(--)=-i

(2)Ln(-z)=In|-z|+arg(-z)+2k/ri=(-—+2k)7ri,

k为任意整数,

主值为：=-^7ri

(3)Ln(-3+4z)=In|-3+4z|+arg(-3+4z)+2km

4

=In5+Qr-arctan§+24万)i,左为任意整数

4

主值为：ln(-3+4/)=In5+(〃-arctan—)i

/、..e

(4)sinz=—

2i2

i(lny/2+-i+2km)iln\!2---2ku

iLn(M}

(5)(1+iy=e=e44

71分,

------2k元j-/—

e4(coslnV2+zsinV2)k为任意整数

|(/"27+2M7)

_纥,27-ln27-km-k/ri

(6)273=e3e3=9(33

当女分别取0，1,2时得到3个值：

—ni9/-

9,9e3=——(1+V3/)

2

—zr19I-

9e3=-(-l+V3z)

22

7.求^^0Argez

解：废2=/2_y,2以，因此根据指数函数的定义，有

;2222

炉=e'_v,Arge，=2%y+2左万，(攵为任意整数)

8.设2=%冶，求Re比〃(z—l)]

解：Ln(z-1)=In|z-1|+z[arg(z-1)+2k/ri],因此

Re[L〃(z-1)]=ln|z-l|=In^/(rcos^-1)2+(rsin^)2

1

=—ln(l-2rcos^+r"?)

9.解下列方程：

,TC.

(1)e'=1+A/3Z(2)Inz=­/

2

(3)sin2+cos2=0(4)shz=i

z=LH(1+V3z)=In2+(g+2k)/ii

解：(1)方程两端取对数得:

(左为任意整数)

(2)根据对数与指数的关系，应有

M冗..兀.

z="=cos——Fzsin—=z

22

(3)由三角函数公式(同实三角函数一样)，方程可变形为

sinz+cosz=V2sin(z+?)=()

TC71

因此z+一=左肛即Z=k7l——，左为任意整数

44

炉—e~:

(4)由双曲函数的定义得shz=-------=i,解得

2

(ez)2-2iez-l=0,即/=i,所以

71

z=Lui=(5+2k兀)i,k为任意整数

10.证明罗比塔法则：若/⑶及g(z)在z0点解析，且

/(Zo)=g(Zo)=O,g'(Zo)wO,则lim44=fW，并由此求极

』g(z)g(Zo)

sinz].e:-l

限lim----;lim-----

zfozzfoz

证明：由商的极限运算法则及导数定义知

/⑵--%)⑶T(z°)

lim2=limz—7=+。z-Zo=广(z°),

zf%g(z)z-力g(z)-g(z())]加g(z)-g(z())g'(z())

z_Zo—Zoz_&)

,,,[.sinzcoszi

由止匕，lim--=lirm-------=1

zf0zzf0]

e7-1废0

rhm-----=lim—=e=1

zf()zz->01

11.用对数计算公式直接验证：

(1)Lnz1彳2Lnz(2)Lnyfz=—Lnz

2

解：记2=%”，则

(1)左端=Ln[r2e2ie)=21nr+(2。+2k兀)i,

右端=2[lnr+(0+=21nr+(2<9+4加万)i,

其中的左,也为任意整数。

显然，左端所包含的元素比右端的要多(如左端在上=1时的值为

21nr+(20+2〃)i,而右端却取不到这--值)，因此两端不相等。

0+2m7r.]Q

(2)左端=Zj?[4e2]=—Inr+(―+mn+2k7i)i

22

II0

右端=51lnr+(。+2/vr)i]=-Inr+(—+nzr)z

其中攵，〃为任意整数，而m=0,1

不难看出，对于左端任意的左，右端〃取2人或2%+1时与其对应；反

之，对于右端任意的〃，当〃=2/为偶数时，左端可取左=/，加=0于其

对应，而当〃=2/+1为奇数时，左端可取女=2/,加=1于其对应。综上

所述，左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。

12.证明sinz=sinz,cosz=cosz

证明：首先有

ez=ex(cosy+isiny)=ex(cosy-isiny)=ex~,y=ez,因此

——评

sinz=(—)=*

2i-2i-2i-2i

=sinz»第一式子证毕。

2z

同理可证第二式子也成立。

13.证明|lmz|〈卜inz|〈”n'd(即qsinz|〈e")

2z22

右端不等式得到证明。

其次，由复数的三角不等式又有

-y叫"

e\y\_e~\y\

sinz=---------->---------------=-----------

112/222

X_-x

根据高等数学中的单调性方法可以证明X20时二一>%,因此接着

2

e\y\_e~\y\

上面的证明，有卜inz|2—-—>|y|,左端不等式得到证明。

14.设证明卜inz归MR,|cosz\<chR

证明：由复数的三角不等式，有

sinz|=上《

12/

由已知，|M4|Z|<R,再主要到X20时c/zx单调增加，因此有

|sinz|<ch\y\<chR,

同理，

IIeiz+e-iz”+e-泛e、'+e>eTV+J"..

|cosz|=--一<---------------------=---------—=ch\y\<chR

2221•1

证毕。

15.已知平而流场的复势/（Z）为

(1)(z+i)2(2)(3)——

z+1

试求流动的速度及流线和等势线方程。

解：只需注意，若记/(z)=9(%,y)+i〃(x,y)，则

流场的流速为v=/'(z)，

流线为〃(％,y)三G,

等势线为9(x,y)三。2，

因此，有

(1)(z+i)2=[x+(y+l)z]2=x2-(y+1)2+2x(y+l)z

流速为v=/'(z)=2(z+i)=2(z-z)，

22

流线为X(y+l)三q,等势线为x-(y+1)=c2

(2)z3=(%+iy)3=x3-3xy2+(3x2^->,3)z

流速为v=/'(z)=3z2=3(z)2，

32

流线为3%2y->3三q,等势线为%-3xy=c2

111

(3)=----------------=----------------

z2+1(x+iy)~+1x~—y~+1+2xyz

x2-y2+1-2xyi

-y2+[)2+4%2y2

流速为v=/'(z)=—>2z-2z

(?+l)2

流线为

(x2-y2+l)2+4x2y2

x2-^2+1_

等势线为

(x2-y2+1)2+©2y2

习题三答案

1.计算积分J(%-y+及2)〃，其中c为从原点到1+i的直线段

c

解：积分曲线的方程为x=/,y=t,即

z=x+iy=t+ti,代入原积分表达式中，得

3y+ix2)dz=^(t-t+it2)(?+ti\dt

c

r1.2/1—\+i31—1+

=it(1+i)dt=-----r=----

小303

2.计算积分Je,dz，其中c为

(1)从0到1再到1+i的折线(2)从0至H+i的直线

解：(1)从。到1的线段q方程为：z=x+iy=x,

从1至Ul+i的线段方程为：z=x+iy=l+iy,

代入积分表达式中，得

Je'dz=Je'dz+je'dz=exdx+^e1+v,(l+yi\dy

cqc2

="0+eiI(cosy+zsiny)dy=e-l+ei(siny-icosy)|：

=e-l+ei(sin1-icos1+z)=e(cosl+zsinl)-l=e+,-1；

(2)从0到1+i的直线段的方程为z=%+iy=，+亿r：0f1,

代入积分表达式中，得

Je'dz=1/+"«+〃)'力=(1+i)je'(cost+isint)dt,

对上述积*应用分步积分法，得

ez(sinr+cosr)e'i(sint-cost)'

2+2

o

(cost+isint+sint-/cost)a(e"3)

00

l+ii

e°e—1

io

2

3.积分j(x+iy)dz,其中c为

(1)沿〉=%从0至Ul+i(2)沿y=/从o至ijl+j

解：(1)积分曲线的方程为z=%+»=/+〃，/:0—>1,

代入原积分表达式中，得

j(x2+iy)dz=j(产+it)Q+=(1+z)j(r+it)dt

=(l+i)g+f)=f|i

(2)积分曲线的方程为z=x+iy=x+x2i,r:0-»l,

代入积分表达式中，得

23

](丁+iy)dz=f(x2+ix1)(%+x2i)'dx=(1+i)^x+2xi)dx

Z1.、/215.

=(l+z)(-+-z)=--+-z

4.计算积分J|z|dz，其中c为

（1）从一1到+1的直线段（2）从一1到+1的圆心在原点的上半

圆周

解：（1）c的方程为2=%,代入，得

上|以=口*=21

xdx=1

（2）c的方程为z=%+iy=cose+isin。，。：乃90,代入，得

j]z[dz=^1•(cos0+isin0)'d0=j°(-sine+icos。)]®

c

=(cos8+isin8)，=2

1

5.估计积分二r一废的模，其中C为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。

上2+2

解：在C上，忖=1，因而由积分估计式得

6.用积分估计式证明：若/（Z）在整个复平面上有界，则正整数冏>1时

limp^dz=0

/?->+ooJz”

其中CR为圆心在原点半径为R的正向圆周。

证明：记则由积分估计式得

0<|J十s=*Jds

因〃〉1,因此上式两端令R->+oo取极限，由夹比定理，得

limp^dz=O,

证

RT+8J7”

CR4

毕。

7.通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分

曲线C皆为目=1。

rdzdz

(I)⑵J(3)

，(z+2)2z?+2z+4

c

rdz

⑷金(5)|ze:dz

;cosz

解：各积分的被积函数的奇点为：(1)z=-2,(2)(Z+1)2+3=0

即z=-l±J5i，(3)z=±42i(4)z=k;i+—,左为任意整数，

2

(5)被积函数处处解析，无奇点

不难看出，上述奇点的模皆大于1,即皆在积分曲线之外，从而在

积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为0。

8.计算下列积分：

n..

(1)Fe2zdz(2)fsin2zdz(3),)zsinzdz

JoJ-TTi

解：以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：

1-i1

(1)=-(e2-e0n)=-(i-l)

22

ni

产.2,rl-cos2z,「zsin2Z[

(2)sinzdz=--------az=[--------]

%224-ni

=Tri--sin27ri-{e~~n-eu)=(TT-—sh2兀)i

24z2

=-cosl+sinz|：=sin1-cos1

9.计算其中c为不经过±a的任-简单正向闭曲线。

z-a

解：被积函数的奇点为±。，根据其与c的位置分四种情况讨论：

(1)±。皆在c外，则在c内被积函数解析，因而由柯西基本定理

'z-a

(2)。在C内，一。在c外，则一--在C内解析，因而由柯西积分

z+a

1

公式：f-/Z~2=[^^^=2疝」一=-

；z-a-JZ-az+az=aa

（3）同理，当一”在c内，。在c外口寸，

1

n.

Z=-aa

（4）±。皆在C内

此时，在C内围绕。,一G分别做两条相互外离的小闭合曲线。了2，则由

复合闭路原理得：

注：此题若分解,】,='（」------L）,则更简单！

z-a2az-az+a

10.计算下列各积分

r1

解：（1）]----；--------dz,由柯西积分公式

#g；）（z+2）

1

f----7^----dz=f>+2血=2疝一!—=

M（z-；）（z+2）z+244+z

在积分曲线内被积函数只有一个奇点i,故此同上题一样:

rdz

（3）J--------——

N3a+w+4）

lzl=2

在积分曲线内被积函数有两个奇点土i,围绕i,T分别做两条相互

外离的小闭合曲线。,。2,则由复合闭路原理得：

11

dz但+4）G+，）以+f(i-%

(?+4)(?+1)z+i

=2洲-5--------+--------]=0

(Z2+4)(Z+，)ZT(?+4)a-0z_.

(4)[-f—dz,在积分曲线内被积函数只有一个奇点1,故此

J4-1

|z-2|=2%71

]

「z/r(z2+l)(z+l),0.1

%4—-7—1dz=4------Z---1----°dz=2兀(z2--+--l-)--(--Z-+--l--「

71.

—I

2

f1.n

(5)———sin—zdz，

J72-14

z=2Z1'

在积分曲线内被积函数有两个奇点±1,围绕1,-1分别做两条相

互外离的小闭合曲线C1,C2,则由复合闭路原理得：

1.71Z1.71Z

----sin————sin——

f1.71,

—；——sin—zaz=-—dz+[------dz

J2_i4z+1

|z|=2Z7142-1c；2

C•「1・兀4’1."Z

=2TTI[-----sin——H------sin——]=yflTri

z+l4曰Z—14z=-l

2n

(6)

3(Z-D"dz,八为正整数，由高阶导数公式

2n

rzd&2")("T)

心（Z-D"(D!

二2疝2限〃-1)./+21疝」^

(〃一1)!(H-1)!(H+1)!

1「ez

11.计算积分2力Jz(z-l)3dz，其中c为

(1)⑵卜-(3)|z|=2

解：（1）由柯西积分公式

1f