高中数学-函数y=Asin(w+φ)的图象教学设计学情分析教材分析课后反思

§1.5函数y=Asin（wx+6）的图象

高一数学

【教材分析】

本节课的主要内容是通过图象变换，揭示参数6、3、A变化时对函数图象

的形状和位置的影响，讨论函数y=Asin（3x+6）的图象与正弦曲线的关系，以及

A、3、6的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，

它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映.这节是

本章的一个难点.

如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin（3x+小）的图象呢?通

过引导学生对函数y=sinx到y=Asin（3x+e）的图象变换规律的探索,让学生

体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换

先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要

矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数“、3、A的分类讨论，让学生深刻

认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.

本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象

变换和“五点”作图法,正确找出函数y=sinx到y=Asin（3x+6）的图象变换

规律,这也是本节课的重点所在。

【学情分析】

学生学习了正、余弦函数的图象和性质，已经具有用数学知识解决这类实际问题的

能力；另外，本班学生思维较为活跃，学习积极性教高，初步形成对数

学问题进行合作探究的意识与能力。

【教学目标】

1.知识与技能

借助计算机画出函数y=Asin（3x+<b）的图象，观察参数中，3,A对函数

图象变化的影响；引导学生认识y=Asin（3x+6）的图象的五个关键点，学会

用“五点法”画函数y=Asin3x+6）的简图；用准确的数学语言描述不同的变

换过程。

2.过程与方法

通过引导学生对函数y=sinx到y=Asin（3x+6）的图象变换规律的探索，

让学生体会研究问题时由简单到复杂，从具体到一般的思路，一个问题中涉及

几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法。

3.情感态度与价值观

经历对函数y=sinx到y=Asin（3x+4））的图象变换规律的探索过程,体会

数形结合以及从特殊到一般的化归思想；培养学生从不同角度分析问题，解决

问题的能力。

【教学重点】

将考察参数A、3、6对函数y=Asin（3x+6）图象的影响的问题进行分解，

找出函数y=sinx到y=Asin（3x+<t>）的图象变换规律.学习如何将一个复杂问

题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y=Asin（3x+6）

的简图.

【教学难点】

学生对周而变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解.

【课型】新授课

【教学方法】

按照本课的重点和难点，我打算以学习任务驱动，以问题探究与动手操作为

方式，以问题解决为主线，通过各种展示方式创设情景，引导学生通过对问题的

交流讨论和实验探究，学会画图并理解对函数y=sinx到y=Asin（3x+巾）的图

象变换规律的探索。

【教具】多媒体

【教学导图】

通过“探究”激发学生求知欲望教学过程

探究过程中引出画图的必要性

随即得出画y=Asin（3x+电）的步骤

引导学生用分析函数图像的变化

引出图像的变化规律

进而得到A、3、中对图像的影响

练习反馈

课下作业

【教学过程】

函数y=Asin（3x+6）的图象

（一）、导入新课

思路L（情境导入）在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如

丫=人53（3*+6）的函数（其中人、3、6是常数）.例如，物体做简谐振动时位移y

与时间X的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.

这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此,我们有必要画好

这些函数的图象.揭示课题：函数y=Asin（3x+@）的图象.

思路2.（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx与函数y=Asin（3x+6）存在

着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx与函数y=Asin（3x+6）存在着怎样的关

系?接下来，我们就分别探索小、3、人对丫=人5锯（3*+6）的图象的影响.

（二）、推进新课、新知探究、提出问题

①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以

怎样讨论参数6、3、A对y=Asin(3x+小)的图象的影响？

②分别在y=sinx和y=sin(x+X)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的

3

点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，山对图象有怎样的

影响？对小任取不同的值，作出y=sin(x+d))的图象,看看与y=sinx的图象是否

有类似的关系？

③你概括一下如何从正弦曲线出发，经过图象变换得到y=sin(x+6)的图

象.

④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数3对y=sin(3x+小)的图象的

影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为6=工，从而使y=sin(3x+4)在3变

3

化过程中的比较对象固定为y=sin(x+^).

3

⑤类似地，你能讨论一下参数A对尸sin(2x+X)的图象的影响吗？为了研究

3

方便,不妨令3=2,6=工.此时，可以对A任取不同的值，利用计算器或计算机作

3

出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+-)的图象之间的关

3

系.

⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？

活动：问题①，教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问

题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+巴)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点

3

的坐标的关系，获得巾对y=sin(x+6)的图象的影响的具体认识.然后通过计算

机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，得出它们的横坐标

总是相差上的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出：先分别讨论参数6、3、

3

A对y=Asin(3x+6)的图象的影响,然后再整合.

图1

问题②，由学生作出“取不同值时，函数y=sin(x+6)的图象，并探究它与

y=sinx的图象的关系，看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于6

对y=sin(x+6)的图象影响的经验.为了研究的方便，不妨先取6=工，利用计算

3

机作出在同一直角坐标系内的图象，如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个

纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等,观

察它们横坐标的关系.可以发现，对于同一个y值,y=sin(x+工)的图象上的点的

3

横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去工.这样的过程可通过多

3

媒体课件，使得图中A、B两点动起来（保持纵坐标相等），在变化过程中观察A、B

的坐标、XB-XAS|AB|的变化情况，这说明y=sin（x+2）的图象可以看作是把正弦

3

曲线y=sinx上所有的点向左平移工个单位长度而得到的，同时多媒体动画演示

3

y=sinx的图象向左平移工使之与尸sin（x+X）的图象重合的过程，以加深学生对

33

该图象变换的直观理解.再取小二-生，用同样的方法可以得到尸sinx的图象向右

4

平移工后与y=sin（X--）的图象重合.

44

如果再变换小的值,类似的情况将不断出现,这时“对y=sin（x+<!>）的图象

的影响的铺垫已经完成,学生关于“对y=sin（x+6）的图象的影响的一般结论已

有了大致轮廓.

问题③，引导学生通过自己的研究认识*对y=sin（x+6）的图象的影响，并

概括出一般结论：

丫=55仪+。）（其中4）。0）的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左

（当。>0时）或向右（当6<0时）平行移动|6|个单位长度而得到.

问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒

学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是：（1）以y=sin（x+工）为参照,

3

把y=sin（2x+-）的图象与尸sin（x+工）的图象作比较,取点A、B观察.发现规律：

33

j=sin(x+j)

图2

如图2,对于同一个y值,y=sin（2x+2）的图象上点的横坐标总是等于y=sin（x+

3

三）的图象上对应点的工倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课

32

件,体现伸缩变换过程，引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.（2）取3=1,

2

让学生自己比较y=sin（'x+&）的图象与y=sin（x+X）图象.教学中可以让学生

233

通过作图、观察和比较图象、讨论等活动，得出结论:把丫=$Sa+工）图象上所有

3

点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），就得到丫=5S（,乂+工）的图象.

23

当取3为其他值时，观察相应的函数图象与y=sin（x+2）的图象的关系，得

3

出类似的结论.这时3对y=sin（3x+6）的图象的影响的铺垫已经完成，学生关

于3对y=sin（3x+6）的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生

将上述结论一般化，归纳y=sin（3x+（b）的图象与y=sin（x+6）的图象之间的关

系，得出结论：

函数尸sin（3x+。）的图象可以看作是把y=sin（x+4>）的图象上所有点的横

坐标缩短（当3>1时）或伸长（当3。时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.

问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索3、”对图象的

影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin（2x+2）的图象和y=sin（2x+

3

生）的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,

3

沿两条曲线同时移动这两点，并使它们的横坐标保持相同，观察它们纵坐标的关

系.可以发现，对于同一个X值，函数y=3sin（2x+2）的图象上的点的纵坐标等于

3

函数y=sin（2x+生）的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin（2x+%）的图象,

33

可以看作是把尸sin（2x+X）的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐

3

标不变）而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面

两个参数的探究,学生得出一般结论：

®lfey=Asin（cox+<i>）A>0,<o>0）的图象可以看作是把y=sin（3x+4>）

上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当O<A<1时）到原来的A倍（横坐标不

变）而得到，从而，函数y=Asin（3x+6）的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是

-A.

由此我们得到了参数6、3、A对函数y=Asin（3x+<b）（其中A>0,3>0）的图

象变化的影响情况.

一般地，函数y=Asin（3x+6）（其中A>0,3>0）的图象，可以看作用下面的方

法得到：

,先画出函数y=sinx的图象;再把正弦曲线向左（右）平移|4）|个单位长度,

得到函数丫=5曲6+。）的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的工倍,得

CO

到函数y=sin（3x+6）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这

时的曲线就是函数y=Asin（3x+6）的图象.

⑥引导学生类比得出.其顺序是：先伸缩横坐标（或纵坐标），再伸缩纵坐标

（或横坐标），最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,

以引起学生注意,并体会一些细节.

由此我们完成了参数小、3、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学

生回顾思考整个探究过程中体现的思想：由简单到复杂，由特殊到一般的化归思

想.

（三）、讨论结果：

①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin（3x+“）的图象的变换过程,分解

为先分别考察参数6、川、A对函数图象的影响，然后整合为对丫=八$打（3乂+巾）

的整体考察.

②略②略.

③图象左右平移，”影响的是图象与x轴交点的位置关系.

④纵坐标不变,横坐标伸缩，3影响了图象的形状.

⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.

（四）、规律总结：

先平移后伸缩的步骤程序如下：

向左（0>0）或向右（0<0）>

y=sinx的图象平移阳个单位长度得y=sin（x+<t>）的图

象

横坐标伸长或缩短（。>1））

到原Q（纵坐标不变）^=sin（3x+6）的图象

（0

纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<4<1）、

为原来的A倍（横坐标不变）得y=Asin（3x+6）的图象

先伸缩后平移（提醒学生尽量先平移），但要注意第三步的平移.

纵坐标伸长（A>1）或缩短（O<A<1）,

y=sinx的图象这原来的A倍（横坐标不变）>得V=Asinx的图

象

横坐标伸长（0<速<1）或缩短（（>1）>

到原来的工（纵坐标不变）得丫=人5h5）的图象

CD

向左（0>0）或缩短（。>1））

平移四个单位得y=Asin（3x+4）的图象.

0）

（五）、应用示例

例1画出函数y=2sin(』x-2)的简图.

36

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.

(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的6=—工，3=1，A=2,鼓励

63

学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(』x-二)的图象的过程:只需把丫=

36

sinx的曲线上所有点向右平行移动生个单位长度，得到y=sin(x-2)的图象;再

66

把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y=sin(』x-二)的

36

图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函

数y=2sin(-x-—)的图象,如图4所示.

36

y彩sin(**)

2

尸sin(x-$)

，八\6

发sin'V*X

y=2sin/r-专)

图4

(2)学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生

作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成，仔细体会变化的实质.

(3)学生完成以上两种变换后，就得到了两种画函数y=2sin(』x-2)，简图

36

的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sindx-

3

工)的简图，并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.

6

解:方法一:画出函数y=2sin(4x-2)简图的方法为

36

右移C个单位

y=sinx--------------y=sin(x--)

6

纵坐标不变、I.横坐标不变、

横坐标伸长到原来的3倍y=sin(3X-7纵坐标伸长到原来的2倍

y=2sin(—X--).

36

方法二:画出函数y=2sin(工x-2)简图的又一方法为

36

纵坐标不变]

y=sinx横坐标伸长到原来的3倍y=sin3x

横坐标不变）]右移]个单位

纵坐标伸长到原来的2倍y=2sinax

方法三：（利用“五点法”作图一一作一个周期内的图象）

令x=-x--,则x=3(X+&).列表:

366

713兀

X07JIT2n

717乃13万

X2n5n

~2TF

Y020-20

描点画图，如图5所示.

点评:学生独立完成以上探究后，对整个的图象变换及“五点法”作图会有一

个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换，左右平移变换只对

“单个”x而言,这点是个难点，学生极易出错.对于“五点法”作图，要强调这五

个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法

是先作变量代换,设X=3x+6,再用方程思想由X取0,三，n,—,2JT来确定对

22

应的x值.

【作业】

1.习题1.5A组第2、3题。

2.课后收集资料，交流讨论在物理学科中的应用。

【板书设计】

主板书副板书

1.五点作图法的步骤1.复习旧知

列表、描点、连线2.创设情境引入

2.图像变换的2种方法

先平移后伸缩

先伸缩后平移

3.练习

4.小结

5.作业

【预测反思】

1.这节课我将知识目标确定在让学生学会画y=Asin（3x+6）的图象让学

生通过实例体会A、3、巾对图象的意义和作用，但是学生往往缺乏动手画图的

好习惯，如何提高学生的动手操作能力应该值得反思。

2.学生往往也缺乏利用图表提取信息能力，如何运用图像解决问题，提

高学生的运用知识解决问题的能力，也应该是值得反思的问题。

函数y二Asin（wx+巾）的图象学情分析

本节课的主要内容是学生学习了正、余弦函数的图象和性质，已经具有用数学知

识解决这类实际问题的能力；另外，本班学生思维较为活跃，学习积极性教

高，初步形成对数学问题进行合作探究的意识与能力。

函数y=Asin（wx+（t＞）的图象效果分析

学生学习的效果分析当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价.教

师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习

惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感.学生熟悉的问题情境可

以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与,师生对话可以实现师生合作，

适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成

功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯.让学生在教师评价、学生

评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续

发展打下基础.

函数y=Asin（wx+Q）的图象教材分析

本节课的主要内容是通过图象变换，揭示参数4＞、3、A变化时对函数图象的形状和位

置的影响，讨论函数丫=人5徐（3*+。）的图象与正弦曲线的关系，以及人、3、＜!＞的物理意义，

并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸,

也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.

如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin（3x+6）的图象呢?通过引导学生

对函数y=sinx到y=Asin（3x+④）的图象变换规律的探索，让学生体会到山简单到复杂、

由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换

这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数

6、3、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.

本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五

点”作图法,正确找出函数y=sinx到y=Asin(3x+4))的图象变换规律,这也是本节课的重

点所在。

函数y=Asin(wx+6)的图象评测练习

基础题：

一、选择题

1.把函数y=f(x)的图象沿直线x+y=O的方向向右下方平移2近个单位，得到函数y=sin3x

的图象，则()

A.f(x)=sin(3x+6)+2B.f(x)=sin(3x-6)-2

C.f(x)=sin(3x+2)+2D.f(x)=sin(3x-2)-2

2.把函数y=sin(3x+6)(3>0,|力1〈TT生)的图象向左平移IT三个单位，所得曲线的一部分

23

如图所示，则3、e的值分别为()

3333

3.已知函数f(x)=sin3x在［0,工］上单调递增且在这个区间上的最大值为主，则实数a

42

的一个值可以是()

衅

4.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论中正确的是()

A函数y=f(x)・g(x)是偶函数

B.函数y=f(x)•g(x)的最大值为1

C.将f(x)的图象向右平移三TT个单位长度后得到g(x)的图象

2

TT

D.将f(x)的图象向左平移上个单位长度后得到g(x)的图象

2

5.函数y=Asin(3x+6)图象的一部分如图所示,则此函数的解析式可以写成()

A.y=sin(x+—)

71

C.y=sin(2x+—)D.y=sin(2x--^-)

二、填空题

77*TTI

6.曲线y-2sin(x+i)cos(x-w)和直线y=万在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次

记为P1，P2,P3,・・•，贝ijP2P/=.

7T

7.要得到丁=©(«(2》-土)的图象，且使平移的距离最短,则需将y=sin2x的图象向―

4

平移个单位,即可得到.

中档题

三、解答题

JT34

8.已知函数/(x)=2cos(x--)+2sin(w+x).

r-|-Tyirn-T-rn-T-r-i-T-i

LJ_l<

1-T-+-----1一+一IT-十一1-T-+—1

-n-T-r-l~T_FT-T-l

LJ-l-

iii111111111

ii\o

111