北京市第101中学2024届数学高一下期末达标检测试题含解析

北京市第101中学2024届数学高一下期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式恒成立，若数列满足，且，则的值为（）A．4037 B．4038 C．4027 D．40282．若将函数的图象向左平移个最小周期后，所得图象对应的函数为（）A． B．C． D．3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积，弧田（如图所示）由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是（）（）A．16平方米 B．18平方米C．20平方米 D．24平方米4．若，则下列结论成立的是（）A． B．C．的最小值为2 D．5．已知点在第三象限，则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知的顶点坐标为，，，则边上的中线的长为（）A． B． C． D．7．把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度（）．A． B． C． D．8．已知、都是公差不为0的等差数列，且，，则的值为（）A．2 B．-1 C．1 D．不存在9．已知函数的图像关于直线对称，则可能取值是().A． B． C． D．10．已知，，，则实数、、的大小关系是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．方程的解=__________．12．已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，下列命题中正确的是______.（写出全部正确命题的序号）（1）等比数列单调递增的充要条件是，且；（2）数列：，，，……，也是等比数列；（3）；（4）点在函数（，为常数，且，）的图像上.13．_____14．己知函数，有以下结论：①的图象关于直线轴对称②在区间上单调递减③的一个对称中心是④的最大值为则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.15．已知角终边经过点，则__________.16．如图,货轮在海上以的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行.为了确定船位,在点B观察灯塔A的方位角是120°,航行半小时后到达C点,观察灯塔A的方位角是75°,则货轮到达C点时与灯塔A的距离为______nmile三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足，.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18．某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的125%．（1）求第n年该设备的维修费的表达式；（2）设，若万元，则该设备继续使用，否则须在第n年对设备更新，求在第几年必须对该设备进行更新？19．已知圆C过点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点（2，3）的直线被圆C所截得的弦的长是，求直线的方程．20．为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为、、、、、、.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和中位数的估计值；（3）在月平均用电量为的四组用户中，采用分层抽样的方法抽取户居民，则应从月用电量在居民中抽取多少户？21．的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求的面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由，对任意的实数，等式恒成立，且，得到an+1＝an+2，由等差数列的定义求得结果．【题目详解】∵，∴f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，∵f（x）•f（y）＝f（x+y）恒成立，∴令x＝﹣1，y＝0，则f（﹣1）•f（0）＝f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（﹣1）≠0，则f（0）＝1，则f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，等价为f（an+1）f（﹣2﹣an）＝f（0），即f（an+1﹣2﹣an）＝f（0），则an+1﹣2﹣an＝0，∴an+1﹣an＝2.∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，首项a1＝f（0）＝1，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴＝2×2019﹣1＝4037.故选：A【题目点拨】本题主要考查数列与函数的综合运用，根据抽象函数的关系结合等差数列的通项公式建立方程是解决本题的关键，属于中档题．2、B【解题分析】

首先判断函数的周期，再利用“左加右减自变量，上加下减常数项”解题．【题目详解】函数的最小正周期为,函数的图象向左平移个最小正周期即平移个单位后，所得图象对应的函数为,即.故选：B.【题目点拨】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，根据“左加右减”进行平移变换即可，对横坐标进行平移变换注意系数ω即可，属于基础题.3、C【解题分析】分析：根据已知数据分别计算弦和矢的长度，再按照弧田面积经验公式计算，即可得到答案.详解：由题可知，半径，圆心角，弦长：，弦心距：，所以矢长为.按照弧田面积经验公式得，面积故选C.点睛：本题考查弓形面积以及古典数学的应用问题，考查学生对题意的理解和计算能力.4、D【解题分析】

由，根据不等式乘方性质可判断A不成立；由指数函数单调性可判断B不成立；由基本不等式可判断C不成立，D成立．【题目详解】对于A,若，则有，故A不成立；对于B,根据指数函数单调性，函数单调递减，，故B不成立；对于C,由基本不等式，a=b取得最小值，由不能取得最小值，故C不成立；则D能成立.故选：D.【题目点拨】本题考查基本不等式、不等式的基本性质，考查不等式性质的应用，属于基础题.5、B【解题分析】

根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.【题目详解】因为点在第三象限，则，，所以，则可知角的终边在第二象限.故选：B.【题目点拨】本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：.6、D【解题分析】

利用中点坐标公式求得，再利用两点间距离公式求得结果.【题目详解】由，可得中点又本题正确选项：【题目点拨】本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标.7、B【解题分析】

根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角。【题目详解】解析：由题意，设切线为，∴.∴或.∴时转动最小．∴最小正角为.故选B.【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。8、C【解题分析】

首先根据求出数列、公差之间的关系，再代入即可。【题目详解】因为和都是公差不为零的等差数列，所以设故，可得又因为和代入则．故选：C．【题目点拨】本题主要考查了极限的问题以及等差数列的通项属于基础题。9、D【解题分析】

根据正弦型函数的对称性，可以得到一个等式，结合四个选项选出正确答案.【题目详解】因为函数的图像关于直线对称，所以有，当时，，故本题选D.【题目点拨】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了数学运算能力.10、B【解题分析】

将bc化简为最简形式，再利用单调性比较大小。【题目详解】因为在单调递增所以【题目点拨】本题考查利用的单调性判断大小，属于基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-1【解题分析】分析：由对数方程，转化为指数方程，解方程即可.详解：由log2（1﹣2x）=﹣1可得（1﹣2x）=，解方程可求可得，x=﹣1故答案为:﹣1点睛：本题主要考查了对数方程的求解，解题中要善于利用对数与指数的转化，属于基础题.12、（3）【解题分析】

根据递增数列的概念，以及等比数列的通项公式，充分条件与必要条件的概念，可判断（1）；令，为偶数，可判断（2）；根据等比数列的性质，直接计算，可判断（3）；令，结合题意，可判断（4），进而可得出结果.【题目详解】（1）若等比数列单调递增，则，所以或，故且不是等比数列单调递增的充要条件；（1）错；（2）若，为偶数，则，，因等比数列中的项不为，故此时数列，，，……，不成等比数列；（2）错；（3），所以（3）正确；（4）若，则，若点在函数的图像上，则，因，，故不能对任意恒成立；故（4）错.故答案为：（3）【题目点拨】本题主要考命题真假的判定，熟记等比数列的性质，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.13、【解题分析】

将写成，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为，利用二倍角公式可变为，由可化简求得结果.【题目详解】本题正确结果：【题目点拨】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.14、②④【解题分析】

根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.【题目详解】，根据图像知：①的图象关于直线轴对称，错误②在区间上单调递减，正确③的一个对称中心是，错误④的最大值为，正确故答案为②④【题目点拨】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.15、4【解题分析】

根据任意角的三角函数的定义，结合同角三角函数的基本关系求解即可．【题目详解】因为角终边经过点，所以，因此.故答案为：4【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．16、【解题分析】

通过方位角定义，求出，，利用正弦定理即可得到答案.【题目详解】根据题意，可知,,，因此可得，由正弦定理得：，求得，即答案为.【题目点拨】本题主要考查正弦定理的实际应用，难度不大.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由知：，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）bn=|11﹣2n|，设数列{11﹣2n}的前n项和为Tn，则．当n≤5时，Sn=Tn；当n≥6时，Sn=2S5﹣Tn．【题目详解】（1）证明：由知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.则，.（2），设数列前项和为，则，当时，；当时，；所以.【题目点拨】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18、(1)(2)第9年【解题分析】

（1）将数列分为两部分，分别利用等差数列和等比数列公式得到答案.（2）当时，恒成立，当时，，判断是递增数列，计算,得到答案.【题目详解】（1）当时，数列是首项为20，公差为4的等差数列，；当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又所以.因此第n年该设备的维修费的表达式因此为(2)设数列的前项和为，由等差及等比的求和公式得：当时，，此时恒成立，即该设备继续使用；当时，，此时因为，即所以是递增数列，又,故在第9年必须对该设备进行更新.【题目点拨】本题考查了数列的应用，意在考查学生利用数列知识解决问题的能力和应用能力.19、（1）；（2）或.【解题分析】

（1）设圆心,由两点间的距离及圆心在直线上，列出方程组，求解即可求出圆心坐标，进而求出半径，写出圆的方程（2）由的长是，求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在求解.【题目详解】（1）设圆C的标准方程为依题意可得：解得，半径.∴圆C的标准方程为；（2）,∴圆心到直线m的距离①直线斜率不存在时，直线m方程为：；②直线m斜率存在时，设直线m为.,解得∴直线m的方程为∴直线m的方程为或.【题目点拨】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.20、（1）；（2）众数为度，中位数为度；（3）户.【解题分析】

（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，可得出该城市所有居民月平均用电量的众数，利用中位数左边的矩形面积之和为可求得该城市所有居民月平均用电量的中位数；（3）计算出月用电量在的用户在月平均用电量为的用户中所占的比例，乘以可得出结果.【题目详解】（1）因为，所以；（2）月平均用电量众数的估计值为度，，故中位数，所以，，解得，故月平均用电量中位数的估计值为度；（3）月均用电量在、、、的用户分别为户、户、户、户，其中，月均用电量为的用户在月平均用电量为的用户中所占的比例为，所