广东省中考数学模拟测试卷【含解析】

2021年广东省中考数学模拟测试卷

一、选择题(本大题10小题，每题3分，共30分)在每题列出的四个选项中，只有一个是正确

的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1.(3分)-2的绝对值是()

A.2B.-2C.1-D.±2

2

2.(3分)某网店2021年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表

示为()

A.2.21X106B.2.21X105C.221X103D.0.221X106

3.13分)如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是()

主总I

,R

4.13分)以下计算正确的选项是()

A.伊+$=占B.b},b3=t>)C.a2+a2=2a2D.(a3)3—a6

5.13分)以下四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(

A逸c©DA

6.13分)数据3,3,5,8,11的中位数是()

A.3B.4C.5D.6

7.13分)实数小〃在数轴上的对应点的位置如下图，以下式子成立的是(

,a.b,

-2*-1_0_*12*

A.a>bB.\a\<\b\C.a+b>0D.且<0

b

8.13分)化简标的结果是()

A.-4B.4C.±4D.2

9.（3分）xi，X2是一元二次方程7-2x=0的两个实数根，以下结论错误的选项是（

A.B.xi2-2xi—0C.XI+X2=2D.XI*X2=2

10.（3分）如图，正方形的边长为4,延长C8至E使EB=2,以E8为边在上方作

正方形EFG8,延长尸G交。C于连接AM,AF,”为4。的中点，连接厂”分别与

AB,AM交于点N、K：那么以下结论：①△AN”且△GNF；②NAFN=NHFG；③FN

—INK1,④）SAAFN：S/\ADM=1：4.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（本大题6小题，每题4分，共24分）请将以下各题的正确答案填写在答题卡相

应的位置上.

11.（4分）计算：2021°+（1）

3

12.（4分）如图，a//b,Zl=75°,那么N2=

13.14分）一个多边形的内角和是1080°,这个多边形的边数是.

14.14分）x=2y+3,那么代数式4x-8y+9的值是.

15.（4分）如图，某校教学楼AC与实验楼BO的水平间距CC=15«米，在实验楼顶部B

点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,那么教学楼AC的高度

是米（结果保存根号）.

C米D

16.14分）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如下图，小明

按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形

（图1）拼出来的图形的总长度是〔结果用含〃，匕代数式表示）.

……

图1

三.解答题（一）（本大题3小题，每题6分,共18分）

解不等式组：金-1>2①

17.（6分）

2（x+l）>4②

2厂

18.（6分）先化简，再求值：（上丁•』工，其中》=圾.

x-2x-2x2-4

19.16分）如图，在AABC中，点。是AB边上的一点.

（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作/AOE,使OE交AC于E；1不

要求写作法，保存作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，假设包_=2,求处的值.

DBEC

四、解答题（二）（本大题3小题，每题7分，共21分）

20.（7分）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了局部男生进行测试,

并将测试成绩分为A、B、C、。四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示,

根据图表信息解答以下问题：

成绩等级频数分布表

成绩等级频数

A24

B10

CX

D2

合计y

(1)x=，y=,扇形图中表示C的圆心角的度数为度；

(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体

育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率.

21.(7分)某校为了开展“阳光体育运动”，方案购置篮球、足球共60个，每个篮球的价

格为70元，每个足球的价格为80元.

(1)假设购置这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？

(2)假设购置篮球的总金额不超过购置足球的总金额，求最多可购置多少个篮球？

22.17分)在如下图的网格中，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点，△

A8C的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的话与8c相切于点。，分别交AB、AC于

点E、F.

(1)求AABC三边的长；

(2)求图中由线段E8、BC、C尸及前所围成的阴影局部的面积.

五、解答题(三)(本大题3小题，每题9分，共27分)

23.(9分)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数>=也的图象相交于A、B两点,

X

其中点4的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,〃).

(1)根据图象，直接写出满足”的X的取值范围；

(2)求这两个函数的表达式;

(3)点尸在线段AB上，且&AOP：S"op=l：2,求点尸的坐标.

24.(9分)如图1,在△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，过点C作NBCO=N

ACB交00于点D,连接A。交BC于点E,延长。C至点凡使CF=AC,连接AF.

(1)求证：ED=EC；

(2)求证：A尸是的切线；

(3)如图2,假设点G是△ACQ的内心，BC・BE=25,求BG的长.

图1图2

25.(9分)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=痣+双一型与x轴交于点A、

848

B1点A在点B右侧)，点。为抛物线的顶点，点C在)，轴的正半轴上，CO交x轴于点

F,△C4D绕点C顺时针旋转得到点A恰好旋转到点F,连接BE.

(1)求点4、B、。的坐标；

(2)求证：四边形BFCE是平行四边形；

(3)如图2,过顶点。作。轴于点£>|,点P是抛物线上一动点，过点P作尸

x轴，点M为垂足，使得△附M与△DO1A相似(不含全等).

①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；

②直接答复这样的点P共有几个？

2021年广东省中考数学模拟测试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每题3分，共30分）在每题列出的四个选项中，只有一个是正确

的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1.（3分）-2的绝对值是（）

A.2B.-2C.工D.±2

2

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答.

【解答］解:卜2|=2,应选：A.

【点评】此题考查了绝对值，解决此题的关键是明确负数的绝对值是它的相反数.

2.13分）某网店2021年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表

示为（）

A.2.21X106B.2.21X105C.221X103D.0.221X106

【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中1

《同＜10,"为整数.确定”的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的

绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1

时，〃是负数.

【解答】解：将221000用科学记数法表示为：2.21X105.

应选:B.

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10”的形式，

其中lW|a|＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

3.13分）如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是（）

主总I

R

C.IIIID.I_I

【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案.

【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如下图.

应选：A.

【点评】此题考查了简单几何体的三视图，解答此题的关键是掌握左视图的观察位置.

4.13分）以下计算正确的选项是（）

A.伊+伊=8B.$•伊=NC.a2+a2=2a2D.（/）3=。6

【分析】直接利用合并同类项法那么以及幕的乘方运算法那么、同底数基的乘法运算法

那么分别化简得出答案.

【解答】解：A、b6^h3=h3,故此选项错误；

B、伊•伊=伊,故此选项错误；

C>ci1+dl=2a2,正确；

。、（点）3=/,故此选项错误.

应选：C.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及基的乘方运算、同底数幕的乘法运算，正确掌

握相关运算法那么是解题关键.

5.（3分）以下四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（

Ac©DA

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

应选：C.

【点评】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部

重合

6.13分）数据3,3,5,8,11的中位数是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可.

【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3,3,5,8,11,

故这组数据的中位数是，5.

应选：C.

【点评】此题考查了中位数的概念：把一组数据按从小到大的顺序排列，最中间那个数

或中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.

7.〔3分）实数八6在数轴上的对应点的位置如下图，以下式子成立的是（）

।a，,b,

-2*-1~~0*1F

A.a>bB.|a|<|Z）|C.a+b>0D.且<0

b

【分析】先由数轴可得-2<a<-1,0V6V1,且⑷>步|,再判定即可.

【解答】解：由图可得：-2<a<-1,0<b<l,

.,.a<b,故A错误；

\a\>\b\,故8错误;

a+b<0,故C错误；

A<0,故£>正确；

b

应选：D.

【点评】此题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定〃，人的取值范围.利

用数轴可以比拟任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的

大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

8.（3分）化简的结果是（）

A.-4B.4C.±4D.2

【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可.

【解答】解：J42=.16=4.

应选：B.

【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要

明确：①被开方数。是非负数；②算术平方根。本身是非负数.求一个非负数的算术平

方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运

算来寻找.

9.（3分）X”刈是一元二次方程，-2x=0的两个实数根，以下结论错误的选项是（

A.xiWx2B.xi2-2xi=0C.X1+X2—2D.xi,X2—2

【分析】由根的判别式△=4>0,可得出制金》2,选项A不符合题意；将肛代入一元二

次方程/-2x=0中可得出川2-友|=0,选项8不符合题意；利用根与系数的关系，可

得出XI+X2=2,X「X2=0,进而可得出选项C不符合题意，选项。符合题意.

【解答】解：：△=（-2）2-4XlX0=4>0,

'.x\^x2,选项A不符合题意；

V%）是一元二次方程?-2x=0的实数根，

/.xi2-2xi=0,选项8不符合题意；

X2是一元二次方程f-2x=0的两个实数根，

.,.X\+X2=2,XI・X2=0,选项C不符合题意，选项。符合题意.

应选：D.

【点评】此题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题

的关键.

10.13分）如图，正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作

正方形EFGB,延长FG交0c于连接AM,AF,〃为的中点，连接FH分别与

AB,AM交于点、N、K：那么以下结论：①）丛ANH'名丛GNF；@ZAFN=ZHFG-,③FN

=2NK；④SMFN：SA4W=1：4.其中正确的结论有（）

【分析】由正方形的性质得到FG=BE=2,ZFGB=90°,40=4,AH=2,ZBAD=

90°,求得NHAN=NFGN,AH=FG,根据全等三角形的定理定理得到△AN"也△GNF

（A4S）,故①正确；根据全等三角形的性质得到N4HN=NHFG,推出/4H/W/AHF,

得到NAFN/NHFG,故②错误；根据全等三角形的性质得到4N=LG=1,根据相似

2

三角形的性质得到乙4HN=NAA/G,根据平行线的性质得到//MK=NAMG,根据直角

三角形的性质得到FN=2NK；故③正确；根据矩形的性质得到OM=AG=2,根据三角

形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：•.•四边形EFG8是正方形，EB=2,

：.FG=BE=2,N尸GB=90°,

:四边形ABC。是正方形，以为AO的中点，

：.AD=4,AH=2,

NBAD=90°,

:.NHAN=NFGN,AH=FG,

,/ZANH=ZGNF,

:.AANH注/XGNF(A4S),故①正确；

:.NAHN=NHFG,

"：AG=FG=2=AH,

:.AF=MFG=，^H,

：.NAFHWNAHF,

:./AFN〜HFG,故②错误；

,:△ANHQ/\GNF,

.•.AN=LG=I,

2

"：GM=BC=4,

•AH_GM_9

ANAG

VZHAN=ZAGM=90Q,

・•・XAHNsXGMA,

・・・4AHN=ZAMG,

♦：AD〃GM,

：.ZHAK=NAMG,

・・・ZAHK=ZHAK,

：.AK=HK,

:・AK=HK=NK,

'：FN=HN,

:.FN=2NK；故③正确;

；延长FG交DC于M,

二四边形AOMG是矩形,

：.DM=AG=2,

VS^FN^—AN-x2X1=1,5揖0"=^4。.。知=工义4义2=4,

2222

:,SAAFN：S^ADM=1：4故⑷正确，

【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性

质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

二.填空题（本大题6小题，每题4分，共24分）请将以下各题的正确答案填写在答题卡相

应的位置上.

11.（4分）计算：2021°+（1）4.

3

【分析】分别计算负整数指数第、零指数基，然后再进行实数的运算即可.

【解答】解：原式=1+3=4.

故答案为：4.

【点评】此题考查了实数的运算，解答此题关键是掌握负整数指数嘉及零指数募的运算

法那么，难度一般.

12.（4分）如图，a//h,Zl=75°,那么N2=105°.

【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可.

【解答】解：.直线L直线小b相交，且a〃江/1=75°,

1

3a

------/-------------b

.\Z3=Z1=75O,

.,.Z2=180°-Z3=180°-75°=105°.

故答案为：105°

【点评】此题考查平行线的性质，解题关键为：两直线平行，同旁内角互补，对顶角相

等.

13.14分)一个多边形的内角和是1080°,这个多边形的边数是8.

【分析】根据多边形内角和定理：(«-2)-180523)可得方程180(x-2)=1080,

再解方程即可.

【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：

180(x-2)=1080,

解得：x=8,

故答案为：8.

【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：5-2)780

23).

14.(4分)x=2y+3,那么代数式4A-8y+9的值是21.

【分析】直接将变形进而代入原式求出答案.

【解答】解：•.”=2y+3,

•»x~2y=3,

那么代数式4x-8y+9=4(x-2y)+9

=4X3+9

=21.

故答案为：21.

【点评】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键.

15.(4分)如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15米，在实验楼顶部8

点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,那么教学楼AC的高度

是（15+15E）米〔结果保存根号）.

【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形.此题涉及到两个直角三角形△BEC、

△ABE,进而可解即可求出答案.

【解答】解：过点B作BE1AB于点E,

在RtaBEC中，ZCBE=45°,BE=15册；可得CE=BEXtan45°=15«米.

在RtZiABE中，/A8E=30°,BE=15炳,可得AE=8EXtan30°=15米.

故教学楼AC的高度是AC=15我+15米.

答：教学楼4c的高度是（1573+15）米.

【点评】此题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结

合图形利用三角函数解直角三角形.

16.14分）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如下图，小明

按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形

（图1）拼出来的图形的总长度是a+8b（结果用含a,b代数式表示）.

……

图1图2

【分析】用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠局部，即可得到拼出来的图形的总

长度.

【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度=9“-8（a-幻=a+Sb.

故答案为：a+Sb.

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对

称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案.

三.解答题（一）（本大题3小题，每题6分，共18分）

\-1>20

17.〔6分〕解不等式组：

2(x+l)>4②

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共局部就是不等式组

的解集.

'x-l>2①

【解答】解:

2(x+l)>4②

解不等式①，得x>3

解不等式②，得x>l

那么不等式组的解集为x>3

【点评】此题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求

不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）.

12厂

18.（6分）先化简，再求值：［上-」_）+23，其中

x-2x-2X2.4

【分析】先化简分式，然后将x的值代入计算即可.

［解答］解：原式=2ZL.（X+?（X：2）

x-2x（x-l）

_x+2

x

当时，

原式=近+1

V2

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法那么是解题的关键.

19.16分）如图，在△48C中，点。是边上的一点.

（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作NAOE,使OE交AC于E；（不

要求写作法，保存作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，假设坦=2,求逆的值.

DBEC

B

【分析】（1）利用根本作图（作一个角等于角）作出NAOE=NB；

（2）先利用作法得到那么可判断DE//BC,然后根据平行线分线段成比

例定理求解.

【解答】解：［1）如图，N4OE为所作；

（2）VZADE=ZB

J.DE//BC,

AAE=_^D=2>

ECDB

【点评】此题考查了作图-根本作图：熟练掌握根本作图（作一条线段等于线段；作一

个角等于角；作线段的垂直平分线；作角的角平分线；过一点作直线的垂线）.

四、解答题（二）（本大题3小题，每题7分，共21分）

20.（7分）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了局部男生进行测试,

并将测试成绩分为A、B、C、。四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，

根据图表信息解答以下问题：

成绩等级频数分布表

成绩等级频数

A24

B10

CX

D2

合计y

（1）x=4,产40,扇形图中表示C的圆心角的度数为36度:

（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体

育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率.

成绩等级扇形统计图

【分析】11）随机抽男生人数：10・25%=40（名），即y=40；C等级人数：40-24-

10-2=4（名），即x=4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°xA=36°；

40

（2）先画树状图，然后求得P（同时抽到甲，乙两名学生）=1=1.

63

【解答】⑴随机抽男生人数：抽+25%=40（名），即＞=40；

C等级人数：40-24-10-2=41名），即x=4；

扇形图中表示C的圆心角的度数360°X_£=36°.

40

故答案为4,40,36；

（2）画树状图如下：

开始

P（同时抽到甲，乙两名学生）=-2=1.

63

【点评】此题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键.

21.（7分）某校为了开展“阳光体育运动”，方案购置篮球、足球共60个，每个篮球的价

格为70元，每个足球的价格为80元.

（1）假设购置这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？

（2）假设购置篮球的总金额不超过购置足球的总金额，求最多可购置多少个篮球？

【分析】（1）设购置篮球x个，购置足球y个，根据总价=单价X购置数量结合购置篮

球、足球共60个'购置这两类球的总金额为4600元，列出方程组，求解即可；

(2)设购置了〃个篮球，那么购置(60-〃)个足球，根据购置篮球的总金额不超过购

置足球的总金额，列不等式求出x的最大整数解即可.

【解答】解：(1)设购置篮球x个，购置足球y个，

依题意得：卜+支60

170x+80y=4600

解得产0.

ly=40

答：购置篮球20个，购置足球40个；

(2)设购置了a个篮球,

依题意得：70aW80(60-a)

解得“W32.

答：最多可购置32个篮球.

【点评】此题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，根据各数量间的

关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键.

22.17分〕在如下图的网格中，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点，△

A8C的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的话与8c相切于点。，分别交48、AC于

点E、F.

(1)求△ABC三边的长；

(2)求图中由线段EB、BC、CF及官所围成的阴影局部的面积.

【分析】(1)根据勾股定理即可求得；

(2)根据勾股定理求得AD,由⑴得，AB2+AC2=BC2,那么NBAC=90°,根据S阴

=SAABC-S南形AEF即可求得.

【解答】解：［1)45=正元=2/，

AC=d62+22=2VT6,

BC=N42+g2=4泥；

(2)由(1)得，AB2+AC1=BC2,

：.ZBAC=90°,

连接AD,AD=Q22+42=2*\/^,

2

•'.Siiii=5A4BC-S扇形AEF=LB・AC--TT*A£>=20-5ir.

24

【点评】此题考查了勾股定理和扇形面积的计算，证得AABC是等腰直角三角形是解题

的关键.

五、解答题(三)(本大题3小题，每题9分，共27分)

23.(9分)如图，一次函数尸如x+匕的图象与反比例函数尸也的图象相交于4、8两点,

X

其中点A的坐标为(-1,4),点8的坐标为(4,〃).

(1)根据图象，直接写出满足”的X的取值范围；

(2)求这两个函数的表达式；

(3)点P在线段AB上，且S.OP：SMOP=1：2,求点尸的坐标.

V

【分析】(1)根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求X的取值范围；

(2)将点A,点B坐标代入两个解析式可求幻，”，ki，方的值，从而求得解析式;

(3)根据三角形面积相等，可得答案.

【解答】解：［1)•.•点A的坐标为(-1,4),点8的坐标为(4,”).

由图象可得：kix+6>殳的x的取值范围是x<-1或0<x<4；

X

(2)•••反比例函数y="的图象过点A(-1,4),B(4,n)

，左2=-1义4=-4,42=4〃

：.n=-1

：.B(4,-1)

•・•一次函数y=hr+b的图象过点A,点B

.f-kj+b=4

…4kjb=-1'

解得：k\=-\.b=3

直线解析式y=-x+3,反比例函数的解析式为y=-1；

x

(3)设直线AB与)，轴的交点为C,

：.C(0,3),

』AOC=LX3X1=3,

22

-■•5AAOB—SAAOC+SABOC=—X3X1+—x3X4=—,

222

,**S^AOP-SABOP=L2,

Sz\A0尸=-^^X—=-^_,

232

：.S^COP=—--=h

22

.」X3・xp=l,

2

3

•.•点户在线段A8上，

【点评】此题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点

的坐标满足图象的解析式是此题的关键.

24.(9分)如图1,在△ABC中，AB=AC,。0是△ABC的外接圆，过点C作NBCC=/

AC8交00于点。，连接4。交BC于点E,延长。C至点F,使CF=AC,连接AF.

(1)求证：ED=EC；

(2)求证：A尸是。。的切线；

【分析】(1)由A8=AC知/A8C=NACB,结合/ACB=N2C£>,NA8C=NAZ)C得

ZBCD^ZADC,从而得证；

(2)连接。A,由NCAF=NC必知NACO=NCA尸+NC或=2NCAF,结合NAC8=N

BCD得/ACD=2NACB,ZCAF=ZACB,据此可知AF〃8C,从而得0A_LAF,从而

得证；

(3)证△ABfs/XCBA得AB2=BC，8E,据此知48=5,连接AG,得NBAG=NBAD+

ZDAG,ZBGA=ZGAC+ZACB,由点G为内心知NOAG=NGAC,结合4G

=NGAC+NACB得NBAG=N8GA,从而得出BG=AB=5.

【解答】解：⑴：A8=AC,

/42C=ZACB,

又NACB=NBCD,NABC=ZADC,

：.ZBCD=ZADC,

：.ED=EC；

(2)如图1,连接0A,

,.・A8=AC,

AB=AC，

：.OA±BC,

VCA=CF,

AZCAF=ZCM,

JZACD=ZCAF+ZCFA=2ZCAFf

•:/ACB=NBCD,

：.ZACD=2ZACB,

：.ZCAF=ZACB,

：.AF//BC,

：.OA±AFf

・・・A尸为OO的切线;

(3)VZABE=ZCBA9NBAD=NBCD=NACB,

：.AABE^ACBA,

AAB=BE,

*,BCAB，

:.AB2=BC^BE,

♦：BC・BE=25,

・・・A8=5,

如图2,连接AG,

ZBAG^ZBAD+ZDAG,NBGA=NGAC+NACB,

•.•点G为内心，

：.ZDAG=ZGAC,

又,:ZBAD+ZDAG=ZGAC+ZACB,

；./BAG=NBGA,

：.BG=AB=5.

【点评】此题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相

似三角形的判定与性质等知识点.

25.(9分)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线＞=国+运一型与x轴交于点A、

848

B1点4在点8右侧)，点。为抛物线的顶点，点C在)，轴的正半轴上，CD交x轴于点

F,△C4Q绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.

(1)求点A、B、。的坐标；

(2)求证：四边形BFCE是平行四边形；

(3)如图