2024届湖南省衡阳县江山学校数学高一第二学期期末监测试题含解析

2024届湖南省衡阳县江山学校数学高一第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示的程序框图，若执行的运算是，则在空白的执行框中，应该填入A．B．C．D．2．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（）A．7 B．8 C．9 D．103．若，下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．4．已知向量是单位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影为，則A．36 B．21 C．9 D．65．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．6．将正整数排列如下：则图中数2020出现在（）A．第64行第3列 B．第64行4列 C．第65行3列 D．第65行4列7．如果存在实数，使成立，那么实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或8．已知函数的值域为，且图象在同一周期内过两点，则的值分别为（）A． B．C． D．9．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（）A．9 B．4 C． D．10．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知无穷等比数列满足：对任意的，，则数列公比的取值集合为__________．12．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．13．在等腰中，为底边的中点，为的中点，直线与边交于点，若，则___________．14．夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米15．已知三个顶点的坐标分别为，若⊥，则的值是______．16．函数的递增区间是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列和满足：，，，，且是以q为公比的等比数列．（1）求证：；（2）若，试判断是否为等比数列，并说明理由．（3）求和：．18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角C；（2）若，，求的面积.19．如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱中，，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：（3）求三棱锥的体积.20．如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．21．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足条件.（1）求点的轨迹的方程；（2）设点是点关于直线的对称点，问是否存在点同时满足条件：①点在曲线上；②三点共线，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】试题分析：解：运行第一次：，不成立；运行第二次：，不成立；运行第三次：，不成立；运行第四次：，不成立；运行第四次：，成立；输出所以应选D.考点：循环结构.2、B【解题分析】试题分析：设该女子第一天织布尺，则，解得，所以前天织布的尺数为，由，得，解得的最小值为，故选B．考点：等比数列的应用．3、D【解题分析】

通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.【题目详解】若，，则，错误；，则，错误；，，则，错误；，则等价于，成立，正确.本题正确选项：【题目点拨】本题考查不等式的性质，属于基础题.4、D【解题分析】

根据公式把模转化为数量积，展开后再根据和已知条件计算.【题目详解】因为在方向上的投影为，所以，.故选D.【题目点拨】本题主要考查向量模有关的计算，常用公式有，.5、B【解题分析】

根据为定值，那么乘以后值不变，由基本不等式可消去x，y后，对得到的不等式因式分解，即可解得m的值．【题目详解】因为，，，所以.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.【题目点拨】本题考查基本不等式，由为定值和已知不等式相乘来构造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解题关键．6、B【解题分析】

根据题意，构造数列，利用数列求和推出的位置.【题目详解】根据已知，第行有个数，设数列为行数的数列，则，即第行有个数，第行有个数，……，第行有个数，所以，第行到第行数的总个数，当时，数的总个数，所以，为时的数，即行的数为：，，，，……，所以，为行第列.故选：B.【题目点拨】本题考查数列的应用，构造数列，利用数列知识求解很关键，属于中档题.7、A【解题分析】

根据，可得，再根据基本不等式取等的条件可得答案.【题目详解】因为，所以，即，即，又（当且仅当时等号成立）所以，所以.故选：A【题目点拨】本题考查了余弦函数的值域，考查了基本不等式取等的条件，属于中档题.8、C【解题分析】

根据值域先求，再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案.【题目详解】函数的值域为即，图象在同一周期内过两点故答案选C【题目点拨】本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.9、A【解题分析】

圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得的最小值．【题目详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，，又，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是1．故选：A．【题目点拨】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“1”的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．10、D【解题分析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．【题目详解】设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故选D【题目点拨】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据条件先得到：的表示，然后再根据是等比数列讨论公比的情况.【题目详解】因为，所以，即；取连续的有限项构成数列，不妨令，则，且，则此时必为整数；当时，，不符合；当时，，符合，此时公比；当时，，不符合；当时，，不符合；故：公比.【题目点拨】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.12、4π【解题分析】

利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.【题目详解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．故答案为：4π．【题目点拨】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.13、；【解题分析】

题中已知等腰中，为底边的中点，不妨于为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样，我们能求出点坐标，根据直线与求出交点，求向量的数量积即可.【题目详解】如上图，建立直角坐标系，我们可以得出直线，联立方程求出,,即填写【题目点拨】本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.14、2000【解题分析】

由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【题目详解】由题意得，这座山的高度为：米故答案为：2000【题目点拨】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.15、【解题分析】

求出，再利用，求得.【题目详解】，因为⊥，所以，解得：.【题目点拨】本题考查向量的坐标表示、数量积运算，要注意向量坐标与点坐标的区别.16、；【解题分析】

先利用辅助角公式对函数化简，由可求解.【题目详解】函数，由，可得，所以函数的单调增区间为.故答案为：【题目点拨】本题考查了辅助角公式、正弦函数的图像与性质，需熟记公式与性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）是等比数列，详见解析（3）答案不唯一，具体见解析【解题分析】

（1）由即可证明；（2）证明即可（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，也是以为公比的等比数列，讨论和分组求和即可【题目详解】（1）因为，且是以q为公比的等比数列，所以，则，所以.（2）是等比数列因为；所以，又所以是以5为首项，为公比的等比数列．（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，也是以为公比的等比数列，所以当时，，当时.【题目点拨】本题考查等比数列的证明，分组求和，考查推理计算及分类讨论思想，是中档题18、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，从而得到；（2）根据余弦定理，得到关于的方程，从而得到，再根据面积公式，得到答案.【题目详解】（1）在中，根据正弦定理，由，可得，所以，因为为内角，所以，所以因为为内角，所以，（2）在中，，，由余弦定理得解得，所以.【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.19、（1）见解析；（2）见解析；(3)8.【解题分析】试题分析：（1）由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故；（2）连接交于点，则为的中位线，得到∥，从而得到∥面；（3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算.试题解析：（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．又面，，，面，.（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面．（3）在中过作垂足为，由面⊥面知，面，．而，，.考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）先证明，再证明平面；（Ⅱ）由等积法可得即可求解.【题目详解】（Ⅰ）因为是中点，又因为平面，所以，由已知，所以是中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为平面，，所以平面，则，又因为平面，所以，则平面，由可得平面，因为，此时，，所以．【题目点拨】本题主要考查线面平行的判定及利用等积法求三棱锥的体积问题，属常规考题.21、（1）；（2）存在点，直线方程为.【解题分析】

（1）设，由题意根据两点间的距离公式即可求解.（2）假设存在点满足题意，此时直线的方程为：.设，，根据题意可得，求出，再将直线与圆联立求出，根据