专题5.1 认识一元一次方程【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

专题5.1认识一元一次方程【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1方程的概念辨析】 1【题型2列方程】 2【题型3一元一次方程的概念辨析】 3【题型4根据方程的解求值】 3【题型5利用等式的性质判断变形正误】 4【题型6利用等式的性质解方程】 4【题型7利用等式的性质比较大小】 5【题型8等式的性质在天平中的运用】 5【题型9利用等式的性质检验方程的解】 6【题型10方程的解的规律问题】 7【知识点1方程的定义】方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．【题型1方程的概念辨析】【例1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中：①2x-1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2-5x-1，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【变式1-1】（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（

）A．绝对值 B．有理数 C．代数式 D．方程【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）下列各式中不是方程的是（）A．2x+3y=1 B．3π+4≠5C．﹣x+y=4 D．x=8【变式1-3】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：x-1+2=3，下列说法正确的是（

A．不是方程 B．是方程，其解只有2C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2【题型2列方程】【例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）七年级学生人数为x，其中男生占52%，女生有150人，下列正确的是（

）A．1-52%x=150 B．x=150-52%xC．(1+52%)x=150 D．(1-52%)x=150【变式2-1】（2023秋·山西阳泉·七年级统考期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（

）A．一个数的13是6 B．x与1的差的C．甲数的2倍与乙数的13 D．a与b的和的【变式2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为．【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级校联考期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（

）A．π×(82C．π×82x=π×【知识点2一元一次方程的定义】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．【题型3一元一次方程的概念辨析】【例3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程2x-y=6，x+1x-3=0，12x=A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-1】（2023春·上海·六年级校考期中）方程4-3x2=1中，一次项是【变式3-2】（2023秋·全国·七年级统考期末）下列各式中：2x-1=0，3x=-2；10x2-7x+2；5+(-3)=2；x-5y=1；x2-2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为【变式3-3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）若方程□-x=1是一元一次方程，则□不可以是（

）A．0 B．14x C．y D【知识点3方程的解】解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．【题型4根据方程的解求值】【例4】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）若关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，则6a+3b=【变式4-1】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）若x=4是方程mx-3=5的解，则m=．【变式4-2】（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x-3-■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（A．6 B．5 C．4 D．1【变式4-3】（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）若关于x的一元一次方程12023x-1=b的解为x=3，则关于x的一元一次方程12023x+1【知识点4等式的性质】性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【题型5利用等式的性质判断变形正误】【例5】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列利用等式的基本性质变形错误的是（

）A．如果x-5=12，则x=12+5 B．如果-4x=8，则x=-2C．如果13x=9，则x=3 D．如果4x+1=9【变式5-1】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知3a=2b，则下列选项中的等式成立的是（

）A．9a=4b B．a3=b2 C．【变式5-2】（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若a=b≠0，则下列式子中正确的是（填序号）．①a-2=b-2，②13a=12b，③【变式5-3】（2023春·上海黄浦·六年级统考期中）解方程x0.7-1.7-2xA．10x7-17-20xC．10x7-17-2x【题型6利用等式的性质解方程】【例6】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）用等式的性质解下列方程：(1)4x-2=2；解：方程两边同时加上，得：；方程两边同时，得：．(2)12【变式6-1】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校联考期中）利用等式性质解方程（1）2x-5=x-5（2）-【变式6-2】（2023秋·北京·七年级校考期中）利用等式性质补全下列解方程过程：3-解：根据等式性质1，两边同时，可得3-13于是-13根据____________两边同时乘以-3，可得x=_______．【变式6-3】（2023秋·湖北咸宁·七年级校考期中）利用等式的性质解方程(1)4x-4=3(x+1)(2)2y+1【题型7利用等式的性质比较大小】【例7】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是(

)A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定【变式7-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a-3b-1=5b-3a，利用等式的基本性质比较a，b的大小.【变式7-2】（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：mn（填“＞”，“＜”或“=”）．【变式7-3】（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m﹣1=34n，试用等式的性质比较m与【题型8等式的性质在天平中的运用】【例8】（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）“○”“口”“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们的大小，两次情况如图．那么，每个“○”“口”“△”按质量大小的顺序排列为（）A．〇△□ B．〇□△ C．□〇△ D．△□〇【变式8-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少()次保证可以找出这盒饼干．【变式8-2】（2023秋·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（

）

A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲【变式8-3】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：记录天平左边天平右边天平状态乒乓球总质量一次性纸杯的总质量记录一5个乒乓球，1个10克的砝码15个一次性纸杯平衡5x______记录二3个乒乓球1个一次性纸杯1个10克的砝码平衡3x______【解决问题】（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．【及时迁移】（3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡．理由：【题型9利用等式的性质检验方程的解】【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx-n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：x-5-4-3-2-11mx-n9630-3-9则关于x的方程-mx+n=9的解为（

）A．x=-5 B．x=-4 C．x=-2 D．x=1【变式9-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x=-2的是（

）A．3x-4=2 B．3x+1-3=0 C．2x=-1 D【变式9-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．(1)2x+5=10x-3,x=1(2)0.52x-1-0.52【变式9-3】（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．【题型10方程的解的规律问题】【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：x4+x-12＝1的解是x6+x-22＝1的解是x8+x-32＝1的解是…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程：．【变式10-1】（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10【变式10-2】（2023秋·七年级