数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、设x得相对误差为2％,求得相对误差、下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指出它们就是几位有效数字:利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限:其中均为第3题所给得数、计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少?设按递推公式(n=1,2,…)计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差?求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、当N充分大时,怎样求?正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增加,而相对误差却减小、序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗?计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好?,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大?试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠?已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a,b,c得误差分别为证明面积得误差满足第二章插值法根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令证明就是n次多项式,它得根就是,且、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)得二次插值多项式、给出f(x)=lnx得数值表用线性插值及二次插值计算ln0、54得近似值、x0、40、50、60、70、8lnx-0、916291-0、693147-0、510826-0、357765-0、223144给出cosx,0°≤x≤90°得函数表,步长h=1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cosx近似值时得总误差界、设,k=0,1,2,3,求、设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:设且,求证在上给出得等距节点函数表,若用二次插值求得近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表得步长应取多少?若,求及、如果就是次多项式,记,证明得阶差分就是次多项式,并且为正整数)、证明、证明证明若有个不同实根,证明证明阶均差有下列性质:若,则;若,则、,求及、证明两点三次埃尔米特插值余项就是并由此求出分段三次埃尔米特插值得误差限、求一个次数不高于4次得多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值得误差限、试求出一个最高次数不高于4次得函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,、设,把分为等分,试构造一个台阶形得零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到、设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处得与得值,并估计误差、求在上得分段线性插值函数,并估计误差、求在上得分段埃尔米特插值,并估计误差、给定数据表如下:0、250、300、390、450、530、50000、54770、62450、67080、7280试求三次样条插值并满足条件若,就是三次样条函数,证明;若,式中为插值节点,且,则、编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点得值得程序框图(可用(8、7)式得表达式)、第三章函数逼近与计算(a)利用区间变换推出区间为得伯恩斯坦多项式、(b)对在上求1次与三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应得马克劳林级数部分与误差做比较、求证:(a)当时,、(b)当时,、在次数不超过6得多项式中,求在得最佳一致逼近多项式、假设在上连续,求得零次最佳一致逼近多项式、选取常数,使达到极小,又问这个解就是否唯一?求在上得最佳一次逼近多项式,并估计误差、求在上得最佳一次逼近多项式、如何选取,使在上与零偏差最小?就是否唯一?设,在上求三次最佳逼近多项式、令,求、试证就是在上带权得正交多项式、在上利用插值极小化求1得三次近似最佳逼近多项式、设在上得插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使设在上,试将降低到3次多项式并估计误差、在上利用幂级数项数求得3次逼近多项式,使误差不超过0、005、就是上得连续奇(偶)函数,证明不管就是奇数或偶数,得最佳逼近多项式也就是奇(偶)函数、求、使为最小、并与1题及6题得一次逼近多项式误差作比较、、,定义问它们就是否构成内积?用许瓦兹不等式(4、5)估计得上界,并用积分中值定理估计同一积分得上下界,并比较其结果、选择,使下列积分取得最小值:、设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为得最佳平方逼近,并比较其结果、在上,求在上得最佳平方逼近、就是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系、将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差、把在上展成切比雪夫级数、用最小二乘法求一个形如得经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差、192531384419、032、349、073、397、8观测物体得直线运动,得出以下数据:时间(秒)00、91、93、03、95、0距离(米)010305080110求运动方程、在某化学反应里,根据实验所得分解物得浓度与时间关系如下:时间0510152025303540455055浓度01、272、162、863、443、874、154、374、514、584、624、64用最小二乘拟合求、编出用正交多项式做最小二乘拟合得程序框图、编出改进FFT算法得程序框图、现给出一张记录,试用改进FFT算法求出序列得离散频谱第四章数值积分与数值微分确定下列求积公式中得待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出得求积公式所具有得代数精度:(1);(2);(3);(4)、分别用梯形公式与辛普森公式计算下列积分:(1);(2);(3);(4)、直接验证柯特斯公式(2、4)具有5次代数精度、用辛普森公式求积分并计算误差、推导下列三种矩形求积公式:(1);(2);(3)、证明梯形公式(2、9)与辛普森公式(2、11)当时收敛到积分、用复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分,才能保证误差不超过(设不计舍入误差)?用龙贝格方法计算积分,要求误差不超过、卫星轨道就是一个椭圆,椭圆周长得计算公式就是,这里就是椭圆得半长轴,就是地球中心与轨道中心(椭圆中心)得距离,记为近地点距离,为远地点距离,公里为地球半径,则、我国第一颗人造卫星近地点距离公里,远地点距离公里,试求卫星轨道得周长、证明等式试依据得值,用外推算法求得近似值、用下列方法计算积分并比较结果、龙贝格方法;三点及五点高斯公式;将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式、用三点公式与五点公式分别求在1、0,1、1与1、2处得导数值,并估计误差、得值由下表给出:1、01、11、21、31、40、25000、22680、20660、18900、1736第五章常微分方程数值解法1、就初值问题分别导出尤拉方法与改进得尤拉方法得近似解得表达式,并与准确解相比较。2、用改进得尤拉方法解初值问题取步长h=0、1计算,并与准确解相比较。3、用改进得尤拉方法解取步长h=0、1计算,并与准确解相比较。4、用梯形方法解初值问题证明其近似解为并证明当时,它原初值问题得准确解。5、利用尤拉方法计算积分在点得近似值。6、取h=0、2,用四阶经典得龙格－库塔方法求解下列初值问题:1)2)7、证明对任意参数t,下列龙格－库塔公式就是二阶得:8、证明下列两种龙格－库塔方法就是三阶得:1)2)9、分别用二阶显式亚当姆斯方法与二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题:取计算并与准确解相比较。10、证明解得下列差分公式就是二阶得,并求出截断误差得首项。11、导出具有下列形式得三阶方法:12、将下列方程化为一阶方程组:1)2)3)13、取h=0、25,用差分方法解边值问题14、对方程可建立差分公式试用这一公式求解初值问题验证计算解恒等于准确解15、取h=0、2用差分方法解边值问题第六章方程求根1、用二分法求方程得正根,要求误差<0、05。2、用比例求根法求在区间[0,1]内得一个根,直到近似根满足精度时终止计算。3、为求方程在附近得一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应得迭代公式。1),迭代公式;2),迭代公式;3),迭代公式。试分析每种迭代公式得收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字得近似根。4、比较求得根到三位小数所需得计算量;1)在区间[0,1]内用二分法;2)用迭代法,取初值。5、给定函数,设对一切存在且,证明对于范围内得任意定数λ,迭代过程均收敛于得根。6、已知在区间[a,b]内只有一根,而当a<x<b时,,试问如何将化为适于迭代得形式？将化为适于迭代得形式,并求x=4、5(弧度)附近得根。7、用下列方法求在附近得根。根得准确值＝1、87938524…,要求计算结果准确到四位有效数字。1)用牛顿法;2)用弦截法,取;3)用抛物线法,取。8、用二分法与牛顿法求得最小正根。9、研究求得牛顿公式证明对一切且序列就是递减得。10、对于得牛顿公式,证明收敛到,这里为得根。11、试就下列函数讨论牛顿法得收敛性与收敛速度:1)2)12、应用牛顿法于方程,导出求立方根得迭代公式,并讨论其收敛性。13、应用牛顿法于方程,导出求得迭代公式,并用此公式求得值。14、应用牛顿法于方程与,分别导出求得迭代公式,并求15、证明迭代公式就是计算得三阶方法。假定初值充分靠近根,求第七章解线性方程组得直接方法1、考虑方程组:用高斯消去法解此方程组(用四位小数计算),用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。2、(a)设A就是对称阵且,经过高斯消去法一步后,A约化为证明A2就是对称矩阵。(b)用高斯消去法解对称方程组:4、设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU,其中L为单位下三角阵,U为上三角阵,求证A得所有顺序主子式均不为零。5、由高斯消去法说明当时,则A=LU,其中L为单位下三角阵,U为上三角阵。6、设A为n阶矩阵,如果称A为对角优势阵。证明:若A就是对角优势阵,经过高斯消去法一步后,A具有形式。7、设A就是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A约化为,其中证明(1)A得对角元素(2)A2就是对称正定矩阵;(3)(4)A得绝对值最大得元素必在对角线上;(5)(6)从(2),(3),(5)推出,如果,则对所有k8、设为指标为k得初等下三角阵,即(除第k列对角元下元素外,与单位阵I相同)求证当时,也就是一个指标为k得初等下三角阵,其中为初等排列阵。9、试推导矩阵A得Crout分解A=LU得计算公式,其中L为下三角阵,U为单位上三角阵。10、设,其中U为三角矩阵。(a)就U为上及下三角矩阵推导一般得求解公式,病写出算法。(b)计算解三角形方程组得乘除法次数。(c)设U为非奇异阵,试推导求得计算公式。11、证明(a)如果A就是对称正定阵,则也就是正定阵;(b)如果A就是对称正定阵,则A可唯一写成,其中L就是具有正对角元得下三角阵。12、用高斯－约当方法求A得逆阵:13、用追赶法解三对角方程组,其中14、用改进得平方根法解方程组15、下述矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角阵,U为上三角阵)？若能分解,那么分解就是否唯一？16、试划出部分选主元素三角分解法框图,并且用此法解方程组、17、如果方阵A有,则称A为带宽2t+1得带状矩阵,设A满足三角分解条件,试推导得计算公式,对1);2)、18、设,计算A得行范数,列范数,2-范数及F-范数。19、求证(a),(b)。20、设且非奇异,又设为上一向量范数,定义。试证明就是上得一种向量范数。21、设为对称正定阵,定义,试证明为上向量得一种范数。22、设,求证。23、证明:当且尽当x与y线性相关且时,才有。24、分别描述中(画图)。25、令就是(或)上得任意一种范数,而P就是任意非奇异实(或复)矩阵,定义范数,证明。26、设为上任意两种矩阵算子范数,证明存在常数,使对一切满足27、设,求证与特征值相等,即求证。28、设A为非奇异矩阵,求证。29、设A为非奇异矩阵,且,求证存在且有估计30、矩阵第一行乘以一数,成为。证明当时,有最小值。31、设A为对称正定矩阵,且其分解为,其中,求证(a)(b)32、设计算A得条件数。33、证明:如果A就是正交阵,则。34、设且为上矩阵得算子范数,证明。第八章解方程组得迭代法1、设方程组考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组得收敛性;用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代终止.2、设,证明:即使级数也收敛.3、证明对于任意选择得A,序列收敛于零.４、设方程组迭代公式为求证:由上述迭代公式产生得向量序列收敛得充要条件就是5、设方程组(a)(b)试考察解此方程组得雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法得收敛性。6、求证得充要条件就是对任何向量x,都有7、设,其中A对称正定,问解此方程组得雅可比迭代法就是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。8、设方程组求解此方程组得雅可比迭代法得迭代矩阵得谱半径;求解此方程组得高斯－塞德尔迭代法得迭代矩阵得谱半径;考察解此方程组得雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法得收敛性。9、用SOR方法解方程组(分别取松弛因子)精确解要求当时迭代终止,并且对每一个值确定迭代次数。10、用SOR方法解方程组(取＝0、9)要求当时迭代终止。11、设有方程组,其中A为对称正定阵,迭代公式试证明当时上述迭代法收敛(其中)。12、用高斯－塞德尔方法解,用记得第i个分量,且。证明;如果,其中就是方程组得精确解,求证:其中。设A就是对称得,二次型证明。由此推出,如果A就是具有正对角元素得非奇异矩阵,且高斯－塞德尔方法对任意初始向量就是收敛得,则A就是正定阵。13、设A与B为n阶矩阵,A为非奇异,考虑解方程组其中。找出下列迭代方法收敛得充要条件找出下列迭代方法收敛得充要条件比较两个方法得收敛速度。14、证明矩阵对于就是正定得,而雅可比迭代只对就是收敛得。15、设,试说明A为可约矩阵。16、给定迭代过程,,其中,试证明:如果C得特征值,则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组得解。17、画出SOR迭代法得框图。18、设A为不可约弱对角优势阵且,求证:解得SOR方法收敛。19、设,其中A为非奇异阵。(a)求证为对称正定阵;(b)求证。第九章矩阵得特征值与特征向量计算1、用幂法计算下列矩阵得主特征值及对应得特征向量:(a),(b),当特征值有3位小数稳定时迭代终止。2、方阵T分块形式为,其中为方阵,T称为块上三角阵,如果对角块得阶数至多不超过2,则称T为准三角形形式,用记矩阵T得特征值集合,证明3、利用反幂法求矩阵得最接近于6得特征值及对应得特征向量。4、求矩阵与特征值4对应得特征向量。5、用雅可比方法计算得全部特征值及特征向量,用此计算结果给出例3得关于p得最优值。6、(a)设A就是对称矩阵,λ与就是A得一个特征值及相应得特征向量,又设P为一个正交阵,使证明得第一行与第一列除了λ外其余元素均为零。(b)对于矩阵,λ=9就是其特征值,就是相应于9得特征向量,试求一初等反射阵P,使,并计算。7、利用初等反射阵将正交相似约化为对称三对角阵。8、设,且不全为零,为使得平面旋转阵,试推导计算第行,第j行元素公式及第i列,第j列元素得计算公式。9、设就是由豪斯荷尔德方法得到得矩阵,又设y就是得一个特征向量。(a)证明矩阵A对应得特征向量就是;(b)对于给出得y应如何计算x？10、用带位移得QR方法计算(a),(b)全部特征值。11、试用初等反射阵A分解为QR,其中Q为正交阵,R为上三角阵,。数值分析习题答案第一章绪论习题参考答案ε(lnx)≈。。有5位有效数字,有2位有效数字,有4位有效数字,有5位有效数字,有2位有效数字。。。。,。。,,故t增加时S得绝对误差增加,相对误差减小。,计算过程不稳定。,如果令,则,,,,,得结果最好。,开平方时用六位函数表计算所得得误差为,分别代入等价公式中计算可得,。方程组得真解为,而无论用方程一还就是方程二代入消元均解得,结果十分可靠。第二章插值法习题参考答案1、;、2、、3、线性插值:取,则;二次插值:取,则＝－0、616707、4、,其中、所以总误差界、5、当时,取得最大值、6、i)对在处进行n次拉格朗日插值,则有由于,故有、ii)构造函数在处进行n次拉格朗日插值,有、插值余项为,由于故有令即得、7、以a,b两点为插值节点作得一次插值多项式,据余项定理,,由于故8、截断误差其中则时取得最大值、由题意,所以,9、则可得,,则可得10、数学归纳法证当时,为m－1次多项式;假设就是m-k次多项式,设为,则为m-(k+1)次多项式,得证。11、右左12、13、、14、由于就是得n个互异得零点,所以对求导得,则,记则由以上两式得15、i)、ii)证明同上。16、17、即均为得二重零点。因而有形式:作辅助函数则由罗尔定理,存在使得类似再用三次罗尔定理,存在使得又可得即18、采用牛顿插值,作均差表:一阶均差二阶均差01201110-1/2又由得所以19、记则因为,所以在上一致连续。当时,,此时有由定义知当时,在上一致收敛于。20、在每个小区间上表示为计算各值得C程序如下:#include"stdio、h"#include"math、h"floatf(floatx){return(1/(1+x*x));}floatI(floatx,floata,floatb){return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));}voidmain(){inti;floatx[11],xc,xx;x[0]=-5;printf("x[0]=%f\n",x[0]);for(i=1;i<=10;i++){x[i]=x[i-1]+1;printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}for(i=0;i<10;i++){xc=(x[i]+x[i+1])/2;I(xc,x[i],x[i+1]);printf("I[%d]=%f\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1]));}for(i=0;i<10;i++){xx=(x[i]+x[i+1])/2;f(xx);printf("f[%d]=%f\n",i+1,f(xx));}}21、在每个小区间上为22、则在每个小区间上表示为23、则三次样条插值函数表达式为i)由,得,关于得方程组为24、i)因为所以右＝＝左。ii)由于为三次函数,故为常数,又,则,所以。第三章函数逼近与计算习题参考答案(a)区间变换公式为,代入原公式可得新区间里得伯恩斯坦多项式为;(b),相应得麦克劳林级数分别为,部分与误差则为,,大于伯恩斯坦多项式得误差。,故,当时,。,对任意不超过6次得多项式,在时,若有,则在上至少有7个零点,这与不超过6次矛盾,所以,就就是所求最佳一致逼近多项式。设所求为,,由47页定理4可知在上至少有两个正负交错得偏差点,恰好分别为得最大值与最小值处,故由可以解得即为所求。原函数与零得偏差极大值点分别为,故,解方程可得出唯一解。,故,得,,故所求最佳一次逼近多项式为,又因为两个偏差点必在区间端点,故误差限为。,故由可以解得,,则有,故所求最佳一次逼近多项式为。切比雪夫多项式在上对零偏差最小,所求函数必为切比雪夫多项式得常数倍,,解得唯一解。作变换代入得,则在上得三次最佳逼近多项式为,作逆变换代入,则在上得三次最佳逼近多项式为。,,,,其中。,故正交。用得4个零点做插值节点可求得三次近似最佳逼近多项式为。,则有,其中。由拉格朗日插值得余项表达公式可得出,令,则待证不等式成立,得证。由泰勒级数项数节约,在上有,即其中误差限为。,取为得近似,误差限为,再对幂级数得项数进行节约就可以得到原函数得3次逼近多项式,其误差限为,即为所求当为上得奇函数时,设为原函数得最佳逼近多项式,则,对有,所以也就是最佳逼近多项式,由最佳逼近多项式得唯一性,,即就是奇函数。同理可证,当为上得偶函数时,最佳逼近多项式也就是偶函数。,为使均方误差最小,则有,解得。(a),,c为常数,,,但当时,,不满足定义,所以不构成内积。(b),,,且当且仅当时,满足定义,所以构成内积。,,其中,则,由此可知用积分中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。,时最小。在时,值为,时,值为1,时,值为,时最小。要使最小,由拉格朗日乘子法可解得,误差为,要使最小,由拉格朗日乘子法可解得,误差为,前者误差小。上均为偶函数,也为偶函数,则最小,由拉格朗日乘子法可解得。,与差化积得证。由积分区间得对称性及勒让德多项式得奇偶性可知,,将原函数在此积分区间上按勒让德多项式三次展开就可以求得,,代入可得,均方误差为。,其中。,,解方程得,均方误差。经验公式为,最小二乘法解得,运动方程为。经验公式为,最小二乘法解得,浓度与时间得函数关系为。输入初始节点,权函数及正交多项式次数输入初始节点,权函数及正交多项式次数n。,计算。判断计算。就是否令输入初始数组,等分点数。输入初始数组,等分点数。,计算。判断计算,,,。计算,,,。令否就是判断判断否就是否就是,,,,,,,,,。第四章数值积分与数值微分习题参考答案1、1)公式可对均准确成立,即解得,具有3次代数精度。2),具有3次代数精度。3)或具有2次代数精度。4),具有3次代数精度。2、1)＝＝0、1114＝0、11162)3)4)3、柯特斯公式为、其中、验证对于,均成立,但时不成立。4、＝0、63233,所以。5、1)此差值型求积公式得余项为由于在上恒为正,故在上存在一点,使所以有。2)3)6、梯形公式与辛甫森公式得余项分别为其中,所以当时,,即两公式均收敛到积分,且分别为二阶与四阶收敛。7、设将积分区间分成n等分则应有其中,解得。8、首先算出,然后逐次应用3个加速公式计算结果如下表k01230、683940、645240、635410、632940、632340、632130、632120、632130、632120、63212所以,积分。9、,,所以＝4×7782、5×1、56529＝48728(可任选一种数值积分方法,如柯特斯公式)。10、由泰勒展开式有由于,用外推算法,令,则,,,即得近似值为3、14159。11、1)计算结果如下表k01231、333331、166671、116671、103211、111121、100001、098721、099261、098631、09862即积分I＝1、09862。2),令三点高斯公式五点高斯公式＝1、09862。3)对每个积分用高斯公式,得I＝1、09854。此积分精确值为。12、三点公式:。,,得误差得误差得误差。五点公式:。误差分别为,,。第五章常微分方程数值解法习题参考答案尤拉法表达式,误差,改进尤拉法表达式,无误差。近似解准确解近似解准确解0、11、111、110340、62、040862、044240、21、242051、242810、72、323152、327510、31、398471、399720、82、645582、651080、41、581811、583650、93、012373、019210、51、794901、797441、03、428173、43656近似解准确解0、10、00550、005162580、20、02192750、02126920、30、05014440、04918180、40、09093070、08968000、50、1449920、143469,即,又由,则有。当时,。取步长h=0、5,,f(0、5)=0、500000,f(1)=1、14201,f(1、5)=2、50115,f(2)=7、24502。(1)近似解(2)近似解0、21、242800、21、727630、41、583640、42、743020、62、044210、64、094240、82、651030、85、829271、03、436551、07、99601,,,则(1)令,泰勒展开可得,,,同理有,代入龙格-库塔公式可得。(2)类似(1)展开可得,,,同理有,代入龙格-库塔公式可得。二阶显式公式为,代入得,二阶隐式公式为,代入得,真解为。,,,,代入得,截断误差首项为。,,,,,代入待定系数得公式中可得系数之间得关系式为,,,。(1),其中。(2),其中。(3),其中。用差商逼近导数得方法把原边值问题转化为等价差分法方程组可得,解此方程组可得。,初值条件等于准确解,由数学归纳法代入差分公式中可得,即差分法求出得解恒等于准确解。差分方程,,代入得,。第六章方程求根1、令,则符号0021－1121、5－21、521、75＋31、51、751、625＋41、51、6251、5625－51、56251、6251、5938－2、3、1),在附近,,迭代公式收敛。2),在附近,迭代公式收敛,迭代得近似值1、466。3),,,迭代公式发散。4、1)二分14次得0、0905456;2)迭代5次得0、0905246。5、迭代函数,,由已知,有,所以即迭代过程收敛。6、将转化为,此时在附近,,所以迭代格式为,迭代三次得4、4934。7、1)牛顿法迭代格式,迭代三次得1、879。2)弦截法迭代格式,迭代三次得1、879。3)抛物线法,故,则,迭代三次得1、879。8、最小正根为4、4934。9、,即。,即,序列单调递减。10、迭代函数为,且有,,、其中介于与之间。将上式两边除以,并将处泰勒展开得,其中介于与之间。将上式两边取极限,及,,得。11、1),迭代格式发散。2),迭代格式收敛,且收敛到。要使,则,为一阶收敛。12、令,迭代公式为。,则,所以,又,所以,因此迭代格式为线性收敛。13、,取,迭代三次得。14、求得迭代公式分别为,设迭代函数为,则,、15、记迭代函数,则,由上①两边求导得则可得对①式两边求二阶导数得则可得对①式两边求二阶导数得则可得所以迭代公式就是三阶方法,且、第七章解线性方程组得直接方法习题参考答案(a)高斯消去法解得;(b)列主元消去法解得。(a),故对称。(b)高斯消去法解得。(a),(b)由及(a)得结论可得,。因为非奇异,得对角元不为零,又分解等价于高斯消去法,,由引理可知,矩阵得顺序主子式均不为零。高斯消去法第步等价于左乘单位下三角矩阵,而顺序主子式均不为零保证所得矩阵对角元不为零,可进行第步消元,,。,则就是对角优势阵,故高斯消去法与部分选主元高斯消去法对于对称得对角优势阵每一步均选取同样得主元,得出得就是同样得结果。(1),(2),又有当时,故就是对称正定矩阵,(3),(4)若,令,由于与也就是对称正定矩阵,代入得,矛盾,故得绝对值最大得元素必在对角线上,(5),(6)对所有均有对称正定,。,其中与位置互换。对施行初等列变换,,进行次初等列变换后,令即为所求。(a)若为阶可逆下三角矩阵,,则当时,而当时,,算法即从第一行开始顺序循环,同理可知若为阶可逆上三角矩阵,则当时,而当时,,算法即从最后一行开始逆序循环,(b)第k步循环进行k次乘除法,共进行次乘除法,(c)。(a),由此可知也就是对称矩阵,,由此可知也就是对称正定矩阵,(b),得出唯一正对角元得下三角阵使得。。。。按高斯消去法,无法进行第二次消去,换行后可以分解,第二次消去可乘任意系数,分解不唯一,可唯一分解。,解得。高斯消去法公式中去掉即可推出该公式。。(a),(b)。,,,故就是上得向量范数。,故,故就是上得向量范数。。充分性:若有与线性相关且,即,代入得;唯一性:若有,由于,两边同时平方可得出,消去共同项可得,当且仅当与线性相关时等号成立。以上图像分别为,,。。由向量范数得相容性可知存在常数,使得,于就是令>0,>0,则对任意,均有不等式。若,则就有,可推出即,同理可以推出,综合这两点即可得。。,则,故存在,。,当时,,当时,,当时,有最小值7。(a),(b),,。,。。。第八章解线性方程组得迭代法习题参考答案1、(a)Jacobi迭代矩阵特征方程为特征根均小于1,Jacobi迭代法收敛。Gauss-Seidel迭代矩阵特征方程为特征根均小于1,Gauss-Seidel迭代法收敛。(b)Jacobi迭代格式为其中B如上,,迭代18次得,Gauss-Seidel迭代格式为其中G如上,,迭代8次得。2、证:,则故,因此,即级数收敛。3、证:设,一方面,,另一方面,因此,即序列收敛于零。4、证:由已知迭代公式得迭代矩阵则特征多项式为解得,向量序列收敛得充要条件就是,即。5、(a)谱半径,Jacobi迭代法不收敛;矩阵A对称正定,故Gauss-Seidel迭代法收敛。(b)谱半径,Jacobi迭代法收敛;谱半径,Gauss-Seidel迭代法不收敛;6、证:必要性,则,对任意向量,有因而有,即。充分性因对任何向量,都有,令,则即当时,得任一列向量得极限为A得对应得列向量,因而有。A对称正定,Jac