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文档简介
专题34三角形的内切圆问题【规律总结】1、“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.” 又可叙述为:“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”2、“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.”【典例分析】例1.(2020·湖北武汉市·九年级月考)如图,在中,其周长为20,是的内切圆,其半径为,则的外接圆半径为()A.7 B. C. D.【答案】D【分析】过C作CD⊥AB于D,由结合面积求出BC的长,由内心可以求出,的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点,过O作OE⊥BC于E,求出圆心角,最后由垂径定理求出半径OB【详解】过C作CD⊥AB于D,的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点,过O作OE⊥BC于E,设,∵,∴,∵在周长为20,内切圆半径为,∴,∴∴中,∴∵在周长为20,∴∴解得∵是的内心∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB∴∵∴∴∵°∴∴∵OE⊥BC∴,∴故选D【点睛】本题综合考察三角形的内心和外心,熟记内心和外心的性质是解题的关键例2.(2019·广东广州市·九年级一模)如图,在中,,,,⊙为的内切圆,,与⊙分别交于点,.则劣弧的长是_______.【答案】【分析】先利用勾股定理计算出,再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到,接着三角形角平分线的性质得到,然后根据弧长公式计算劣弧的长.【详解】解:,,,,为的内切圆,,平分,平分,,劣弧的长.故答案为.【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式.例3.(2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级)如图1,设是一个锐角三角形,且,为其外接圆,分别为其外心和垂心,为圆直径,为线段上一动点且满足.(1)证明:为中点;(2)过作的平行线交于点,若为的中点,证明:;(3)直线与圆的另一交点为(如图2),以为直径的圆与圆的另一交点为.证明:若三线共点,则;反之也成立.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析【分析】(1)连接AD,BD,得,结合H为垂心,,得出四边形为平行四边形,得到,结合平行,O为CD中点,可得M为BC中点;(2)过作,由,为平行四边形,证明H为的垂心,从而得到;(3)设与交点为,得到,证明H是的垂心,证明三线共点得三点共线,得到.【详解】解:(1)连接,则,又为垂心∴,∴∴四边形为平行四边形∴,又为中点∴为中点(2)过作连接,由(1)可知四边形为平行四边形,四边形为平行四边形∵∴∴为垂心∴∴(3)设与交点为由(1)可知四边形为平行四边形∴为直径中点而圆与圆相交弦为∴∴设则为垂心∴三线共点三点共线【点睛】本题考查了圆内的综合问题,熟知圆的性质,平行四边形的判定和性质,垂心的作用是解题的关键.【好题演练】一、单选题1.(2020·浙江金华市·九年级学业考试)如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是()A.65° B.60° C.58° D.50°【答案】B【分析】连接OE,OF.求出∠EOF的度数即可解决问题.【详解】解:如图,连接OE,OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆,E,F是切点,
∴OE⊥AB,OF⊥BC,
∴∠OEB=∠OFB=90°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,
∴∠EOF=120°,
∴∠EPF=∠EOF=60°,
故选:B.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.2.(2020·浙江温州市·九年级二模)如图,已知矩形的周长为,和分别为和的内切圆,连接,,,,,若,则的长为()A. B. C. D.【答案】B【分析】设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,由矩形的对称性知,结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式,再由推导出x、y、r的关系,从而分别求出r,xy、的值,最后由勾股定理求得EF值.【详解】如图,设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,则AC=∵矩形的周长为,∴x+y=8①∵和分别为和的内切圆,∴②由矩形的对称性知,∵,∴,∴,即③由①、②、③联立方程组,解得:r=1,xy=14,,作EH⊥FH于H,由勾股定理得:=36-32+8=12,∴EF=,故选:B.【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识,熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.二、填空题3.(2019·沙坪坝区·重庆八中九年级月考)如图,是四边形的内切圆,连接、、、.若,则的度数是____________.【答案】【分析】如图,设四个切点分别为点,分别连接切点与圆心,可以得到4对全等三角形,进而得到,,,,根据这8个角和为360°,∠1+∠8=,即可求出=∠5+∠4=72°.【详解】解:设四个切点分别为点,分别连接切点与圆心,则,,,且,在与中∴,∴,同理可得:,,,.故答案为:【点睛】本题考查了切线的性质,添加辅助线构造全等等知识点,一般情况下,已知直线为圆的切线,构造过切点的半径是常见辅助线做法.4.(2019·湖南广益实验中学九年级月考)如图,将边长为8的正方形纸片沿着折叠,使点落在边的中点处。点落在点处,与交于点,则的内切圆半径的长为___________.【答案】【分析】由勾股定理可求ME=5,BE=3,通过证明△AMG∽△BEM,可得AG=,GM=,即可求解.【详解】解:∵将边长为8的正方形纸片沿着折叠,使点落在边的中点处,∴ME=CE,MB=AB=4=AM,=90°,在Rt△MBE中,ME2=MB2+BE2,∴ME2=16+(8-ME)2,∴ME=5,∴BE=3,∵=90°=∠B,∴∠EMB+∠BEM=90°,=90°,∴,且=90°,∴△AMG∽△BEM,∴,∴,∴AG=,GM=,∴△AMG的内切圆半径的长=故答案为:【点睛】本题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质,解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质求出AG、GM的长度.三、解答题5.(2019·浙江杭州市·九年级)如图1,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上,为坐标原点,现将正方形绕点按顺时针方向旋转,旋转角为()(1)当点落到轴正半轴上时,求边在旋转过程中所扫过的面积;(2)若线段与轴的交点为(如图2),线段与直线的交点为,当时,求此时内切圆的半径;(3)设的周长为,试判断在正方形旋转的过程中值是否发生变化,并说明理由.【答案】(1);(2);(3)不发生变化,理由见详解.【分析】(1)由题意当点落到轴正半轴上时,边在旋转过程中所扫过的面积由此计算即可.(2)如图2中,在取一点,使得,首先证明是等腰直角三角形,推出,设,则,可得,解得,推出,同理可得,推出,设的内切圆的半径为,则有,由此求出即可解决问题.(3)在正方形旋转的过程中值不发生变化.如图3中,延长到使得.只要证明,推出,,再证明,推出,推出的周长.【详解】解:(1)如图1中,由题意当点落到轴正半轴上时,边在旋转过程中所扫过的面积.(2)如图2中,在取一点,使得,,,,是等腰直角三角形,,设,则,,,,同理可得,,设的内切圆的半径为,则有,.(3)在正方形旋转的过程中值不发生变化.理由:如图3中,延长到使得.,,,,,,,,,,,,的周长,的周长为定值.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.6.(2015·河南九年级其他模拟)阅读材料:已知,如图(1),在面积为S的△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC,△ABC被划分为三个小三角形.∴.(1)类比推理:若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),如图(2),各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r;(2)理解应用:如图(3),在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=21,CD=11,AD=13,⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆,设它们的半径分别为r1和r2,求的值.【答案】(1)(2).【分析】(1)如图,连接OA、OB、OC、OD,则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形,根据即可求得四边形的内
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