第8课 平面解析几何（二） 2023年新高考数学一轮复习强化小练（2019人教版）（含解析）

平面解析几何（二）

2023年新高考数学一轮复习强化小练

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（共48分）

1.（本题8分）（2022•全国♦模拟预测（文））如图，正方体ABCD-ABCR的棱长为

26，点。为棱AA上一点，点尸在底面ABCD上，且|PQ|=2。，点M为线段PQ的

中点，则线段CM长度的最小值是（）

C.2D.6

2.（本题8分）（2022・四川广安•模拟预测（理））己知。为坐标原点，F是抛物线

>2=4》的焦点，尸为抛物线上一点，且NPO/=30。，则|尸耳=（）

A.11B.12C.13D.14

3.（本题8分）（2022•上海•模拟预测）设集合C={（x,y）（xM）2+（y-r『=4k|«ez}

①存在直线/,使得集合。中不存在点在/上，而存在点在/两侧；②存在直线/,使得

集合。中存在无数点在/上：（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

4.（本题8分）（2022•新疆•三模（理））已知双曲线C:：-*=l（a>0,6>0）的左、右焦

点分别为环，F?,过点6且斜率为一3五的直线与双曲线在第二象限交于点A,M为

45的中点，且耐一赤2=0,则双曲线。的渐近线方程是（）

A.y=±y/3xB.y=±^—x

3

125

C.y=±—xD.y=±—x

5.（本题8分）（2019•陕西榆林・高考模拟（理））如图所示，月,F?是双曲线C：

»心。，…）的左、右焦点，过后的直线与C的左、右两支分别交于A,B

两点.若|月用：忸巴卜|AE|=3：4：5,则双曲线的离心率为（）

A.2

B.屈

C.V13

D.6

6.（本题8分）（2022•全国•模拟预测（文））入射光线由点45,2名）出发，沿x轴反方

向射向抛物线C：丁=4》上一点尸，反射光线尸。与抛物线C交于点Q,则的值

为（）

二、填空题（共16分）

7.（本题8分）（2022•全国♦模拟预测（文））设点是。C：V+y2=i上的动

点，点Q（孙％）是直线/：2x+3y-6=0上的动点，记力=4-4|+回一%|，则%?

的最小值是.

8.体题8分）（2022•四川内江•模拟预测（文））若双曲线/一工=1上存在两个点关

3

于直线/：y=；x+r对称，则实数f的取值范围为.

三、解答题（共36分）

22

9.（本题18分）（2022•全国•模拟预测（文））已知椭圆3+2=1伍＞人＞0）的

ab~

左、右焦点分别为《，尸2,离心率为巫，A为椭圆上的动点.当点A与椭圆E的上

2

顶点重合时，|丽+蕊卜2.

(1)求E的方程；

(2)当点A为椭圆E的左顶点时，过点A的直线(斜率不为0)与椭圆的另外一个交点

为8,A8的中点为P,过点。且平行于A3的直线与直线x=4交于点。.试问：

心片心。是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.

10.(本题18分)(2022・四川成都•模拟预测(理))平面直角坐标系中，椭圆

h铲=1(“">0)的焦距为2n，过焦点的最短弦长为播.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)斜率为g的直线与椭圆交于4B两点，尸为椭圆上异于48的点，求的面积

的最大值.

参考答案：

1.B

【分析】根据给定条件，确定点M所在的轨形迹图，再利用该图形的性质即可求解作答.

【详解】依题意，正方体ABCO-ABCIR，当点P与A不重合时，AQLAP,如图，

因点〃为线段PQ的中点，则AM=gpQ=75,当点P与A重合时，AM=；PQ=^,

即无论点P,Q如何运动，总有AM=6,因此，点M的在以点4为球心名为半径的球面

上，

而AG=26x石=6,所以线段GM长度的最小值是6=6一8.

故选：B

【点睛】结论点睛：球面一点与球面上的点间距离最小值等于这一点与球心距离减球半

径；球面一点与球面上的点间距离最大值等于这一点与球心距离加球半径，

2.C

【分析】由/POP=30。可得直线0P方程，与抛物线联立解出尸点坐标，利用|PF|=x+5

即可得出结果.

【详解】由NP"=30。可得直线。P方程为丫=¥、，

，遮A

由〃-3解得：x=12或x=0（舍）

j2=4x

7

所以，|PF|=12+/=13

故选：C.

3.B

【分析】根据圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系一一判断即可；

答案第1页，共8页

【详解】解：若①成立，则相邻两圆外离，

不妨设相邻两圆方程为（X-幻2+3-公）2=4网，圆心为化&2）,半径｛=2炳,

（x-）t-l）2+（y-（^+l）2）2=4|A:+l|,圆心为（&+1,（&+1月，半径2二2^71],

则小+3+1）2>2（炳+师（）

当&=4时（屈了一[2（2+逐）J=82-36-16石=—>0,

即J1+（2Z+1）2>2丽+1%+1|）成立,所以结论①成立；

\tnk-k1

对于②，设直线/的方程为"如+乙则圆心依,*）到直线/的距离1=+4

\l\+m2

当A-»oo时d-咋二1>2.=「，

Jl+疗

所以直线/只能与有限个圆相交，所以结论②不成立；

故选：B

4.A

【分析】依题意可得tan/A£K=—3旧，即可求出cosN4£f；,再由即可得

到|明|=|耳段=2,由余弦定理求出|伍即可得到加=c,再根据。2=/+廿，即可得

到“、匕的关系，即可得解;

/allsinZAFF,

【详解】解：由L=3/7r-,即tan/A和7折r-又2的用=嬴能,且

sin2ZAF；^+cos2ZAF；^=1,

解得cosZA£g=-）或cosNA£E=：（舍去）,

88

由与且可为A鸟的中点,知|*|=|耳闾=2c,

答案第2页，共8页

".\AF^=3c,'.2a=\AF^-\AF^=c,又/=储+从，

:.b=Ka,，渐近线方程为y=±Gx.

故选：A

5.C

【分析】不妨令|相|=3,忸闾=4,|A司=5,根据双曲线的定义可求得a=l,

/AB5=90,再利用勾股定理可求得4c2=52,从而可求得双曲线的离心率.

【详解】：|A则即斗|A司=345,不妨令]理=3,忸闻=4,|A4=5,

222

|+陋|=|AF21,ZABF2=90,

又由双曲线的定义得：|mH叫1=2”，|A6HA司=2%

.1A4|+3—4=5-|4耳|,用=3.

.11防H5司=3+3-4=2〃，\a=1.

在RtA%g中，忸用『=|跖『+1BF]|2=62+42=52,

答案第3页，共8页

XI^|2=4C2,.-.4c2=52,.-.c=Vi3.

•・•双曲线的离心率0=£=而.

a

故选;c

6.B

【分析】根据抛物线的光学性质，结合抛物线的焦点弦公式求解即可

【详解】易得P的纵坐标为26，代入丁=4.丫可得P（3,2g）.根据抛物线的光学性质可

得，因为入射光线由点A（5,26）出发，沿x轴反方向射向抛物线，故反射光线尸。经过抛

物线丁=好的焦点尸（1,0）,故PQ的斜率为毡=6.设网否,另）,。（々,必），则直线PQ的

3—1

方程为y=G（x—1）,联立y2=4x可得3——10x+3=0,故归。|=再+々+2=g+2=g

故选：B

【分析】设尸（8$区411。）,046<2兀，将心”转化成探求线段PQ长最值问题求解作答.

【详解】依题意，设P（cosasin9）,0“<27r,显然圆C与直线/相离,

LPQ=I芭一九21+|必一%|=一%）2+（凹-%）2+2,一/回一必|

2

=7|P<?|+2|x1-x2||y1-y2|>\PQ\,当且仅当一%卜。时取“=”，

2

当1%一司=0时，％2=X=cose,y2=2--cos0,=sin<9,

.2

Sin69=—

2「确定,

陷7-sin（e+e）-2,其中锐角0由，

COS67=—7=

V13

此时|叫=2一半sin(6+夕)22-平,当且仅当sin(6»+s)=l时取

3

当|，1一%|=0时，y2=y】=sine,x2=3--sin0,x,=cos6^,

2

sin。=

3

-―X,sin（6»+0）-3,其中锐角夕由，q确定,

COS。=

答案第4页，共8页

此时|尸。|=3-半sin（。+0）23-半，当且仅当sin（6+协=1时取“=”，

显然3-平＞2-半，因此，当?一引%-%|=。时，I尸QI,“而=2-半，则

=2-*^，

所以（e的最小值是2-姮.

3

故答案为：2-姮

3

【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动

与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.

8."4或

【分析】设对称的两点为A（&y）,双天,％），直线48的方程为y=-2x+b与双曲线联立

可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求AB的中点M（x。,%）,利用判别式A＞0以

及"（七,%）在直线y=；x+f上即可求解.

【详解】设双曲线存在关于直线y=；x+r对称的两点为A（"J,3（"2），

根据对称性可知线段A8被直线y=；x+r垂直平分，

且A8的中点在直线y=；x+r上，且原8=-2,

故可设直线AB的方程为y=-2x+b,

y=-2x+b

联立方程2y2，整理可得4法+从+3=0,

3

%+/=4〃,y+y2=2b_2（X1+电）=-6〃，

由△=16。2-4伊+3）＞0,可得二＞1或bv-1,

^匕，%="^=_3b,

•；A8的中点加（2〃,一33在直线y=Jx+f上，

-3b=b+t9可得f=-4〃，［＞4或fvT.

故答案为：r＞4或fvT.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用直线A3与直线y=；x+f垂直可得直线A3的

答案第5页，共8页

斜率为-2,可设直线AB的方程为y=-2x+b,代入双曲线可得关于x的一元二次方程,

利用判别式△>(),可以求出b的范围，利用韦达定理可得的中点加(天,为)再代入

y=+f即可t与b的关系，即可求解.

9.⑴上+y2=i；

4

4+6.

13

【分析】(1)由|而+而卜2求出6,再结合离心率列式计算a即可作答.

(2)设出直线A8的方程，与椭圆E的方程联立，再求出点P,。的坐标，利用斜率坐标

公式计算作答.

(1)

设椭圆E的半焦距为c,点£(-c,0),6(c,0),而40,6),则函+而=(0,_»)，

即有2b=2,解得。=1,又离心率e，解得a=2,

aaVa22

■)

所以椭圆E的方程为三+V=1.

4

(2)

由(1)知A(-2,0),6(6,0),显然直线A8不垂直于坐标轴，设直线A3：x=ty-2,

，工0,

由｛RM消去'并整理得"+4)匕2。，解得点衅弓,白)，则点

P(-三,白),

r+4r+4

4

直线OQ//AB,则直线。。方程为：％=点。(4,一),直线入。的斜率

4

k_1_4

^-4-73-(4-V3)r

直线0p的斜率%=[,因此,自人。=一：舄斤=一+=一喈,

所以•心。=-土域是定值•

答案第6页，共8页

【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）

建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关

系.

10.(1)—+^-=1

82

⑵3指

【分析】（1）由条件列方程求。，。，c,可得椭圆方程；（2）设直线A3的方程为卜=—X+"7,

2

利用设而不求法求出△P43的面积的解析式，再求其最值.

（1）

2c=2瓜

2力2

由题意得—=41n/=8方=2,

a

a2-h2=c2

故椭圆的标准方程为《+.=1;

82

⑵

设直线A8的方程为丫=!》+根，则

■*2^>x2+2mx+2m2-4=0,,

I

y=—x+m

I2

D=16-4川>0?2<m<2,设4（办，乂）,8区，必），

[xi+x2=-2m

2

[x{x2=2m-4

\AB\=V16-4/n2?=6?74m2,

当一2〈帆40时，

当尸到AB的距离最大时