数学物理方法第一章第一讲

《应用数学》—《数学物理方法》

主讲人：彭宏信息科学与工程学院

2013.9-2014.1《应用数学》是信息与电子科学类本科生非常重要的一门基础课。信息类本科生必须具备的五个基本知识块（电磁场与电磁波、电路与系统、信号与信息、计算机、实验技能）中的每一部分都与该课程有着非常密切的关系。

1.课程的定位

应用数学以高等数学、物理学为基础，以解决物理问题为出发点，运用微积分、微分方程、计算机编程等工具，阐明一些典型的物理过程或状态的基本概念、基本性质、基本规律和基本分析计算方法，从而揭示了其物理本质，为实际应用提供重要的指导作用。本课程为今后学习《电磁场理论》、《信号与系统》、《电路分析》、《图像处理》等课程以及在工作实践中深入学习、研究与解决各类电子信息的实际工程问题奠定必要的理论基础。2.学习目的3《应用数学》的基本内容复变函数论篇数学物理方程篇特殊函数篇计算机仿真篇4.学习方法难点：在于复杂的物理问题和简洁的数学工具的结合上；“笨”办法——用功首先是要动手。光听（课）、光看（参考书、讲义、笔记等）是远远不够的。动手不仅是做作业，最好能把主要的公式、结果自己推导一遍。推导的时候不要看书、讲义或笔记，实在做不下去的时候再参考一下。这样才知道自己什么地方不明白。这和光看不做的效果是完全不同的。多做一些作业以外的题目也是必要和有用的，但我们从不提倡同学们做习题集。其次是多思考。在推导和计算的过程中，多想一想：每一步的理由何在？用了物理定律、近似假设还是数学定理或公式？条件能否放宽？条件变了情况会如何？书上讲的或老师课堂上讲的是否有漏洞？有什么问题值得进一步考虑？得出的结果在物理上代表什么运动图象？在特殊情况或极限情况下如何？是否合理？有什么局限性？等等。有没有讨好而不吃力的方法呢？不能说肯定没有，但即使有，恐怕也不是人人都能仿效的。

学“应数”，处处有障碍；莫畏难，勤学能克关。

师生共勉

平时作业（30分）;小测验

(至少两次)（10分）;期末考试（60分）。

上述分值分配仅供参考。可以做适当微调。

5、课程考核办法联系方式Email:pengh@Tel./p>

办公室:本部信息楼(飞云楼)502室

指定教材参考书目序言

将数学思想方法应用于现代科学技术专业领域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法，从而形成了科学研究中实用性很强的数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙的数学思想，又联系了具体的研究任务和目标。脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型），数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动人类科学技术赖以发展的动力之源。《数学物理方法》复变函数论篇数学物理方程篇特殊函数篇计算机仿真篇第一篇复变函数论

《复变函数论》主要内容第一章、复数与复变函数第二章、复变函数的积分第三章、幂级数第四章、留数定理第五章、傅里叶变换第六章、拉普拉斯变换一.复数与复数运算二.复变函数三.导数四.解析函数五.平面标量场六.保角变换第一章复数与复变函数复数的发展复数的引入

需特别指出：可以证明当有三个不同的实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方(参考：范德瓦尔登着《代数学》,丁石孙译,科学出版社，1963年).至此，我们明白了这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念.卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识.“虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes）正式取定的.“虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣.

十八世纪，瑞士数学家欧拉(Leonhard·Euler，1707-1783)试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”.他在《对代数的完整性介绍》(1768－1769年在俄国出版，1770年在德国出版)一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数.所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性来说它是不可能的数.因为它们只存在于想象之中.因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是Euler首先引入符号作为虚数单位.

十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘（Argand）以及德国的数学家高斯（Gauss）等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数得到了实际应用.特别地,在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，1789－1857）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）、黎曼（Rieman，1826－1866）.柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论.

自从有了复变函数论，实数领域中的禁区或不能解释的问题，比如：负数不能开偶数次方；负数没有对数；指数函数无周期性；正弦、余弦函数的绝对值不能超过1；

……等已经不复存在.

1.1复数的概念及四则运算1.1.1复数概念

复数的无序性实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较大小，即复数是无序的.尽管复数的实部和虚部均为实数，但是由于复数是实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是不能比较大小的.问：复数为什么不能比较大小？解释：复数是实数的推广，若复数能比较大小，则它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性质.零复数一个复数等于零.不是意味着一个条件，而是意味着两个条件，即实部和虚部都等于零。1.四则运算复数的四则运算也满足交换律、结合律和分配律。

1.1.3复数的表示

（1）复数的几何表示定义复数的几何表示直角坐标表示

0q

x

y

图1.2

02πkq+

注意：Z=0，幅角没有意义。1.1.4共轭复数1.1.5复数的乘幂与方根（1）复数的乘幂

定理两个复数相乘，其模等于它们模的乘积，其辐角等于它们辐角的和。

或例求1的3次方根，并讨论根在复平面单位圆周上的位置.图1.41.1.6无穷远点A（1）复数球面（黎曼球面）1.1.6无穷远点（2）无穷远点复数球面上N极所对应的复数。实变函数中+∞只是一个符号而已，而复球面上的无穷远点∞却是一个完全确定的点，并且只有一个无穷远点。无穷远点∞