高中数学-任意角的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思

1.学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之

前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数.要克

服这一困难，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系.

2.学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会出现障碍，

原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性.针对这一问题，应引导学生利用相似三角形的知识来认

识，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取点

的位置的改变而改变.

3.学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还可能会出现障碍，主要

原因还是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题.要帮助学生克服这一困难，

就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了很好地解决在直角

三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函

数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数.

四、教学支持条件分析

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备

在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生

建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维.

五、教学过程设计

(-)教学基本流程

(-)教学情景

1.复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数.如图1,在直角△尸例/中，N0是直角，那么根据锐角

三角函数的定义，NO的正弦、余弦和正切分别是什么？

P

图1

设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义.

师生活动：教师提出问题，学生回答.

2.认识任意角三角函数的定义

问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大

小的正角、负角和零角.那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？

设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意函三角函数.

师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：

(1)能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？

以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数.

如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思

考：

(2)在上节教科书中，将锐角的^念推广到任意角时，我们是把的放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数.在此基础上，组织学生讨论：

(3)如图2,在平面直角坐标系中，如何定义任意角。的三角函数呢？

图2

如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：

(4)终边是“的角一定是锐角吗？如果不是，能,利用直角三角形的边长来定义吗？如图3,如果角

a的终边不在第I象限又该怎么办？

图3

(5)我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表示，把线段的

长用坐标算出来.我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点

的坐标来表示定义式中的三条边长呢？

渗透数形结合的思想.

(6)利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？

问题3：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？

设计意图：为引入单位圆进行铺垫.

师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论.在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问

题：

(1)我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多

大的圆定义起来更简单易懂些？

(2)对于一个三角函数，比如y=sina,它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确

定以后，能不能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样

取？

加强与几何的联系.

问题4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义.

师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理.

问题5：根据任意角三角函数的定义，要求角。的三个三角函数值其实就是分别是求什么？

设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角

函数概念的本质.

师生活动：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值.

尸(L.必)

例1：已知角a的终边经过点2'2,求角。的正弦、余弦和正切值.

设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，

进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想.

师生活动：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：

571

变式1：求3的正弦、余弦和正切值.

变式2:已知南。的终边经过点户(一3,—4),求角"的正弦、余弦和正切值.

3.进一步理解任意角三角函数的概念

问题6：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？

设计意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要索中最本质的则是对应法则和定义域.三角函

数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域.通过利用定义求定义域，既完

善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念.

师生活动：学生求出定义域，教师进行整理.

问题7：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？

设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解

三角函数的概念，体会教形结合的思想.

师生活动：学生回答，教师整理.

sin6<0,

<

例2：求证：（1）当不等式组"如°>°成立时，角，为第三象限角；

sin6<0,

<

（2）当角。为第三象限角时，不等式组1?血°>°成立.

设计意图：通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三的函数

的概念.

师生活动：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练.

问题8：既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转

一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？

设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.

师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成.

例3:先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：

（1）sin—；（2）cos3n；（3）tanf-；（4）cos<-672°i.

4I6}

设计意图：将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生

熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函教的概念.

师生活动：先完成题（1）,再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题.

4.练习

1.填表：

角a0°30°45°60°90°180°270°360°

角。的弧度数

sina

coso

tana

2.设。是三角形的一个内角，在sina,cosa,tana,2中，有可能取负值的是

3.选择“>"，“<"，“="填空:

（1）cos（一450。I0；（2）tan（一？）0；

.，4兀）

⑶sin-——______0；（4）tan556°0.

3J

4.选择①sin，＞0,②sin，＜0,③cos夕＞0,④cos。＜0,⑤tan"0,⑥tan夕＜0中适当

的关系式的序号填空：

(1)当角夕为第•象限角时，，反之也对;

(2)当角0为第二象限角时，,反之也对:

(3)当角0为第三象限角时，,反之也对;

(4)当角。为第四象限角时，,反之也对.

7n

5.求6的正弦、余弦和正切值.

6.已知角。的终边经过点〃(-12,5),求角。的正弦、余弦和正切值.

7.求下列三角函数值(求非特殊角的三角函数值可用计算器)：

191T{41仃1

（1）cos1109°；（2）tan—；（3）sin（-1050°i；（4）tan--

3I4）

设计意图：通过应用三角函数的定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值、三角函数值的符号、公式一，

以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解.

师生活动：根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容作具体调整.

5.小结

问题9：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角

的三角函数.通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形

己经没有什么关系了.我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建

立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心

角的三角函数.你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？

设计意图：回顾和总结本节课的主要内容.

师生活动：在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点.

问题10：今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用.你能不能归纳一下，

今天我们利用定义解决了哪些问题？

设计意图：回顾和总结三角函数定义在本节课中的应用.

师生活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数彩结

合思想.

6.作业

教科书P.20习题1.2A组第1,2,3(1)、(3),4(1).(3),5,6(1)、(2)、(3),7

(1)、(3),8(1)、(3),9题.

设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题.试图通过

作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况.

一、学情分析

本节内容为《普通高中课程标准试验教科书数学必修4》第一章的121节”任意角的

三角函数”。本节内容将锐角的三角函数值扩充到任意角的三角函数，体现了由特殊到一般

的数学思想。本节知识是在前面知识积累的基础上，建立起来的一种函数关系式，是为后面

深入研究学习三角函数做准备。

初中时，学生已经学习了锐角的三角函数，对锐角三角函数已经有一定的知识积累。另

外，在本节内容之前，己经将角的范围扩充到任意角，并在坐标系里面来进行研究。除此之

外，还学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的。所以要研究任意角的三角函数，

学生已经具备了一定的知识体系。

二、教学目标

知识目标：1、掌握任意角的三角函数的定义；

2、已知角终边上一点，会求角的三角函数值；

3、掌握三角函数的定义域，三角函数值在各象限的符号以及诱导公式。

能力目标：1、理解并掌握任意角的三角函数的定义；

2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

3、通过定义域，三角函数值的符号，诱导公式的理解，提高学生分析、探究、

解决问题的能力。

德育目标：1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值

(函数值)的一种联系方式；

2、学习由特殊到一般的数学思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。

三、教学重、难点

1、教学重点：任意角的三角函数的定义。

2、教学难点：三角函数的定义域，三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式。

四、教学工具

投影仪

复习提问：

1什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？

2终边落在x轴的非负半轴的角

3与角a终边相同的角的一般表达式是什么？

4扇形面积公式

5如图，在直角三角形ABC中，sina,cosa,tana分另ij叫

做角a的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？

当角a不是锐角时，我们必须对sina,cosa,tana的值进

行推广，以适应任意角的需要.

思考1：为了研究方便，我们把锐角a放到直角坐标系中，

并使角a的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.

在角a的终边上取一点P(a,b),设点P与原点的距离为r,

那么，sina,cosa,tana的值分别如何表示？

对于确定的角a,上述三个比值是否随点P在角a的终边上

的位置的改变而改变呢？为什么？

思考3：为了使sina,cosa的表示式更简单，你认为点P

的位置选在何处最好？此时，sina,cosa分别等于什么？

思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为

半径的圆称为单位圆.对于角a的终边上一点P,要使|OP|=1,

点P的位置如何确定?

小y

思考6：对于一个任意给定的角a,按照上述定义，对应的

sina,cosa,tana的值是否存在？是否惟一?

a的终边

P（X,y）

0

跟踪训练:

1求的3sina,cosa,tana

2求把的sina,cosa,tana

思考7：sina,cosa,tana是a终边上的点的坐标或坐标的

比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切

函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的

定义域分别是什么？

思考8：若点P(x,y)为角a终边上任意一点，那么sina,

cosa,tana对应的函数值分别等于什么？

个y

p(x,y)

跟踪训练;求终边过(-1,2)角的sina,cosa,tana

当角a在某个象限时，设其终边

与单位圆交于点P(x,y),根据三角函

数定义，sina,cosa,tana的函数值

舛县县丕硝生？头件〃？

思考2：设a是一个任意的象限角，那么当a在第一、二、

三、四象限时，sina的取值符号分别如何？cosa,tana的

取值符号分别如何？

思考4：如果角a与B的终边相同，那么sina与sinB有什

么关系？cosa与cosB有什么关系？tana与tanB有什么关

系？

思考5：上述结论表明，终边相同的角的同名三角函数值相

等，如何将这个性质用一组数学公式表达？

例1求的正弦、余弦和正切值.

例2已知角的终边过点P(-3,-4),求角的正弦、余弦

和正切值.

例3求证：当且仅当不等式组

sin^<0成立时，角e为第三象限角.

tan。>0

例4确定下列三角函数值的符号.

(1)COS250°；(2)sin(f)(3)tan(-672°).

（4）tan37r;（5）cos—；（6）tan（--—）.

46

（二）教学情景

i.复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数.如图1,在直角△户CW中，N"是直角，那么根据锐角

三角函数的定义，NO的正弦、余弦和正切分别是什么？

图1

设计意图：部助学生回顾初中锐角三角函数的定义.

师生活动：教师提出问题，学生回答.

2.认识任意角三角函数的定义

问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大

小的正角、负角和零角.那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？

设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数.

师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：

(1)能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？

以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数.

如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思

考：

(2)在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数.在此基础上，组织学生讨论：

(3)如图2,在平面直角坐标系中，如何定义任意南。的三角函数呢？

图2

如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：

(4)终边是8的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3,如果角

a的终边不在第I象限又该怎么办？

图3

(5)我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表示，把线段的

长用坐标算出来.我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点

的坐标来表示定义式中的三条边长呢？

渗透数形结合的思想.

(6)利用平面直南坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？

问题3：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？

设计意图：为引入单位圆进行铺垫.

师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论.在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问

题：

(1)我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多

大的圆定义起来更简单易懂些？

(2)对于一个三角函数，比如y=sin。，它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确

定以后，能不能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样

取？

加强与几何的联系.

问题4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐由三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义.

师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理.

问题5：根据任意角三角函数的定义，要求角a的三个三角函数值其实就是分别是求什么？

设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角

函数概念的本质.

师生活动：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三函函数值.

尸(L_必)

例1:已知角a的终边经过点2'2,求角a的正弦、余弦和正切值.

设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，

进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想.

师生活动：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：

5K

变式1：求3的正弦、余弦和正切值.

变式2:已知角。的终边经过点户(—3,-4),求角"的正弦、余弦和正切值.

3.进一步理解任意角三角函数的概念

问题6：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？

设计意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域.三角函

数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域,通过利用定义求定义域，既完

善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三危函数的概念.

师生活动：学生求出定义域，教师进行整理.

问题7：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？

设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解

三角函数的概念，体会数形结合的思想.

师生活动：学生回答，教师整理.

sin6<0,

<

例2：求证：（1）当不等式组"如°>°成立时，角，为第三象限角;

sin6<0,

<

（2）当角。为第三象限角时，不等式组1?血°>°成立.

设计意图：通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三的函数

的概念.

师生活动：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练.

问题8：既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转

一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？

设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.

师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成.

例3:先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：

（1）sin—；（2）cos3n；（3）tanf-；（4）cos<-672°i.

4I6}

设计意图：将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生

熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念.

师生活动：先完成题（1）,再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题.

4.练习

1.填表：

角a0°30°45°60°90°180°270°360°

角。的弧度数

sina

coso

tano

2.设。是三角形的一个内角，在sina,cosa,tana,2中，有可能取负值的是

3.选择“>"，“<"，“="填空:

（1）cos（一450。I0；（2）tan（一？）0；

.，4兀）

⑶sin-——______0；（4）tan556°0.

3J

4.选择①sin，＞0,②sin，＜0,③cos夕＞0,④cos。＜0,⑤tan"0,⑥tan夕＜0中适当

的关系式的序号填空：

(1)当角夕为第•象限角时，，反之也对;

(2)当角0为第二象限角时，,反之也对:

(3)当角0为第三象限角时，,反之也对;

(4)当角。为第四象限角时，,反之也对.

7n

5.求6的正弦、余弦和正切值.

6.已知角。的终边经过点〃(-12,5),求角。的正弦、余弦和正切值.

7.求下列三角函数值(求非特殊角的三角函数值可用计算器)：

191T{41仃1

（1）cos1109°；（2）tan—；（3）sin（-1050°i；（4）tan--

3I4）

设计意图：通过应用三角函数的定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值、三角函数值的符号、公式一，

以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解.

师生活动：根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容作具体调整.

5.小结

问题9：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角

的三角函数.通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形

己经没有什么关系了.我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建

立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心

角的三角函数.你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？

设计意图：回顾和总结本节课的主要内容.

师生活动：在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点.

问题10：今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用.你能不能归纳一下，

今天我们利用定义解决了哪些问题？

设计意图：回顾和总结三角函数定义在本节课中的应用.

师生活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数彩结

合思想.

三角函数是高中教材中的一种重要函数，与其他函数相比具有很多重要的特征：它以角为自

变量,是周期函数，同时也是解决其他问题的重要工具,与后续学习的很多内容有联系.作为

高中阶段最后学习的一个基本初等函数,是深化函数性质的极好素材，因此在教学上受到教

师的足够重视.但是从实际教学效果上来看学生掌握的内容并不理想.造成这种结果有以

下几个原因：（1）混淆初高中所学三角函数的定义，认为高中所学的内容就是在初中所学内

容基础上的推广,任意角三角函数仍然是解决三角形边角关系的工具,没有体会其中所蕴含

的函数思想.（2）对于弧度制的引入和单位圆的定义在认知上存在障碍.为了解决上述问题,

本文从HPM的视角下重新对三角函数的内容进行整合，探索符合学生认知规律且顺应三角

函数历史发展规律的教学设计.希望能为教师教学提供一点帮助.第一节内容上安排了任

意角与弧度制的内容，接下来就用单位圆给出了任意角的三角函数，教师的普遍作法也是回

顾初中锐角三角函数的定义，然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广的任意角三角函数.

这种讲法无疑就把学生陷入一个误区，即任意角三角函数是锐角三角函数的推广，自然有很

多同学认为任意角三角函数仍然是研究三角形三边关系的工具只是不再局限于锐角三角形，

也有很多同学排斥单位圆的定义，觉得不如初中给的“比值法”好,不直观难用来计算.尽

管这样的处理方式很直截了当，但对照发生教学法我们发现这种做法存在以下不足：（D没

有讲明高中学习的三角函数与初中学习的锐角三角函数研究的内容和方法都不同，容易造成

学生的概念混淆.（2）没有很好的利用单位圆，单位圆是函数周期性的一个很好的体现，在

三角函数的后续学习中有很大的作用.但学生在教师的实际教学中体会的很少.基于发生教

学法,考虑学生在了解三角函数发展历史之后,就不会陷入锐角三角函数同任意角三角函数

概念混淆的误区，能更好的认识单位圆在研究三角函数中的重要作用，体会其作为一个周期

函数的性质等等，因此对三角函数的概念的历史进行重构以便于教学.

一、教学反思

以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：

（1）学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？

（2）学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？

（3）教学任务是否完成？

下面我们着重分析一下提问的效果。

在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意

画一个锐角。，借助三角板，找出sina的近似值.”和“问题5：现在，角的范围扩大了，

由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶

点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境中，你认为，对于任意角叫sin

。怎样定义好呢？”

对于问题1,除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角叫构

造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解

决问题。

对于问题5,教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。这说明这

个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究

任意角三角函数的思想方法。因此，教师必须要提供必要的脚手架。

教师在课堂上提供了练习：

（1）sin270°;cos冗；（2）sin-y；sin-^—；sin（―^―■）.

学生对（1）的回答并不理想，尤其是计算cosJI,没有一个学生回答是-1.学生的

这种表现可能是他们还没有形成一个较清晰、完整的计算任意角三角函数的算法步骤，所以

即使遇到一个简单的问题，也不知如何操作。

从教学进程看，原来教学设计中的教学任务过于丰富，超出学生的学习能力。方案中

一节课要完成的教学任务可能需要2至3个课时.

二、形成新的教学设计的理论基础

1.数学概念二重性理论

以色列数学教育家Sfard（1991,1994）等人提出，数学中，特别是在代数中，许多概

念既表现为一种过程操作，又表现为对象。例如，加法，a必既代表两个集合中的元素合并

或添加起来的过程，又代表合并或添加后的结果。函数：既代表定义域中的元素按对应法则

与值域中元素做对应的过程,或者给自变量输入一个数值,则按一定规律输出一个值的过程,

又代表特定对应下变量之间的关系结构。一个数学概念往往兼有这样的二重性:过程一对象,

算法一结果，操作行为一结构关系。相应地，它们分别具有以下特性：动态一静态，细节一

整体；历时（继时）一共时（同时）。

Sfard等人的研究进一步指出，概念的过程和对象这两个侧面有着紧密的依赖关系。形

成一个概念，往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程。即在概念形成过程中，

遵循“过程先于对象发展”的认知顺序。Sfard认为数学史上概念产生、形成的许多例子都

证明了这一发展方式，许多研究也表明个人的认知在这一点上是一致的。Piajet也有类似

的论述，“数学的抽象并非来自于操作的对象,而是来自于操作本身，这是数学抽象的基础。”

概念在过程阶段表现为一系列的固定步骤，具有操作性，相对直观，容易仿效学会。但

是，由于操作过程的历时性，即步骤前后次序排列，并且每一步中包含不少细节，这种非结

构的、序列的认知图式，只能以逐条的、庞大的方式进行加工，因此对于容量相当有限的工

作记忆，很难加工和储存，导致认知的重负。如果概念停留在过程阶段，思维所考虑的因素

呈序列动态，就不易全面掌握，较难抓住要害和实质。当概念进入对象状态时，便呈现一种

静态结构关系，这种图式包含的节点越多，层级越丰富，信息容量就越大，而且便于检索，

使得可以从整体上把握概念的本质。Sfard认为，对象与“概念意象”（conceptimage）类

似，是思维的虚构物，并非真实的存在。对象的形成使我们的经验有序和结构化。对象不能

独立于概念图式存在，即对象是对己有的图式和新信息进行再加工、重组的结果。概念的结

构对象是“关系性理解”（Skemp,1976）的基础一“知道做什么，并知道为什么这样做”。

就象一个人运用分类寻找信息，或依靠地图寻找某条街道。

“对象”的形成以直觉思维或反省思维为基础，意味着许多隐喻关系的诞生，意味着

对程序性经验的内化、压缩之后产生的一个“附加值”（addedvalue）——对于不同数学

概念、符号、性质及其关系的深刻洞察。“对象”的内部表征主要是意象的，即数学家所说

的一些模模糊糊的图形、符号、甚至人性化的东西，共同组成一幅内隐的、整体的、较少细

节的具体化图式。由于具体化图式的结构是非命题的，因此难于用言语表述，但是以这种图

式为基础产生的事实知识（factualknowledge）可以用词汇描述。

2.APOS理论模型

根据Piaget对儿童数学逻辑思维发展的研究，在建构一个更复杂的数学结构时，反省

抽象过程通常涉及四种特殊的建构过程：（1）内化：为了建构所知觉的现象的意义，把一

连串具体的活动转换为可以在头脑中进行的运算。学生因此获得每一步操作的意义，而不仅

仅是形式的操作各种数学的符号、语言、图象以及各种表象。（2）组合或协调：即通过组

合或协调已有的运算过程建构一个新的过程。（3）压缩或凝聚。即把一个动态的过程转换

为一个静态的对象。“外部活动或心智运算此时成为思维或同化的对象。”因此我们可以把

一些数学知识看作一个整体结构来思考。随着从动态的过程到静态对象的循环往复，我们的

数学知识从一个小的结构到成为一个更复杂的结构，不断发展。“压缩”的哲学意义就是

建构一个新的形式，它不仅与原来的形式有关而且把其作为新形式的内容。（4）一般化。

把已有的图式结构应用于更广泛的情形。例如当个体能把两个量的比看作对象时，利用已有

的等量图式应用于两个量的比得到比例的概念。止匕时，个体不需要改变原来的图式，只是把

以前的图式（例如两个整数（式）相等）看作现在的特例。因此这种一般化的本质是扩大了

原来图式应用范围，是外延一般化。

美国杜宾斯基等人"认为，这四种建构过程的结果分别对应不同认知水平的概念，因此

他运用动作（action）、过程（process）、对象（object）和图式结构（schemas）四种心智建构

描述个体理解高级数学概念的内涵，其中动作、过程、对象是三种基本建构，这些心智结构

又以某种方式组织成处理问题情境的图式。而一个人数学知识的发展既表现为从低层级的心

智结构向高一层级心智结构的序列发展，又表现为不同水平上心智结构之间灵活、协调的相

互作用。这就是APOS理论。

各个心智建构及其相互作用的本质如下：

活动是指基于物理的或心智的对象所发生的转换，促使转换发生的动因是对象的一些

外部的表面特征，例如个体是依据对程序步骤的回忆或在公式、法则的按步指导下完成操作

或运算。一个动作可能只包含一个步骤也可能包含多个步骤，但下一步只能由上一步引出。

过程当个体能够反思全部动作图式时，受外部驱使的动作逐渐转换为受个体控制的心

智运算，这个转换活动称为内化。在过程水平个体可以不必进行实际操作活动而在“头脑中

思考”全部操作步骤，并伴随反复操作最终趋于较少意识参与的自动化水平。它类似Piaget

提出的“运算”概念。一个过程可以包含几个可以获得相同结果的不同程序。例如符号2（x+3）

与2x+6分别对应两个不同的计算序列，但从过程水平看是相同的，因为它们输入相同的值

总是得到同样的输出值。

一旦学生建构起一个过程，就可能协调两个或更多的过程成为一个新的过程或者建构过

程的反演。动作与过程的区别在于转换是受外部驱动还是受个体支配。

对象当个体可以反思获得相同结果的所有不同运算程序，并且能看作一个整体，可以

被更高水平的运算（新的动作或过程）来操作时，表明一个过程正在凝聚并向一个心智对象

转换。当问题要求从对象通过解凝聚（de-encaPsulate）返回，重新表征过程建构时，个体

必须把这个概念首先看作对象。例如“考虑全体正实数集合R，,规定：&必8=。5；kOa=

a）证明R'构成实数域R上向量空间。”就要求先把“线性空间”概念看作对象，然后通过

解凝聚回到相应的各个“过程”一证明对两种运算封闭，并满足8条公理性质。

图式是指与这个概念有关的所有动作、过程和对象以及与这个概念有关的其它概念图

式形成一个新图式。图式的意义在于不需实际解题，就可以明确一个问题是否与这个概念有

关。图式的发展一般经历由低到高的三个阶段：第一阶段，个体还不能明确组成图式的各成

分之间的关系。第二阶段，能认识各个成分之间的关系，但还不能感知它们作为一个单个整

体对象的面貌。第三阶段，能把组成图式的各个成分及其关系作为一个程序组块，即个体能

把一个图式作为一个整体对象来思考和操作。这个过程称为图式的主题化。因此APOS理论

中的“对象”实际有两种建构方式：把过程概念压缩或通过图式的主题化。

如果一个图式没有主题化，认知个体就表现为虽然掌握相关知识，但遇到一个新情境下

的问题，不能有意识地应用知识解决问题。图式在这里类似Tall等提出的概念意象？即

个体心智中存在的与给定概念有关的所有认知结构，包括各种心智表象、有关性质和（运算）

过程。区别是图式强调组成成分之间必须协调、不能存在矛盾。

各种水平的心智结构并不是以替代的形式从低向高发展，而是共存在与这个概念有关的

图式中，并随着个体的概念发展而不断精致。

对任意角三角函数概念教学的启示

要建立任意角三角函数概念，角的概念先扩大，角的表示（过程的）：正角、零角、负

角，象限角，与角a终边相同的角，｛a+4・360。｝至IJ｛a+兼加｝（结构的），学生对角的概念

的图式重新组织，整理成弧度的形式才更适宜后面内容的学习。

任意角三角函数与锐角三角函数的关系是“上下位”关系，即任意角三角函数的概念是

抽象度更高、包摄范围更广的概念。因此，学生学习这个概念是以顺应为主的认知过程，产

生与原认知结构不协调的方面是：首先，要建立锐角三角函数的一个等价的表示过程，即放

在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，进一步用终边与单位圆的交点的坐标表示。其

次，在不同象限下，角B所对应的三角函数的表示，符号等；第三，任意角三角函数的定义

域、值域。

用APOS理论表示就是：

活动1：取一个锐角a。放在坐标系下，始边与x轴的正半轴重合，终边在第一象限内。

让学生观察，进而探索发现，用终边上点的坐标计算sina°,cosa0,tga°.体验用单位圆

与终边交点的坐标表示sina°,cosa0,tga0.

过程1,学生能内化上面的过程，用符号运算表示出任意的第一象限内的角a的三角函

数，例如，单位圆与终边交点P的坐标是（x,y）,贝=

活动2,学生观察终边在其它象限下的角的三角函数的情形。主要是表示，以及三角函

数值的符号的变化。

过程2,学生能内化上面的体验。知道不同的象限角的三角函数与其终边与单位圆交点

的关系，表示，以及函数值符号的变化。

对象1,对上述过程进行压缩，归纳概括出定义，即利用单位圆定义任意角的三角函数，

并明确确定其定义域、值域。

图式1,学生能与已有的相关知识建立起联系。例如弧度的概念，锐角三角函数、函数

的概念等等。此时学生能回答诸如“锐角三角函数与任意角三角函数的区别是什么？”

杜宾斯基强调，学生建构概念意义的过程并非都沿着：活动一过程一对象一图式的顺序

线性发展的，而是经常会由对象通过解压缩返回到过程，或者掌握一个过程的逆过程，由一

个过程复合另一个过程形成新的“过程”，等等。例如，上述过程的逆过程包括：由三角函

数值判断角所在的象限；由给出的角（特殊值）求其终边与单位圆的交点，等等。随着进一

步学习，学生的任意角三角函数概念还要不断发展，例如角a与-a,2n-a,Ji-a,n+

a等的三角函数值的关系，止匕时，学生计算一个角P的三角函数值的方法途径（过程）更多，

这样学生就形成许多新的“过程”，因而在处理有关问题时就更灵活。因此，要使学生形成

良好的任意角三角函数概念，就要重视对“过程”的教学和反思。

3.数学史的启发

数学史反映了人类探索数学规律的自然发展过程，这个过程对教学设计中如何预设学生

的认知发展顺序，以及预测学生可能的学习困难都很有启发。以本设计为例。陈振宣先生在

2008年第10期《中小学数学》（高中版）上撰文“三角函数定义的比较研究”，提出原来

教材中采用的定义方式其实是欧拉于1748年提出的，现教材中定义的方式是上述方法与单

位圆相结合后的产物，所以从认知的角度讲，可能前面的方法更容易让学生接受，当然单位

圆的方法有更多优点，特别是在后面的学习中，它的作用会愈发突出。因此，在采用单位圆

定义之前，可以先用坐标系的方法作为铺垫，这在白涛老师关于“任意角三角函数”的教学

设计中已有体现。

三、对新的教学设计的建议

综上，作为任意角三角函数的第一节课，我认为中心任务应该是让学生建立起计算一个

任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系（过程的），并在此基础上初步建立任意

角三角函数概念的意义（对象的）。因为大量有关三角函数的运算还要依赖后面的知识才能

完成。

以上述理论为基础，对任意角三角函数概念的教学设计，可以在原设计方案基础上，当

学生组织起锐角三角函数的概念，例如计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论（与

点的位置的选取无关）后，首先提供“坐标系”作为脚手架，并引发学生的认知冲突一“在

坐标系下，如何研究一个任意角的三角函数？”并以坐标系为平台，有层次的研究随角的变

化，即第一象限下的锐角（认识研究方法的变化，以及符号表示的变化）——0、2m范围内

的角（认识该范围内角的三角函数的表示方法，特别是值域的变化）一一不同象限下终边相

同的角（逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程）。

通过观课及课后的研讨，我的另一点体会是，教学设计既要重视“承上”，即与学生原

有认知结构的联系，也要重视“启下”，即从后续知识发展的角度审视教学安排。有关的例

子，一个是陶老师谈到，锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而

不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下,对学生概念的迁移会更有帮助。

另一个是，我想到的，本章第一节“任意角和弧度制”，应该完成用弧度制表示一个角a及

其终边相同的角的集合如何表示，会对本节课“任意角的三角函数”概念的教学更有意义。

课后反思：

1、，由于本节课知识点设置比较多，上课比较赶，将主要精力集中在

完成教学任务，没有很好的注意学生的反应，同时师生互动较少，

留给学生思考、探讨的空间不够。

2、授课过程中缺少衔接过渡语句，没有很好的将每一部分的知识点

与下一个知识点进行良好的衔接。

3、语音过于平淡，没有起伏，声音力度有待加强，培养语言的吸引

力。

4、对课程内容，尤其是引入新的定义时，一定要注重强调定义的运

用，回归定义，某些技巧性的东西不易在新课教学中强调。如“三

角函数值在各个象限的符号总结为：一全正，二正弦，三正切，

四余弦。”

5、教学过程中对任意角的三角函数采用了老教材中的方法进行讲解,

而对单位圆定义的三角函数强调的还不够，在今后的教学过程中

还是要注意单位圆的相关补充。至于老教材中的方法和新教材中

得单位圆定义法，孰好孰坏，只有在慢慢的实践过程中找到定论，

但是单位圆定义对于后面的教学是具有辅助作用的。

高一数学必修4任意角的三角函数

第一课时：1.2.1任意角的三角函数（一）

教学要求：掌握任意角的三角函数的定义；已知角a终边上一点，会求角a的各

三角函数值.

教学重点：熟练求值.

教学难点：理解定义.

教学过程：

一、复习准备：

1.用弧度制写出终边在下列位置的角的集合：坐标轴上；第二、四象限

2.锐角的三角函数如何定义？

3.讨论：以上定义适应任意角的三角函数吗？如何定义？

二、讲授新课：

1.教学任意角的三角函数的定义：

①讨论：锐角a的终边交单位圆于点P（X,力的坐标与a三角函数有何关系？

一推广：任意角

②定义：设a是一个任意大小的角，角a的终边与单位圆交于点尸（x,y）,

贝Usina=y,cosa=x,tana=2.

x

②讨论：与点尸的位置是否有关？

a与2kn+a的三角函数值有何关系？

当a的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？

任何实数是不是有三角函数值？

三个三角函数的定义域情况是怎样的？

2.教学例题：

①出示例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值

3兀、一2兀、—.--

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讨论求法一试求（学生板演）一订正一小结：画终边与单位圆，求交点，求

值.

②思考：