专题2.4 勾股定理的应用（压轴题专项讲练）（浙教版）（原卷版）

专题2.4勾股定理的应用【典例1】吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．【思路点拨】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．【解题过程】（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，∵正方体的棱长为5cm，∴AC=10，CC1=5，∴AC1=AC2+C∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为55cm（2）分两种情况：①如图，当横向展开时：AC=10，CC1=6，∴AC1=AC2+C②如图，当竖向展开时：AD=11，DC1=5，∴AC1=AD2+D∵234＜146∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为234cm（3）圆柱侧面展开图如图所示：∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，∴BC=5，AB=5，∴AC=AB2+BC∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为52cm1．（2023春·八年级课时练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．12．（2023春·八年级课时练习）如图，高速公路上有A,B两点相距10 km，C,D为两村庄，已知DA=4 km，CB=6 km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C,D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是(A．4 km B．5 km C．6 km D．20 km3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（

）A．25 B．529 C．105+5 D．4．（2022秋·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（A．29 B．34 C．41 D．525．（2023春·八年级课时练习）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．6．（2023春·八年级课时练习）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，AD⊥BC于点D，则AD的长为______海里．7．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8cm,AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，垂足为D，已知BD=1, AD=CD=2, BC上方有一动点P，且点P到A,D两点的距离相等，则9．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF、CF，则DF+CF的最小值等于______．10．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为___________；（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值___________；（3）代数应用：求代数式x2+1+11．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．12．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，（1）在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）（2）经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．13．（2022春·四川泸州·八年级统考阶段练习）如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度数；（2）若BA为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？14．（2022秋·四川内江·八年级校考阶段练习）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处，AB=22+12=5，BC=10，（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：______．（2）思维拓展：若△ABC三边的长分别为5a、22a、17aa>0，请利用图②（3）探索创新：若△ABC三边的长分别为m2+16n2、9m2+4n2（4）直接写出当x为何值时，函数y=x15．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村庄A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：（1）将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置；（2）小明发现：设BC=x，则CD=12-x，则AC+CE=x2+（3）结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：①x2+9+②2x-2216．（2023秋·河北秦皇岛·九年级校联考期末）在我市某海域内有三个港口P、Q、M．港口M在港口P北偏东60°方向上，港口Q在港口P北偏西60°方向上．一艘船以每小时20海里的速度沿北偏东30°的方向驶离P港口5小时后到达H点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每小时36吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过100吨时，船将沉入海中．同时在H处测得港口M在H处的南偏东（1）此船在H处距离哪个港口最近？为什么？（2）此船在H处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没？并指出此时船的航行方向．17．（2023春·全国·八年级专题练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．【知识运用】（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为米．（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，现要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出AP的距离．（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式x2+25+(9-x)218．（2022秋·江苏·八年级期末）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，正方体的棱长为2cm，A是正方体的顶点，P为棱BC的中点．蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长为cm（结果保留根号）．（2）如图②，四棱锥的底面四边形ABCD是正方形，O是四棱锥的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．图③所示的四棱锥的侧面展开图中