高一数学2022-2023学年第二学期期末模拟卷（含答案）

2022-2023学年高一下学期期末模拟试卷

（时间：120分钟，分值：150分，范,围：必修二）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知复数Zl与z=4-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则2=（）

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l÷3i

2.已知向量2］满足IZl=Ijll=2,Z+I=（2j∑,l）,≡∣3α+6∣=（）

A.2√2B.√i^5C.3√2D.5

3.已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率

为0.4,摸出的球是红球或黄球的概率为0.9,则摸出的球是黄球或白球的概率为（）

A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6

4.某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：9189909294879396则这组数据的中

位数和平均数分别是（）

A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92

5.有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的

圆柱部分，已知沙漏总高度为IOCm,圆柱部分高度为2cm,则初始状态的沙子高度〃为（）

A.3cmB.3.5cmC.4cmD.4.5cm

6.在角AβyC所对的边分别为。也C,/Z=60。，且“BC的面积为石，若b+c=6,则。=()

A.2√6B.5C.√30D.2√7

7.平面α过正方体48Cz）-小氏。。的顶点4ɑ//平面C8/。/,αfl平面/8CO=加，α∏平面/88/=〃,

则〃八〃所成角的正弦值为（)

A百B6D.1

C.—

2233

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8.如图1,直角梯形/8CZ）中，AB//DC,ZDCB=90∖DC=BC=-AB=2,取48中点E,将A8CE沿EC

2

翻折（如图2）,记四面体8-ECO的外接球为球O（O为球心）.P是球。上一动点，当直线4。与直线IP

所成角最大时，四面体P-XEC体积的最大值为（）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,乙

的环数小到大排列为2,5,6,6,7,7,7,8.9,10.则（）

A.甲的环数的70%分位数是7B.甲的平均环数比乙的平均环数小

C.这20个数据的平均值为6.6D.若甲的方差为2.25,乙的方差为4.41,则这20个数据的方差为4.34

10.已知Z，3，工是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）

A.一定存在实数X,夕使得Z=x5+,成立

B.若7月=H那么一定有α∙l（5-C）

c.若R二）那么+B-2∑∣

D.若〉®∙2）=0B”,那么⅛,"一定相互平行

11.如图，在棱长为2的正方体力8CD-//8/G。中，£尸、G、M、N均为所在棱的中点，动点尸在正方体表

面运动，则下列结论正确的有（）

B.异面直线EEGN所成角的余弦值为:

A.当点P为BC中点时，平面PE产_1平面GMN

√5

C.点E、尺G、〃、N在同一个球面上D.若4A=/和i+而-2MlX，则尸点轨迹长度为

2

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12.4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是g.单循环比赛

结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同.下列结论中

正确的是（）

A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件

B.有可能出现恰有三支球队并列第一名

c∙恰有两支球队并列第一名的概率为!

D.只有一支球队名列第一名的概率为1

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

2兀）,B=[in仁+S1）.则（鼠B）Sin（O+聿）

13.已知CoS2θ-Tj

14.eΛ□∕mlg2+lg5,log43,（∙∣）一,tanl>,从这四个数中任取一个数5，使函数/（x）=/+2〃a+1有

两不相等的实数根的概率为.

15.A∕8C中，N/8C的角平分线8。交/C于。点，若Bn=I且N/8C=7，则S“始面积的最小值为

16.如图，直三棱柱48C-45C中，ACLBC,AC=2#,BC=4,棱柱的侧棱足够长，点尸在棱88'上,

点Cl在CC上，且LPG,则当AZPG的面积取最小值时，三棱锥尸-48C的外接球的体积为

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四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022

年12月的销售额(单位：万元)，并将数据按照[12,14),[14,16)...[22,24]分成6组，制成了如图所

示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少(同一组中的数据用该组区间的中间

值代表)？

(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定

一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销

售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.

S4

2

OS.0

Q

18.(12分)近年来，我国科技成果斐然，北斗三号全球卫星导航系统已开通多年，北斗三号全球卫星导

航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组

成.北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于Iom,实测的导航定位精度都是2~3m,全球服务可用

性99%,亚太地区性能更优.现从地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析.

(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率；

(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率.

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19.（12分）如图，在四棱锥尸-Z8CZ）中，底面力8。是梯形，ABHCD,ABLAD,AB=AD=2CD=2,

△/尸。为等边三角形，E为棱尸B的中点.

（1）证明：CE〃平面P4D；

⑵当P8=2√Σ时，求证：平面产力。J_平面H8CD,并求点E与到平面PC。的距离.

20.(12分)己知“8C的内角/,B,C的对边分别为α,b,c,且αcsin8=/-(ɑ-e》.

L.2

(1)求SinB;(2)求rʒ的最小值.

a+c

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3

21.（12分）在锐角4/8C中，设角4,B,C的对边分别为。，b,c,且α=4,cosJ=-.

（1）若c=4,求4/8C的面积；（2）求fSh—3c的值；（3）求—/8+—NC-/8YC的取值范围.

COSC

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22.(12分)如图，斜三棱柱Z8C-48G中，AC=BC,。为NB的中点，A为4瓦的中点，平面N8C_L

平面/58圈.

(1)求证：直线4。//平面Bq。；

(2)设直线力4与直线BR的交点为点E,若三角形/8C是等边三角形且边长为2,侧棱14=立，且异面

2

直线BG与互相垂直，求异面直线4。与BG所成角；

(3)若NB=2,4C=BC=√Σ,tanZ4Z8=也，在三棱柱/8。-4与弓内放置两个半径相等的球，使这两个球

相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切.求三棱柱∕8C-4AG的高.

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2022-2023学年高一下学期期末模拟试卷

(时间：120分钟，分值：150分，范,围：必修二)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知复数Zl与z=4-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则2=()

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】D

【分析】根据复数对应点的对称关系得4=4+2i,应用复数除法化简目标式即得结果.

【详解】由z=4-2i对应点为(4,-2点则Zl对应点为(4,2),故z∣=4+2i,

所以eL=必2=2(2+i)(l+i)=[+3i故选：D

1-11-12

2.已知向量满足∣G∣=1,∖∣=2,G+]=(2√Σ,1),K∣J∣3α+⅛∣=()

A.2√2B.√15C.3√2D.5

【答案】D

【分析】根据模长的坐标运算可得∣Z+∙=3,分析可得£[同向，进而可求结果.

【详解】因为R+q=J(2jΣ)2+ι2=3,即R++B∣+B∣,

则Zl同向，所以|3工+昨3口+同=5.故选：D.

3.已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率

为0.4,摸出的球是红球或黄球的概率为0.9,则摸出的球是黄球或白球的概率为()

A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6

【答案】A

【分析】设摸出红球的概率为尸(4)，摸出黄球的概率是尸(8),摸出白球的概率为P(C),求出P(8)、P(C)

的值，相加即可求解.

【详解】设摸出红球的概率为P(N),摸出黄球的概率是尸(8),摸出白球的概率为尸(C),

所以尸(N)+P(C)=0.4,尸(N)+P(B)=0.9,且P(N)+尸(B)+P(C)=1,

所以P(C)=∖-P(A)-P(B)=0.1,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.6,

所以P(5)+P(C)=0.7故选:A.

4.某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：9189909294879396则这组数据的中

位数和平均数分别是()

A.91.5和91.5B.91.5和92

C.91和91.5D.92和92

【答案】A

【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数和平均数的求法直接求解即可.

【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为：87,89,90,91,92,93,94,96,

则该组数据的中位数为9学1+丝92=91.5,

2

IZ-JPzsi87+89+90÷91÷92÷93÷94÷96,,

平ττ7均数5r为-----------------------------=91.5.故选：A.

8

5.有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的

圆柱部分，已知沙漏总高度为IOCm,圆柱部分高度为2cm,则初始状态的沙子高度〃为()

A.3cmB.3.5CmC.4cmD.4.5cm

【答案】C

【分析】先根据题意求得圆锥高度饱，再利用体积相等求得初始状态圆柱部分沙子的高度〃'，由此得解.

【详解】如图，设初始状态圆柱部分沙子的高度为“，沙漏下半部分的圆柱高度为九，圆锥高度为外,上、

则Λ1=2cm,又沙漏总高度为IOCm,则为=T(Io-2%)=3cm,

所以工兀/也+πr2•〃'=加？•九，即L兀，,X3+πr?•人'=Tir,X2,解得∕/=1,

33

所以初始状态的沙子高度为%+l=4cm.故选：C.

6.在"SC中，角48,C所对的边分别为仇c,44=60。，且“8C的面积为√J,若b+c=6,则”()

A.2√6B.5C.√30D.2√7

【答案】A

【分析】根据三角形面积可推出岳=4,利用余弦定理即可求得答案.

【详解】由于44=60。,%(BC=*sin/=gc,故有手加=5解得bc=4,

又b+c=6,则α=√⅛2+c2-IbccosA=4(b+c)2-3bc=-736-12=2后,故选：A.

7.平面ɑ过正方体4BCZ‰4∕8∕GO∕的顶点4ɑ//平面C5√)/,αΓl平面∕8C0=w,α(^∣平面“⑶?/=〃，

则机、〃所成角的正弦值为()

A.BB.也C.@D.ɪ

2233

【答案】A

【分析】利用正方体的性质，找到一个符合题设的平面ɑ即可知机，〃所成角的大小，进而求其正弦值.

【详解】由题意，若平面a为平面/石。，满足a〃平面C8/。/,如下图示，

因为8月〃。。，且BBI=D2,所以BBQ。为平行四边形，

所以BD〃BQi，AAU平面C8/。/,8。CZ平面C8√λ,所以8。//平面C8/。/,

同理可证84〃平面C8√λ,义BDnBA∖=B,又8。,84U平面/田。，

所以平面AtBD//平面CBlD∣,即a//平面CB1D1.

因为a∩平面488=8。，aΓ∣平面力8为4=84,

则〃?，〃分别为8。,84,又三角形48。为等边三角形，

所以w,〃所成角为W，故其正弦值为且.故选：A.

32

8.如图1,直角梯形/8C。中，AB//DC,^DCB=90,DC=BC=-AB=2,取48中点E,将小CE沿EC

2

翻折（如图2）,记四面体B-ECD的外接球为球O（O为球心）J是球O上一动点，当直线/0与直线HP

所成角最大时，四面体尸-/EC体积的最大值为（）

ʌ4√5n4√5r4√10n4√10

A•---------o.---------Lz•-----------•-----------

515515

【答案】D

【分析】首先得到球心。在EC的中点，然后当/P与球。相切时直线NO与直线/尸所成角的最大，过P作

PHL40垂足为H,当平面4。E时四面体尸-4EC体积取得最大值，即可求出答案.

【详解】由题意可知，A8E,A8CE均为等腰直角三角形，所以四面体8-E8的外接球的球心。在EC的

中点，

因为P是球。上的动点，若直线/。与直线/P所成角的最大，则/P与球。相切，NNPO=901此时，^PAO

最大，

因为OP=LEC=JΞ,AO而,所以sin/P?IO='ɪ，

25

过P作/WJ.Z。垂足为H,则P在以，为圆心，PH为半径的圆上运动.

所以当PH_L平面ADE时四面体尸-XEC的体积取得最大值.

因为/尸=20，所以=2&'好=名叵，

55

所以/的='"∙SQ='X"^X'X2X2=M^,故选：D.

f^ade335215

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,乙

的环数小到大排列为2,5,6,6,7,7,7,8.9,10.则()

A.甲的环数的70%分位数是7

B.甲的平均环数比乙的平均环数小

C.这20个数据的平均值为6.6

D.若甲的方差为2.25,乙的方差为4.41,则这20个数据的方差为4.34

【答案】BC

【分析】根据百分位数的定义可求解A选项；根据平均数的公式可求解B、C选项；根据方差的公式可求

解D选项.

【详解】对于A,≡W×70%=7,所以甲的环数的7。％分位数是亍=7.5,故A错误:

a~r-4÷5÷5÷6÷6+7÷7+8÷8÷9

对于B,Λ⅛=---------------------------------------=6.5

2+5+6÷6+7÷7+7÷8+9+10=6,7

10

所以晶C无，故B正确；

对于C,这20个数据的平均值文=竺星竺生M=6.6,故C正确;

对于D,这20个数据的方差为一=5卜0χ[2.25+(6.5-6.6)[+10χ[4.41+(6.7-6.6)2]}=3.34,故D错误.

故选：BC.

10.已知£,B，工是平面上三个非零向量，下列说法正确的是()

A.一定存在实数X,歹使得α=法+yc成立

B.若Z∙B=D,那么一定有-C)

c.若(U)M5二),那么B-N=B+124

D.若7(%)=0斗/那么kft,"一定相互平行

【答案】BC

【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.

【详解】只有当B,Z不是共线向量时，一定存在实数％,y使得Z=茄+五成立，因此选项A不正确；

由Q∙B=Q∙C=>Q∙B-Q∙C=Ona•9-c卜OnQ_L[-c),因此选项B正确；

庄l(a-c)-c)=>(α-c)∙(B-C)=O=>4∙B-Q∙c-c∙B+c-=0,

∖a-bI-∣(7+6-2c∣=(a-b^一［("0)+(=-2∖a∙b-a∙c-c∙b-}-c)=0,

所以选项C正确;

当7B=∏=o时，显然屋(小4=,Z)∙成立，但是£,h,"不一定互相平行,

故选：BC

11.如图，在棱长为2的正方体Z8CD-4历。D中，G、M、N均为所在棱的中点，动点P在正方体表

面运动，则下列结论正确的有()

A.当点P为BC中点时，平面PEF_L平面GMN

B.异面直线EEGN所成角的余弦值为:

C.点E、F、G、M、N在同一个球面上

D.若乖=/书+丽-2f丽，则尸点轨迹长度为日

【答案】ACD

【分析】根据正方体图形特征证明面面垂直判断A选项，根据异面直线所成角判断B选项，根据五点共圆

判断C选项，根据轨迹求出长度判断D选项.

【详解】取中点0,连接尸。,尸。，在棱长为2的正方体/18CD-∕∕8∕GD∕中，氏氏G、W、N均为所在棱

的中点，

易知GV，尸0,•.•/70//。。,.・.尸0_1平面/8。）,GM在面/88内，

•••GMLFQ,尸。U平面尸。尸，P0u平面尸。尸，PQCFQ=Q,

GM_L平面PQF,PPU面PQF,.-.GMLPF,

连接84，/344是正方形,GNL48,

∙.∙E4∣1平面期4用,GNU平面而以4，.∙.GNJ∙4尸,

E4∣u平面PE4f,48U平面尸修5,A,B^FAy=A1,

.-.GN1平面PFA∖B,PFU平面PF&B,:.GNLPF,

综上，GNU平面GΛ√7V,GΛ∕u平面GMTV,又GMCGN=G,

所以尸产J.平面G⅛W,尸尸U平面尸所,故平面PEFJ.平面GMV,故A正确；

取44中点7,连接ET,尸T,ETHGN,

.∙./花尸是异面直线EF,GN所成的角，

又EF=FT=ET=a,则/TEF=-,cosZTEF=-,故B错误；

记正方体的中心为点O,则IoEl=IoFI=IoGl=∖OM∖=IoM=√2,

故点E,F,G,/,N在以。为球心，以0为半径的球面上，故C正确；

∙/AiP=tAiA+A[M-2tAxB^E是4力的中点，

/.47-4M=2tA^E-2z4X,故加=2/反反

.∙.p点轨迹是过点M与8E平行的线段MP',且ICPI=g,

.∙.∖MP'∖=~-,故D正确.故选：ACD.

12.4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是g.单循环比赛

结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同.下列结论中

正确的是（）

A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名

C.恰有两支球队并列第一名的概率为:D.只有一支球队名列第一名的概率为:

【答案】ABD

【分析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C：=6场比赛，比赛的所有结果共有2'=64种；

选项A,这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；

选项B,举特例说明即可；

选项C,在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有C：=6种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最

后由古典概型计算概率；

选项D,只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.

【详解】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C”6场比赛，比赛的所有结果共有26=64种；

选项4这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值

不可能都一样，故是不可能事件，正确；

选项8,其中(α,b),(b,c),(c,(4,6)6场比赛中，依次获胜的可以是瓦c,0,c,6,此时3队

都获得2分，并列第一名，正确；

选项C,在伍1),仅，0，(。,"),(44),(。,。),(4,36场比赛中，从中选2支球队并列第一名有仁=6种可能，

若选中α,b,其中第一类。赢6,有q,b,c,d,α力和α也",c,α力两种情况，同理第二类6赢α,也有两种，故

恰有两支球队并列第一名的概率为6x詈4==a，错误；

648

选项。，从4支球队中选一支为第一名有4种可能：这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有

Q1

23=8种，故只有一支球队名列第一名的概率为三x4=：,正确.

642

故选：ABD

【点睛】本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.已知COS(26己=3《+5")，B=卜in(g+Sl)则伍/)sin(e+]=.

【答案】I

【分析】利用向量的数量积公式结合二倍角的正弦、余弦公式求解即可.

【详解】S^cos∣20-yU2cosp-^∣-l=2cos2

N6+卦1=2Sina+^1=T

6

3

(f,tanl

14.已知me〈lg2+lg5,lo&3,|从这四个数中任取一个数加，使函数/(x)=χ2+2,nx+1有两不

相等的实数根的概率为.

【答案】ɪ

2

【分析】由对数函数，指数函数，三角函数的单调性结合概率公式求解即可.

【详解】函数/(x)=χ2+2mx+l有两不相等的实数根，则4机2-4>0，解得/“<-1或/>1.

Ig2+lg5=lglθ=l,0=log4l<log43<log44=l,(L)'>6)=].

ITTrIr

因为一<1<—，所以tan1〉tan—=1.

424

21

即从这四个数中任取一个数加，使函数Ax)=/+2〃a+1有两不相等的实数根的概率为尸=A=K

故答案为：ʌ-

2TT

15.春BC中，//8C的角平分线BO交/C于。点，BD=IS-ZABC=-,则S面积的最小值为

【答案】√3

【分析】由S"Bc=S.∙,+Kc∙w>,结合三角形面积公式证明∕8+8C=N8∙8C,根据基本不等式证明

AB∙BC≥4,由此求出S“BC面积的最小值.

【详解】因为N/8C=m，8。为N/8C的角平分线，

所以N∕8D=NCBD=巴，又BD=I,

3

故由三角形面积公式可得SIBI)=-ABBD-SinΛABD=-AB,

S=-BC-BDsinZCBD=-BC,

△rCsBoD24

S,=-ABBC-sinAABC=-ABBC，

δabbcc24

又SAABC=S.A8D+S«CBD,

所以月8+8C=N8∙8C,

由基本不等式可得AB+BC≥2y∕ABBC，当且仅当/8=8C时等号成立,

所以N8∙8C≥4,

所以SmBC=*ABBC≥道,当且仅当/8=BC=2时等号成立，

所以SMBC面积的最小值为石.故答案为：√3∙

【点睛】知识点点睛：本题主要考查三角形面积公式和基本不等式，具有一定的综合性，问题解决的关键

在于结合图形建立等量关系，结合三角形面积公式确定边的关系，属于较难题.

16.如图，直三棱柱45C-H"U中，ACLBC,AC=2®BC=4,棱柱的侧棱足够长，点P在棱88'上,

点G在CC'上，且P/∙LPG,则当△4尸G的面积取最小值时，三棱锥尸-/8C的外接球的体积为

【答案】20√L5π

【分析】取/P的中点。，连接CO,O8,证得/C_L平面BCCR，得到再证得尸4，平面/CP,

22

得到PClPC,设PB=x,CG=h,求得C产=16+/,ClP=16+(A-x),得到∕j-χ=g,得到

S"∕=gJ(36+χ2)(i6+/)，结合基本不等式，求得P8=2指时，A/PG的面积取最小值，进而得到。

为三棱锥尸-NBC的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解.

【详解】如图所示，取XP的中点为O,连接C0,08,

因为三棱柱ABC-A'B'C'为直棱柱，所以CC11平面ABC,

因为/Cu平面力8C,所以CCJXC,

又因为C8L4C且CC∣c8C=C,。6，8。匚平面8。。'8'，所以ZCL平面8CC%'，

因为WU平面5CC%',所以NCLCF,

又因为PZLPG且ZCCPZ=N,4C,P4u平面4CP,所以PGJ■平面尸，

因为CPU平面4CP,所以尸GJ_PC,

22

设尸8=x,CC1=A,在直角APCB中，CP=16+X,同理C尸=16+(〃-x)-,

所以r=32+/+(/LX)2,整理得到〃一X=T，

又由SMCr=936+4√16+0-x)2=^36+X2)(16+1∣⅛

=2J2θ8+4,d+*6?T208+2^2然“*=2C,

当且仅当X=2几时等号成立，即必=2#时，A/PG的面积取最小值，

因为NC，平面5CC%'，CPU平面BCC’8'，所以4CJ.CP,所以CU=OP=OC,

又因为AP/8为直角三角形，故OP=OB,所以。为三棱锥尸-48C的外接球的球心,

设外接球的半径为R,可得外接球的直径为2R=后Μ=2√B.

所以外接球的体积为-=gπ*=g兀χ(√fi)'=20而π.

四、解答题：本题共.6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022

年12月的销售额(单位：万元)，并将数据按照[12,14),[14,16)...[22,24]分成6组，制成了如图所

示的频率分布直方图.

0.124

0.

0.1Q0

(1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少(同一组中的数据用该组区间的中间

值代表)？

(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定

一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销

售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.

【答案】(1)18.32(万元)(2)20.8万元，理由见解析

【分析】(1)根据概率和为1算出〃的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；

(2)根据频率分布直方图即可求解.

【详解】(1)根据频率分布直方图可得：(0.03+α+0.12+0.14+0.1+0.04)×2=1,解得α=0.07,

.∙.该公司销售员月销售额的平均数为：

x=13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2=18.32(万元)；

(2)设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是X,

则根据频率分布直方图可得:(22-χ)×0.1+0.08=0.2,解得x=20.8,

该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.

18.(12分)近年来，我国科技成果斐然，北斗三号全球卫星导航系统已开通多年，北斗三号全球卫星导

航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组

成.北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于Iom,实测的导航定位精度都是2~3m,全球服务可用

性99%,亚太地区性能更优.现从地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析.

(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率；

(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率.

34

【答案】⑴W(2)-

【分析】(1)首先分别给地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星编号，列举所有可能的情况，以及满

足条件的方法种数，利用古典概型，即可求解；

(2)根据(1)列举的结果，利用古典概型，即可求解.

【详解】(1)记地球静止轨道卫星为：1,2,3,记倾斜地球同步轨道卫星为0,6,c,则所有的选择为：

(1,2),(1,3)CLC)[2,9(2,@(2,®(2©(3,0(3/(3,(α,Z>),(a,c),(¼c)

记恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗为事件A,则A包含

(IM),(11),(LC),(2M),(2/),(2,CM3,α),(3力),(3,c),所以P(R)=∙∣;

(2)记至少选择一颗倾斜地球同步轨道卫星为事件B,

则B包含(1㈤,(l,9,(l,c),(2,αM2,6),(2,c(3,α),(3,6),(3,c),(α,6),(α,c),(b,c).

174

所以P(B)=Ji=丁

19.(12分)如图，在四棱锥P-48C0中，底面ZBC。是梯形，ABHCD,ABVAD,AB=AD=2CD=2,

△/PD为等边三角形，E为棱PS的中点.

P

（1）证明：CE//平面P4D；

⑵当P8=2√Σ时，求证：平面尸/。，平面/88,并求点E与到平面PCO的距离.

【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析，距离为正

2

【分析】（1）利用线面平行判定定理即可证得CE〃平面4。；

（2）利用面面垂直判定定理即可证得平面尸ND，平面/88；利用三棱锥等体积法即可求得点E与到平

面PC。的距离.

【详解】（1）取线段4的中点尸,连接即、FD,

贝IJEF为JAB的中位线,.∙.E/〃1/8,M=LNB

22

由题知C。〃LZ民CO=L/8,

22

.∙.EFHCD,EF=CD,；.四边形CEFD为平行四边形.

.∙.CE//DF

又：。尸U平面尸∕D,CE（Z平面P4。，

C£7/平面尸力。

（2）在AP/8中，VAB=PA=2,PB=2√2,ΛABlPA.

又；4BL4D,4DcP4=4,4。,尸/u平面尸4。

AB1平面PAD,ABU平面ABCD,

.∙.平面PAD1平面NBCD,

IE为PB的中点,

.∙.E到平面PCD的距离等于点B到平面Pa）的距离的一半.

∙.∙AB1平面PAD,.∙.CD1平面PAD：.CDlPD.

∙,∙SaPCD=1x2=LSttBCD=5X1x2=1

取/。中点0,连接尸。，又AP/。为等边三角形，

则Po>O,PO=√L

：平面4O_L平面/8C。，PO工平面/8CD,

设点B到平面PCD的距离为h.

由^P-BCD=VB-PCD'^∣×1×√3=∣×1∙A,解得∕l=G

.∙.点E到平面PCD的距离为B

2

20.(12分)已知AJ8C的内角N,B,C的对边分别为α,b,c,且“csinB=〃-(ɑ-e)?.

b2

(1)求SinB;(2)求的最小值.

a+c

42

【答案】(I)Sin8=1(2)《

【分析】(1)由题意和余弦定理可得cos8=l-[sin8,结合sit√B+cos2B=I计算即可求解；

2

Q6A2

(2)由(1)可得CoSB=3,则〃=。2+才一？。。，代入FJ,结合基本不等式计算即可求解.

55a+c

【详解】(1)由余弦定理知b?=a?+H-2αccos5,

所以αcsin8=b2-(a-c)2=-2accosB+2ac,

由QCWO,得sin8+2cosB=2,即COSB=I-ɪsinB,

又因为siι√B+cos2B=l,所以$出28+(1-；§抽8)2=1,

即Ssin?5—4sin3=0,在BC中,SinB>0,

4

所以sin8=1.

41143

(2)由(1)知SinB=—,则cosB=T—sinB=I----X—=—,

52255

^b2=a2+c2--ac,

5

22ð6

,2a+c—ac久-acʌ

所lζr以mJ,=__,,5=ɪ,g&≥>ι=2,

a2+c2a2+c15a2+c22ac5

当且仅当。=C时等号成立.

2

所以义A二的最小值为2

a+c5

3

21.(12分)在锐角448C中，设角4,B,C的对边分别为α,b,c,且α=4,cosA=~.

(1)若c=4,求4/8C的面积；

(2)求生Ul的值；

COSC

⑶求AB+AC-ABAC的取值范围.

【答案】(l)^(2)20(3)[-4,2√13-9)

【分析】(1)利用余弦定理和面积公式进行求解：(2)由正弦定理和三角恒等变换求解；(3)解法一：设

BC中点为D,推导出M+就-标•就=-卜。「+2卜。卜4,在三角形NOO中，利用余弦定理，正弦定

理和函数单调性求出ND的取值范围，从而求出/8+/C-/8ZC的取值范围；解法二：由余弦定理和数

量积运算法则求出I方+就卜石∙K=~bc,换元后利用三角恒等变换得到6ce(15,20],求

出答案.

【详解】(1)由余弦定理cos4="十'?-a?=2=3=/,=竺

Ibc855

411244192

结合Sin4=—可知，4ABC的面积S=—ftcsinA=-×—×4×-=——

5225525

4

(2)因为α=4,sinJ=-,所以一a:=5,

5sm4

由正弦定理6=5SinB,c=5sinC

c."5b-3c25sinβ-15sinC

所以一一①

由于SinB=Sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC=—cosC+-sinC,

-Hi-ʌz-ʌ-u-5b-3c(20cosC÷15sinC)-15sinC“

带入①式可rλ知：-----ɪʌ------------------------L------------=20

cosCcosC

(3)解法1：

设BC中点为。，则/3+4。=24。=249

,)=(而+町加-叫___