高中数学三角函数复习题3

9.【2013年山东省日照市高三模拟考试】已知函数丁=而以+/。>0)的图象如右图所

示，则函数y=log“(x+3的图象可能是()

已知函数f(x)=Asinsr+Bcosox(A、B、。是实常数，。>0)的最小正周期为2,并当

产;时,f(%)max=2.

(1)求/(X).

(2)在闭区间,史］上是否存在/(x)的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程;

44

如果不存在，请说明理由.

解：⑴f(x)=73sin兀x+cos兀x=2sin(冗x+巴).

(2)令五%+三=上n+巴,kGZ.

62

,,11「23

••x=k+—f—WZ+—W—.

3434

：.—^k^—.：.k=5.

1212

故在［0,空］上只有fG)的一条对称轴尸3.

443

14.(2012年高考(陕西文))函数/(x)=Asin«M—2TT)+1(A>0⑷>0)的最大值为3,其

6

TT

图像相邻两条对称轴之间的距离为一，

2

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)设ae(0,9TT，则差a0=2,求a的值.

【解析】(I)二.函数〃x)的最大值是3,.=4+1=3,即Z=2.

••・函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为乃，最小正周期T=〃，，0=2.

2

故函数/(x)的解析式为/(x)=2sin(2x--)+1.

6

(II)V/(1)=2sin(a—^)+1=2,§Psin(a-^)=y

••八兀.n7T7t7V7T71

・0<CK<——,••—<cc------<——，••ot----———,故a=——.

2663663

22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科】

设向量a=(百sin元,sin%),匕=(cos%,sinx)x£0,^.

(I)若同=|斗求舟J值；

(II)设函数/(尤)=。也求f(x)的最大值

［答案］(I)由|〃|=|b|可得,代入得3sin2x+sin2x=cos2x+sin2%

解得sin?x=-,又xw.，故sinx=-：x=2

4*226

(II)由/(x)==Wsinxcosx+sin2x=sin2x+——={2xcoscos2xsin-^-4--

a^b；'sn

=sin(2x--)+l,当xe［0.2］时，-?£2x-二4二万，

62「2」666

当2xJ=1即x=g时,sin(2x--)=1最大，此时/(x)31ax=1

LA

24.2012年高考(山东理))已知向量根=(S111%,1),〃=(\/34以%了,—852%)(4>0),函数

3

/(x)=mn的最大值为6.

(I)求A;

TT

(II)将函数y=/(x)的图象，向左平移三个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为

154

原来的:倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在［0,考］上的值域.

解：(I)f(x)=mn=^3Acosxsinx+—cos2x=——Jsin2r+—cos2r=^4sin2x+—,

222V6j

则幺=6；

(n)函数y=f(x)的图冢像左平移个单位得到函数y=6sin[2(x+$+*的图氮

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的；倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=6sin(4x+..

当xe。刍时,4x+[e咚,?],sin(4x+枭e[-ll],g(x)e[-3,6].

2433632

故函数g(x)在[0,3]上的值域为[-3：6].

24

TT7T

另解:由g(x)=6sin(4x+y)可得gr(x)=24cos(4x+y),令gr(x)=0.,

TTTT_57TTT

则4%+§=上产+5(左67),而工6[0,五],则％=五，

于是g(0)=6sin—=3杷:g(—)=6sin—=6:g(—)=6sin=-3,

3242246

故-3Wg(x)W6,即函数g(x)在[0,二5乃]上的值域为[-3,6].

24

30【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】

已知函数/(%)=-V2sin+6sinxcosx-2cos2x+1,xeR.

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(%)在区间0,|上的最大值和最小值.

【答案】(I)f(x)=—\/2sin2x-cos——^2cos2x-sin-+3sin2x-cos2x

44

=/(x)=2sin2x—2cos2x=25/2sin(2x——),

4

所以/(x)的最小正周期为T=a=万.

(H)因为/(x)在区间［0s—］上是噌函数，在区间［乂,-］上是减函数，

882

又/(0)=2J(当=也心=2,

故函数f(x)在区间0,|上的最大值为20,最小值为一2

21.【2013年河南省十所名校高三第三次联考试题】

兀

已知函数f(x)=cos(2x——)+sin2x—cos2x.

(I)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；

(II)设函数g(x)=[f(x)]2+f(x),求g(X)的值域.

解：(I)/(x)=-cos2x+也sin2x—cos2x

(3分)

的最小正周期为兀，由2%一三=女「二，丘二，得A什r二左eZ,

6223

二函数图冢的对称轴方程为％=幺+2承。一................................(6分)

23

(II)g(x)=[/(X)]*+/(x)=sin：+sin

当碗,一野二一3时，蛉)取得最小值—L

当sin；2x-3J=1时,g(x)取得最大值2,

所以g(x)的值域为一2,2............................................

(12分)

4

23.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】(本小题满分12分)

已知定义域为R的函数/(x)=Asin(0x+e)(4>O,0>O)的-一段图象如图所示.

⑴求/(x)的解析式；

(2)若j?(x)=cos3x./»(x)=,求函数〃(x)的单调递增区间.

解：(1):T=4(：一些)="，・.0=学=3--・/(尸'zsin(3x＜二•点(22)在图象上，.二2sin(3x2+8)

1小sin(«+一),1，1•"+―■+-(七eZ)■0s・2fcr♦一

442、

故/(戈)=2sin(3jr+j).(6分)

(2)A(x)*2sin(3x-f-^-)cos3x=2(sin3xcosy+*.sJxsir：,8s3x=；x(sinSxcos3x+cos:3x)

■—(sin6x4-cos6x+t)-sn(6x4-.由4H-546•,二/far+-(keZ)得函数h(x)的电调递冷区

2422.2

K*eZ).(12分)

38324

jrTT

11.已知函数於)=Asin(cwx+9)(其中xGR,A＞0,①＞0,—/＜夕＜])的部分图象如

图所示.

y

1

O2

一1

(1)求A,co,s的值；

(2)已知在函数兀x)的图象上的三点M,N,P的横坐标分别为一1,1,3,求sinZ

MNP的值.

1.已知函数/(x)=sinx-sin(x+])—6cos?(3万+力+万也(xe7?).

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求/(x)的单调递增区间；

(3)求/(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标.

c

的),/、1•c°s2x+1,1T

解：f(x)=—sin2x—yn/3------------1—y/3/

222

—sin2x--cos2x|-sin(2x----)

[22J3

(1)T=n；

77'JI'JI

(2)由一,+2%万＜21一耳＜5+2%乃(女£z)

JI5

可得单调增区间伏〃----,k兀+一乃］(Awz).

1212

(3)由2x—2=生+左左得对称轴方程为x='+包伙ez),

32122

由2x——=k兀得对称中心坐标为(—I——,0)(Z;ez)

2已知向量。=(一1,35。¥+65111公。〃=(/(元),©05691)，其中切>0,且Q_LZ?,又

3

/(X)的图像两相邻对称轴间距为1乃.

(I)求。的值;

(II)求函数/(用在［—2肛21］上的单调减区间.

解：(I)由题意。为=0

/.f(x)=cosGX(COScox+6sincox)

1+cos2coxgsin2口尢

=------------------------1------------------------

22

=—+sin(269x+—)

26

由题意，函数周期为3万，又①>0,.•.(y=1；

3

17T

(II)由(I)知/(x)=；+sin(宁+£)

…7171,八,3〃，

2k兀H—W---1—W2女乃H---,kwz

2362

71

...3k7r+-<x<3kn+Zi,kwz

又X«—24,2句，/(x)的减区间是［—2巴一句W，2万.

3、在AABC中，aS、c,分别为角A、B、C的对边，且满足〃+C?一片=庆.

(I)求角A的值；

(U)若。=百，设角B的大小为x,AABC的周长为y,求y=/(x)的最大值.

〃2+2_21

解：(I)在AABC中，由〃+c2-/=0c及余弦定理得cosA=----------=-

2bc2

7T

而0<A<〃，则4=生；

3

(II)由a=J5,A=工及正弦定理得上一_c_a_\[3_

3sinBsinCsinA73

2

27r27r27r

而8=x,C=『-x,则b=2sin%,c=2sin(--x)(0<x<-)

于是y=a+b+c=6+2sinx+2sin(--x)=2A/3sin(尤+工)+6,

36

工八2%,口乃乃5%

由0cx<—得一vx+—〈——,当"+?=彳即X=9时，丫2=3日

3666oZJ

I-XXX

6、已知向量印=(A/3sin—,1),n=(cos—,cos?一)。

444

27r

(1)m*n=l,求cos(-------x)的值；

3

(II)记f(x)=m・n,在aABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,

且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围。

&力/、A•%x2x

解：(I)m•n=V3sin—cos—+cos"—

444

V3,x1x1

二——sin—+—cos—+—

22222

Vm-n=l

...sin(—i—)——————————————————————4„

262

cos(x+—)=l-2sin2(—+—)

326

~2

/./冗、1..

cos(——x)=—cos(x+—)=——-------------------6分

(II)*/(2a-c)cosB=bcosC

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC----------------7分

2sinAcosB-sinCcosB=sinficosC

/.2sinAcosB=sin(B+C)

*.*A+B+C=7i

：.sin(B+C)=sinA,且sinAwO

171

cosB=—,B---------------------8分

23

0<.A<-------------------9分

3

7CA7T71\.A八八

・u・一<—I—<一<sm(—I—)<1t----------------10分

6262226

又[(x)=m・n=sin(—+—)+—,

262

■/A7C]

/.f(A)=sin(—i—)H----------------11分

262

3

故函数f(A)的取值范围是(1,一)------------12分

2

7、在AABC中，a,",c分别是NA,/B,NC的对边长，已知J^sinC=J3cosA.

(I)若a?—c?=〃一mbcf求实数机的值；

(II)若。=6,求AABC面积的最大值.

解：(I)由J5sinA=J3cosA两边平方得:2sin*2A=3cosA

即(2cosA-l)(cosA+2)=0

解得：cosA.......................................3分

2

ffija2—c2=b2一加儿?可以变形为"----=—

2bc2

m1

即cosA=—=—，所以m=1..................................6分

22

1V3

(II)由(I)知cosA=—，则sin4=J..................................7分

22

2

所以=+c—Q?>2/?C-6Z2BPbe<a2...................................10分

2

cbe.Aay/3373八

故SMBC=—sinA<---------=.........12分

2224

8、已知AABC中，角A、B、C的对边分别为〃、b、c,且满足（2a-c）cos3=0cosC

（I）求角B大小；

（ID设加=（sin=,求•〃的最小值.

解：⑴由正弦定理急=品=岛=2心有a=2RsinA,b=2Rsin8,c=2RsinC.

代人（2a—c）cosB=6cosc，得（2sinA—sinOcosB=sinBcosC....................4分

即2sinAcosB=sinBcosCH-sinCcosB=sin（B+C）.

.VA4-B4-C=K,/.2sinAcosB=sin人....................6分

「0VAVn,；・siaA#0.

AcosB=........................................7分

V0<B<K,/.B=y.........................................8分

（口）m・nsinA+1,............................10分

由B=得A€（0,算..............11分

所以，当A=5时,取得最小值为0.............................12分

9、在AA8OK角4,8,C的对边分别为i,b,c,已知sinB,且a,。,c•成等比数歹U。