初中数学-函数教学设计学情分析教材分析课后反思

第四章一次函数

1.函数

教学设计大纲

第一环节：悦入情境

课前复习任务，展示复习成果。

第二环节：悦学得法

【悦思启智】函数概念的引入

【一】探究新知

继续通过对变量关系的考察（3个例子）来研究新的内容

【二】定义生成

1.引入函数定义

2.博古通今一一“函数”名称的由来

3.定义辨析：从展示的例子中挑选判断

【悦思启智】函数领域的延伸研究

【三】函数领域类比延伸探究

1.表示方法2.自变量取值范围3.函数值

第三环节：悦动探究

独创设计了有实际背景的打排球课堂活动，充分调动了了学生的积极性，设

计了6个问题，将知识点穿成了知识链。并力求引导学生如何在生活中研究数学

问题。

第四环节：悦纳有成

学生总结本节收获

第五环节：布置作业

教学设计

（包含课堂预设和课后生成，后附学案）

第四章一次函数

1.函数

一、学生起点分析

学生七年级下学期学习了“变量之间的关系”，使学生在具体的情境中，体

会了变量之间的相依关系的普遍性，感受了学习变量之间的关系的必要性和重要

性，并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验，为学习本章的

函数知识奠定了一定的基础。

二、教学任务分析

《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一

次函数》第一节的内容。教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律

中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进

而抽象出函数的概念。与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析

了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一

定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画

图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变

量依赖于另一个变量。

本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学

生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体

会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。

【教学目标】

1.初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数；

2.根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量

的值;

3.了解函数的三种表示方法。

4.通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识

和能力；

5.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤

于思考的精神

【重难点】构建函数概念；正确认识概念中的唯一性。

教学环节

第一环节：悦入情境

【悦享展示】课前复习任务

七年级下学期学习了“变量之间的关系”，请你复习相关知识内容，并寻找

生活中丰富多样类型的变量之间的关系的例子。

目的：学生课前复习七下变量之间的关系的相关知识，为本节新授课做好准备,

找到生活中丰富的变量间关系的例子，调动孩子积极性，也可以为本节提供丰富

的素材在课堂中使用，使用自己提供的素材孩子们也特别感兴趣。

展示部分例子：

Bx

中国）林海身IWO**%**讨艮*_

身信（CB)

女

月龄女

男5・7T2,OJ

48.2—52.8「

2.7-3.6

出生__；j二三'二.匕

—-

01月3.6-5-01-----一-------Q

02H

5.0-6.1czzz^I-----------------

r03万----------------------

~~~-(CM)

,04月5.7同------------------A155-160

L^_J6O-165

:05R6.3-2「

■------.16j5'-1•Oo

L

1〜6个月的泉儿生长发才得非常快，他们的体/y（g）和月岭x（月）间的关系可以

JUy=a+700x来4市，声中。是星儿出生时的体化

第二环节：悦学得法

【悦思启智】函数概念的引入

[-1探究新知

课本上也提供了不同方法表示的变量之间的关系的例子，我们就继续对其

进行考查，研究一点新的内容。

1.大家坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，

你离开地面的高度会如何变化？（孩子们自然地用手比划，升高，降低。）

能不能用图象法来表示摩天轮上一点的高度与旋转时间这两个变量之间

的关系呢？（给大家用一个小视频简单呈现）

问题1

下图反映了摩天轮上的一点的高度A(m)与旋转时间t(mm)

之间的关系.

eS

B0

»5

«。

5

ilH-0

一5

(1)根据上图填表:

匕/分012345

.....

⑵对于给定的时间七，相应的高度/r确定吗？

对于给定的时间e,相应的高度。随之确定.

观察图象，回答问题，并引导孩子：这个变化过程中有几个变量？谁是自变

量？谁是因变量？初步体会变量h随着时间t的变化而变化，确定而确定。

2.

问题2

1、罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的

增加，物体的总数是如何变化的？

⑴填写下表:

层数〃12345...

物体总数y....

⑵对于给定的层数〃，相应的物体总数y确定吗？

对于给定的层数〃，相应的物体总数夕随之确定.

提供用表格法表示的函数，仍引导孩子体会:在这个变化过程中有两个变量,

物体总数随着层数的变化而变化，确定而确定。

3.

问题3

2、一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃,则

气体的压强为零.因此，物理学把-2Z3℃作为热力学温度的零度.

热力学温度彳K)与摄氏温度七(℃)之间有如下数量关系：

T=t+273,T^0-

⑴当匕分别等于W3,-27,0,78时，相应的热力学温度T是多

少？

⑵给定一个大于-273°C的/值，你能求出相应的砥吗？

给定一个大于-2Z3℃的七值，可以求出相应的雁.

提供以表达式表示的函数，继续引导孩子体会：在这个变化过程中有两个

变量，热力学温度T随着摄氏温度t的变化而变化，确定而确定。

思考：以上3个例子有什么共同点？从孩子们总结的内容中提炼：

(1)两个自变量

(2)一个自变量对应唯——个因变量

归纳做好准备引入定义：

当一个变量关系具备以上两个特征，那它就是一个函数。

目的：学生讨论出两个特征，加深对函数的本质理解。

【二】引入定义

1.揭示出函数的概念：

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个

值，变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量，

y是因变量。

2.博古通今——“函”的由来

我们来看看为什么“函数”有这么美妙的名字：函有“信封、书信”的意思

古：函使报信迟早云尔。一一《祭妹文》(函使：送信的人)

今：公函：公文函授：用通信或网络方式辅导、教学

博古通今一“函”的由来

古：

函使报信迟早云尔。——《祭妹文》

（函使：送信的人）

准确送达

今：

公函：公文唯一地址

函授：用通信或网络方式辅导、教学

我们从送信的角度来解读函数，如果你寄一封信,信封下写上寄信人的地址,

如果要准确送达，收信人的地址必须是唯一的。所以，函数可以理解为准确送达。

目的：既让学生了解了函数名称的由来，进行了学科整合，也让学生从实际生活

经验中加深了对函数的理解，提升了数学素养。

3.定义辨析

在课前展示实例中，找出几个有代表性的关系实例，让学生进行判断，感受

“唯一”的必要性。

体重

月龄

男

出生2.9-3.8

01月3.6-5.0

02月4.3~6.0

03月5.0-6.9

04月5.7-7.6

05月6.3-8.2

女款尺码推荐表

尺码身高（CM）

S155-160

M160-165

L165-168

XL168-171

XXL171-175

【三】函数领域的延伸研究

函数其实是变量之间关系里的一部分，那我们课前各种研究方向在函数领域

内仍可实行，我们可进行类比研究。

1.变量之间关系的表示方法，延伸到函数领域仍适用。

自然引出常用的三种表示方法：（1）图象法（2）列表法（3）关系式法。

类比研究

函数［两个变酬x和y对于变量用停■一个值变量”表示

概念都有限一M值与它对应.方法

1

摩天轮时间t和摩天轮图象法

上一点的高度%："：［/\y\

问题

层数〃17234

层数"和罐头盒5……

罐头盒总数y物体总数113610列表法

15……

问题________L._________________

摄氏温度上和热

温度问

力学温度7关系式法

题

目的：学生体会类比的研究方法得出研究成果

2.类比进行函数自变量范围的研究

类比研究

函数两个变圜x和y对于变量捋一个值］变量少自变量能

都有像一出值与它对应.

概念取哪些值

摩天轮时间匕和摩天轮

上一点的高度分

问题

层数〃和罐头盒层数〃

罐头盒总数9

物体总数915

问题

归“273,72。・

摄氏温度匕和热

温度问t>-273℃

力学温度7

题

3.自变量对应的因变量的研究，得出相关定义。

对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,

这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。

类比研究

函数|两个变剑x和y对于变量确抨一个四3S量少函数值

概念都有触一料值与它对应.

11

1/

时间6和摩天轮对于自变量

摩天轮J

上一点的高度方/1在可取值范

问题

*IIlIV围内的一个

层数〃和罐头盒层数〃723q5...

■n数有唯一确

罐头盒总数94♦

物体总数y1361015...定的对应值

问题这个对应值

称为当自变

T=S273,T20・量等于。时的

摄氏温度e和热

温度问函数值.

力学温度TT=Y3+273=230

题e-27+273=246

总结:

1.函数常用的三种表示方法：

（1）图象法（2）列表法（3）关系式法

2.函数自变量取值范围

3.对于自变量在可取值范围内的一个确

定的值a,函数有唯一确定的对应值，这

个对应值称为当自变量等于a时的函数值。

第三环节：悦动探究悦享提升

全国人民都还沉浸在女排夺冠的喜悦中，你会打排球吗？

【活动】请一位同学模仿上面运动员的动作，来把排球掂出去。

思考：

1.从球离开发球人的手开始直到落到地下，在这个过程中，有哪些变量？

目的：让学生感受到数学与生活息息相关。

生成：学生不但说出了速度、时间、球的高度、与发球人的距离是变量，还说出

气流的变化、球的摩擦力、球的表面温度等也是变量，真是为孩子们感到骄傲。

在此也实现了学科整合，体现了孩子们动脑学习的优秀学习品质

2.在这么多的变量中，我们研究哪些变量间的关系呢？首先我们要研究知识

范围内可以研究的、两个变量之间的关系，同学们可以举例。然后，我们还要研

究有意义的，当球打出去之后大家最关心什么呢一一是否可以得分。要想得分要

克服重重困难：击球位置、是否过网、能否被对方球手接住、落地时是否出界…

这些重要的点都在哪里？都在球的路径。那我们就来研究一下球的路径。

【活动】请一位同学再来重现刚才把球掂出去的过程，这次请同学们观察球的“运

动路径”。

学生们经过观察后很容易用手“比划”出球的运动路径，此时在屏幕上呈现

路径。

y，i.此图反映了哪两个变量之

间的关系？

思考：

i.此图反映了哪两个变量之间的关系？

目的：学生很容易思维定式，根据平时所见的图像，认为横轴表示时间，纵

轴表示球的高度，但实际横轴表示的是球与发球人的水平距离。

生成：课堂上果然出现这两种观点并进行了讨论，一位同学用一个很巧妙的

说法就说服了所有意见不同的同学，他说这是运动路径那图像与横轴那个交点就

是球落地的点，当然是落地时与发球人的距离，刚才有不同意见的同学恍然大悟,

这个讲解非常精彩。

2.y是x的函数吗？

目的：对学生再次强化函数的判断

3.（给出一些数值后）自变量的取值范围是什么？

y(m)

此时可能出现了三种答案：

0<x<V2+10<x<V2+l0<x<V2+l

在此可以从图像的角度和实际意义的角度来解释o和四+1都是可取的。

4.填表

水平距离x(m)012・・♦

V2+1

高度y(m)・・・

目的：体现函数的表格法表示

5.若函数关系式为>=一(*一1)2+2,你能算出当“一5,”一5时的函数值

吗？

目的：体现了给出自变量求函数值的知识点

6.当球的高度为1m时，距离发球人的水平距离是多少？

目的：学生很容易从图像上找出两点，在此想引出一个因变量对多个自变量

对是否是函数有没有影响的问题。

生成：课堂上没有学生问这样一个因变量对多个自变量行不行，但有学生提

出应该有唯一对应，所以不应该有两个值的疑问，提出后有同学呼应此观点，比

预想效果还要好，他们忽视了谁是自变量谁是因变量的考虑。在此学生经过讨论

后领悟，老师也再次用“寄信”的角度解读了此问题，只要收信人地址唯一即可

准确送达，有多少个寄信人寄到这同一地址没有影响。

【此活动生成效果】本节独创设计了这一个有实际背景的课堂活动，充分调

动了了学生的积极性，引起大家的兴趣。在此活动背景下设计了6个问题，层层

深入，每间都涉及到所学一个知识，将知识点穿成了知识链，此链串联了本节知

识点和不易理解的、容易混淆的问题，每一问值得深思讨论学生收获颇多。

第四环节：悦纳有成

内容：请同学们针对本节的内容进行自我小结，学生之间相互补充后；最后教师

总结。

目的：引导学生自己总结本节课的知识要点和数学学习方法，使学生从感性上升

到理性，形成系统的知识。

最终总结了下面的内容：

1.初步掌握函数的概念,并能判断两个变量之间的关系是否是函数的关系。

理解函数的概念应抓住以下三点：

(1)函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“x的每一个值”，“y有确定的

值”；

(2)判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系是存在，更重

要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应；

(3)函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系。

2.在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，并能由给定的自变量的

值，相应的求出函数的值。

3.函数的三种表达式：(1)图象法(2)列表法(3)关系式法

4.如何在生活中发现数学、研究数学。

第五环节：布置作业

分层作业：

A层：课本习题

B层：寻找生活中的实例，来研究一个函数吧。

附：板书设计

第四章第一节函数

一.y是x的函数

在一个变化过程中

1.两个变量

2.xfy（唯一）

—.1.表示方法

2.自变量取值范围

3.函数值

附：学案

第四章一次函数

1.函数

课前复习任务：

七年级下学期学习了“变量之间的关系”，请你复习相关知识内

容，并寻找生活中丰富多样类型的变量之间的关系的例子。

相关知识内容：

变量之间的关系举例:

请思考：

1.此图反映了哪两个变量之间的关系？

2.y是x的函数吗？

3.自变量的取值范围是什么？

4.填表

水平距离x(m)012V2+1・・・

高度y(m)・・・

5.函数解析式为y=—(%—I)?+2,你能算出当％=],%时的

函数值吗？

6.当球的高度为1m时，距离发球人的水平距离是多少？

作业练习：

A层：课本习题

B层：寻找生活中的实例，来研究一个函数吧。

学情分析

学生七年级下学期学习了“变量之间的关系”，使学生在具体的情境中，体

会了变量之间的相依关系的普遍性，感受了学习变量之间的关系的必要性和重要

性，并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验，为学习本章的

函数知识奠定了一定的基础。

效果分析：

1.初步掌握了函数的概念，并能判断两个变量之间的关系是否是函数的关

系。理解函数的概念应抓住以下三点：

（1）函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“X的每一个值”，“y有确定的

值”；

（2）判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系是存在，更重

要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应；

（3）函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系。

2.在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，并能由给定的自变量的

值，相应的求出函数的值。

3.函数的三种表达式：（1）图象法（2）列表法（3）关系式法

4.如何在生活中发现数学、研究数学。

教材分析

《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一

次函数》第一节的内容。教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律

中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进

而抽象出函数的概念。与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析

了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一

定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画

图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变

量依赖于另一个变量。

本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学

生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体

会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。

测评练习：

1.

下列各题中分别有几个变温？你能将其中某个变量看成另一个变质的函数吗？若能,

请指出口变量的取值范围.

(1)f«JK/r

15

汽车速度V

(2)在平整的路面上，某型号汽车鬟急刹车后仍将滑行sm,一般

地有经验公式$=而，其中v表示刹车前汽车的速度(单位:V，