第1章特殊的平行四边形 解答专项练习题 2022-2023学年北师大版九年级数学上册(含答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》

解答专项练习题(附答案)

1.如图，在等腰△ABC中，NC4B=NB=30°,D、E分别为AB、AC的中点，延长BC

至点F,使CF=2BC,连接CD、EF和AF.

2

(1)求证：DE=CF；

(2)求证：四边形CDE尸为菱形.

2.如图，在日ABCZ)中，过点。作OEJLAB于点E,点尸在边C。上，CF=AE,连接A兄

BF.

(1)求证：四边形8FQE是矩形；

(2)已知ND48=60°,AF是ND48的平分线，若AD=3,求AB的长.

3.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、30相交于点O,AO=BO=CO,NBAC=N

ACD.

(1)求证：四边形ABC。是矩形；

(2)如果点E在边AB上，OE平分/ADB,BD=®AB,求证：BD=AD+AE.

4.如图，AC,8。为平行四边形ABC。的对角线，点E是AC上一点，点F在BE延长线

上，EF=BE,EF与CD交于点、G,连结OF.

(1)求证：DF//AC.

(2)连结。E,CF,若且G恰好是C£)的中点，求证：四边形CFQE是菱形.

(3)在(2)的条件下，若四边形CFDE是正方形，且A8=2,求8c的长.

5.如图，点E、尸分别在团A8CO的边AB、8的延长线上，且凡连接AC、EF、

AF、CE,AC与EF交于点0.

(1)求证：AC、EF互相平分；

(2)若EF平分NAEC,求证：四边形AECF是菱形.

6.如图，80是正方形ABC。的一条对角线，E是8D上一点，尸是CB延长线上一点，连

接CE,EF,AF.若OE=OC,EF=EC,求NBAF的度数.

7.如图，在平行四边形ABC。中，过点。作。E_LAB于点E,点尸在边CD上，且尸C=

AE,连接AF,BF.

(1)求证：四边形DE8F是矩形；

(2)若AF平分ND4B,AE=6,DF=10,求BF的长.

8.如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN

(1)求证：四边形EFMN是正方形；

(2)若AB=7,AE=3,求四边形EFMN的周长.

9.如图，在四边形ABC。中4D〃8C,。为对角线AC的中点，过点。作直线分别与四边

形ABC。的边A。，BC交于M,N两点，连接CM,AN.

(1)求证：四边形ANCM为平行四边形;

(2)当MN平分NAMC时,

①求证：四边形ANCM为菱形;

②当四边形ABCD是矩形时，若A£>=8,AC=4遥，求DW的长.

AMD

10

BNC

10.如图，在正方形ABC。中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且

BE=EF,EF交CD于点、G.

(1)求证：DE=EF；

(2)求/。的度数.

11.如图，过点A作A尸〃BC交CE的延长线于点F,NFBA=NDAB,NBAC=90°,D

是BC的中点.

(1)求证：四边形AQBF是菱形；

(2)若48=8,菱形AOB尸的面积为40.求AC和BC的长.

12.如图，AB//CD,点E,F分别在AB,CO上，连接EF,ZAEF./CFE的平分线交于

点G,/BEF、/OFE的平分线交于点从

(1)求证：四边形EGFH是矩形；

(2)过G作MN〃EF,分别交A8,C£＞于点M,N,过H作PQ〃EF,分别交A8,CD

于点P,Q,得到四边形MNQP,此时，求证四边形MNQP是菱形.

13.如图，点G是正方形48CZ)对角线C4的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正

方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.

(1)求证：△EABgZsGAO；

(2)若AB=3近,AG=3,求EB的长.

14.如图，正方形ABC。中，E是对角线8。上一点，连接AE,过点£作交边

BC于点F.

(1)求证：EA=EF；

(2)写出线段FC,的数量关系并加以证明；

(3)若AB=4,FE=FC,求QE的长.

(备用图)

15.在正方形A8CD中,点F是边AB上一点，连接DF,点E为DF中点.连接BE、CE、

AE.

(1)求证：ZDAE=AADE；

(2)求证：△AEB安△QEC；

(3)当EB=BC时，求NAFD的度数.

B

16.如图1,在边长为4的正方形ABC。中，点E为对角线8。上一点，连接AE,过点E

作EF_LAE,交边CD于点F,若。尸=2,求8E的长.

下面是小明、小华和小东三位同学关于本题不同视角下的部分思维过程：

小明：从直线80是正方形的对称轴角度看，连接EC,如图2,则EA=EC,NECD=

ZEAD,又NAOC=NAEF=90°,.......

小华：从EFLAE的角度看，可以过点E作8c的平行线，交AB、C£＞于M、N,如图3,

通过证明△AME也尸，...

小东：从EFLAE的角度看，还可以过点E作的垂线，交。C的延长线于点P,如图

4,.......

请结合上面的思路，求BE的长.

17.如图，在正方形488中，点E、F分别为边8C、C。上两点，/E4F=45°,过点A

作NG48=N预。，且点G为边CB延长线上一点.

(1)△G4BgZ\M。吗？说明理由.

(2)猜想线段。F、BE、EF之间的数量关系并说明理由.

18.如图，在矩形A8CD中，AB=3CTW,BC=6C，〃.点P从点。出发向点A运动，运动到

点A即停止；同时，点。从点8出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、。的速度

都是Icwi/s.连接尸Q、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为fs.

(1)当♦为何值时，四边形A8Q尸是矩形；

(2)当，为何值时，四边形AQCP是菱形；

(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.

19.已知：四边形A2C。中，对角线的交点为。，E是0C上的一点，过点A作AGLBE

于点G,4G、BD交于点、F.

(1)如图1,若四边形ABCQ是正方形，求证：OE=OF；

(2)如图2,若四边形A8C。是菱形，/ABC=120°,探究线段0E与OF的数量关系，

并说明理由.

20.如图，在平行四边形ABC。中，NBA。的平分线交8C于点E,交。C的延长线于F,

(1)证明平行四边形ECFG是菱形；

(2)若NA8C=120°,连接BG、CG、DG,如图2所示，

①求证：△CGC丝△BGE；

②求NBDG的度数.

(3)若乙4BC=90°,AB=8,AD=14,M是EF的中点，如图3所示，求。M的长.

参考答案

1.(1)证明：：£)、E分别为AB、AC的中点，

：.DE//BC,DE=—BC,

2

；CF=LC,

2

：.DE=CF；

(2)证明："：DE//BC,DE=CF,

，四边形CDE尸是平行四边形，

'：ZCAB=ZB=30°,

AZACF=60°,

ZCED=60°,

CE^—AC,BC^AC,

22

：.DE=CE,

.♦.△QEC是等边三角形，

：.DE=DC,

平行四边形COE尸为菱形.

(3)解：♦.•平行四边形CQEF为菱形，

：.DE=EF=FC=CD,

：是等边三角形，

：.DE=EC=CD,

：.EF=FC=EC,

\'AE=EC,

J.AE^EF^EC,

'：ZCEF=60°,

：.ZEAF=ZEFA=30°,

AZAFC=90°,

•：CF=—BC=\,

2

:.AF=&CF=M.

2.证明（1）I•四边形ABC力是平行四边形,

：.DC//AB,DC=AB,

VCF=AE,

：.DF=BE3,DC//AB,

...四边形。肥E是平行四边形，

又：QE_LA8,

四边形QFBE是矩形：

(2)方法一：

VZDAB=60°,AD=3,DELAB,

：.AE=^-,OE=«AE=a!巨，

22

•.•四边形。F8E是矩形，

.•.8F=QE=宜巨，

2

：AF平分/OAB,

ZFAB=—ZDAB=30°,KBFLAB,

2

：.AB=-/3BF=^.

方法二：

VZDAB=60°,AO=3,DE1.AB,

：.AE^—,

2

\'AB//DC,

：.ZAFD=ZBAF,

平分/D4B,

：.ZDAF^ZBAF,

：.ZAFD=ZDAF,

；.QA=QF=3,

又DF=BE=3,

：.AB=AE+BE=^-.

2

3.证明：（1）在△AOB和△COO中,

fZBAO=ZOCD

<AO=CO，

ZAOB=ZCOD

：./\AOB^^COD(ASA),

:・BO=DO,

・・・AO=C。，

・・・四边形ABCD是平行四边形，

9：AO=BO=CO,BO=DO,

:・AO=BO=CO=DO,

：.AC=BDf

・・・平行四边形A3CQ是矩形；

(2)过点E作于R如图所示:

由(1)得：四边形ABC。是矩形，

：.ZBAD=90°,

,:BD=®AB,

・・・△A3。是等腰直角三角形，

AZABD=45°,

•：EF_LBD,

：.ZEFB=ZEFD=90°,

•••△BEF是等腰直角三角形，

：.FE=FB,

TOE平分NAD8,

，ZADE=ZFDEf

在△ADE和1中，

'NEAD=NEFD=90°

,ZADE=ZFDE，

DE=DE

：.^ADE^/\FDE(AAS),

：.AD=FD,AE=FE,

：.AE=FB,

*：BD=FD+FB,

：.BD=AD+AE.

\D

E

lxF

4.(1)证明：•.•四边形ABC。是平行四边形,

：.OB=OD,

；EF=BE,

；.OE是△8。尸的中位线，

J.DF//AC-,

(2)证明：由(1)得：DF//AC,

：.ZFDG=ZECG,

：G是CD的中点，

：.DG=CG,

在△。尸G和ACEG中，

'NFDG=/ECG

，DG=CG，

ZDGF=ZCGE

:ADFGmACEG(ASA),

：.FG=EG,

，四边形CFOE是平行四边形，

V四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,

'：ABVBF,

：.CD±BF,

，平行四边形CH»E是菱形；

(3)解：：四边形CFDE是正方形，

：.EF=CD=AB=2,EF1CD,

:.CG=DG=EG=FG=LEF=1,

2

•:BE=EF=2,

：.BG=BE+EG=3,

在中，由勾股定理得：22=

RtZsBCGBC=A/BG24CG2=73+lV10.

5.证明：（1）•.•四边形ABC。是平行四边形,

J.AB^DC,AB//DC,

又；BE=DF,

：.AB+BE=DC+DF,

即AE=CF,

；AE=CF,AE//CF,

：.四边形AECF是平行四边形.

：.AC.E尸互相平分；

(2)•:ABI/DC,

：.ZAEO=ZCFO,

平分/4EC,

：.ZAEO=ZCEO,

：.ZCEO=ZCFO

：.CE=CF,

由(1)可知，四边形AECF是平行四边形，

平行四边形AEC尸是菱形.

6.解：如图，连接AE,

•.•四边形ABC。是正方形，

.•.A2=AO=CB=CD,ZBAD=ZBCD=90°,

AZABD=ZADB=45°,NCBD=NCDB=45°,

,:DE=DC,

：.ZDEC=ZDCE=&~*一=67.5°,

2

AZBCE=90°-67.5°=22.5°,ZBEC=180°-67.5°=112.5°

\'EF^EC,

：.ZEFC^ZBCE=22.5°,

AZF£C=180°-22.50-22.5°=135°,

：.ZBEF=135°-112.5°=22.5°.

在△ABE和△CBE中,

'AB=CB

,ZABE=ZCBE-

BE=BE

.♦.△ABE丝ACBE(SAS),

：./BAE=NBCE=22.5°,EA=EC=EF,NBEA=NBEC=IV2.5°,

AZA£F=112.5°-22.5°=90°,

；.NEAF=NEFA=45°,

：.ZBAF=45°-22.50=22.5°.

7.(1)证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，

J.DC//AB,DC=AB,

,:FC=AE、

：.DC-FC^AB-AE,

即DF=BE,

...四边形DEB尸是平行四边形，

y.,：DEA.AB,

AZDEB=90°,

平行四边形OEBF是矩形；

(2)解：平分ND48,

：.ZDAF=ZBAF,

,JDC//AB,

：.ZDFA^ZBAF,

：.ZDFA=ZDAF,

：.AD=DF=\0,

在RtZXAED中，由勾股定理得：-五口2_人岳2=1]02_62=8,

由（1）得：四边形OE8F是矩形,

：.BF=DE=8.

8.(1)证明：,:AE=BF=CM=DN,

:.AN=DM=CF=BE.

•.,NA=ZB=/C=/£>=90°,

:.XAEN@丛DMNW4CFM9丛BEF(SAS).

：.EF=EN=NM=MF,ZENA=ZDMN.

四边形EFMN是菱形，

:NENA=NDMN,NDMN+NDNM=90°,

：.NENA+NDNM=90°.

:.NENM=90°.

四边形EFMN是正方形；

(2)解：'：AB=7,AE=3,

：.AN=BE=AB-AE=4,

•'•£^VAE2+AN2=5>

正方形EFMN的周长=4X5=20.

9.(1)证明：：AZ)〃8C,。为对角线AC的中点,

，AO=CO,ZOAM^ZOCN,

在△40W和△CON中，

，Z0AM=Z0CN

,ZAM0=ZCN0>

AO=CO

：./\AOM^^CON(AAS),

：.AM=CN,

"."AM//CN,

四边形ANCM为平行四边形；

(2)①证明：平分乙4MC,

NAMN=NCMN,

"JAD//BC,

：.NAMN=NCNM,

:.NCMN=NCNM,

：.CM=CN,

平行四边形ANCM为菱形；

②解：；四边形A8CD是矩形，

.\ZAB/V=90°,BC=A£>=8,

;MB=22=

VAC-BCV(4V5)2-82=4>

；AM=AN=NC=AD-DM,

在RtZ\A8N中，根据勾股定理得：

AN2=AB2+BN2,

：.(8-DM)2=42+DM2,

解得0M=3.

故OM的长为3.

10.(1)证明：•.•四边形ABCD是正方形，

：.BC=DC,NBCE=NDCE,

在△BCE和△QCE中，

'BC=DC

<ZBCE=ZDCE>

CE=CE

△BCE丝△OCE(SAS),

：.BE=ED,

,:BE=EF,

:.DE=EF；

(2)解：I•四边形ABC。是正方形，

：.ZDCB=ZDCF=90°,

.".ZF+ZFGC=90°,

■:△BCEQXDCE,

：.ZCBE=ZCDE,

•：BE=EF,

：.ZCBE=ZF,

；.NF=/CDE,

■:NFGC=NDGE,

AZCDE+ZDGE=90°,

:.NDEF=90°.

11.(1)证明："：ZFBA^ZDAB,

J.BF//AD,

'JAF//BC,

四边形AO8F是平行四边形，

VZBAC=90°,。是3c的中点，

：.AD=—BC=BD,

2

平行四边形AOB尸是菱形；

(2)解：:•S菱形八。8尸=40,

**•S^ABD=­S菱形AOB产=20,

2

・・•。是3C的中点，

***S&ABC=2SAABD—40»

又・・・NBAC=90°,

.".SMBC——AB,AC,

2

.\AX8XAC=40,

2

；.4C=10,

BC=VAB2+AC2=V82+102=2'

即AC=10,BC=2V41.

12.证明：(1)平分NBEF,FH平分/DFE,

:.NFEH=Z/BEF,NEFH=L/DFE,

22

■:ABHCD,

：.ZBEF+ZDFE=ISO°,

；.NFEH+NEFH=L(NBEF+NDFE)=JLX180°=90°,

22

ZFEH+ZEFH+ZEHF=180°,

尸=180°-(NFEH+NEFH)=180°-90°=90°,

同理可得：/EGF=90°,

平分NAE凡

:EH平分NBEF,

：.ZGEF=—NAEF,ZFEH=—NBEF,

22

•.•点A、E、B在同一条直线上，

...NAEB=180°,

即NAEF+NBE尸=180°,

：.NFEG+NFEH=L(NAEF+NBEF)=AX180°=90°

22

即NGE4=90°,

四边形EGF”是矩形；

(2)'：MN//EF//PQ,MP//NQ,

四边形MNQP为平行四边形.

如图，延长E4交CO于点。，

,/NPEO=/FEO,NPEO=AFOE,

：.NFOE=NFEO,

:.EF=FD,

'：FH±EO,

：.HE=HO,

"：ZEHP=ZOHQ,NEPH=NOQH,

:.丛EHPW丛OHQ(A4S),

：.HP=HQ,

同理可得GM=GN,

,:MN=PQ,

：.MG=HP,

四边形MGHP为平行四边形，

：.GH=MP,

'：MN//EF,ME//NF,

四边形MEFN为平行四边形，

：.MN=EF,

•.•四边形EGFH是矩形,

，GH=EF,

：.MN=MP,

平行四边形MVQP为菱形.

；四边形ABC。，AGFE是正方形，

：.AB=AD,AE=AG,ZDAB=ZEAG,

：.ZEAB=-ZGAD,

在△AE8和△AGO中，

'AE=AG

<ZEAB=ZGAD-

AB=AD

.•.△EA8丝△GAD(SAS)；

(2)：△EABg△GAD,

：.EB=GD,

:四边形A8C£>是正方形，AB=3j5，

J.BDLAC,AC=BD=®AB=6,

：.ZDOG=90°,OA=OD=^BD=3,

2

：AG=3,

：.OG=OA+AG=6,

GD=IOD240G2=^32+62=点'

：.EB=3点.

14.(1)证明：过点E作MN_LA。于M,交8c于点N,如图:

•.•四边形ABC。为正方形,

：.AD//BC,AD=DC,ZADB=45°,

9：MN.LAD,

；・MN上BC,

・・・四边形NCDM为矩形，

：・MN=CD,

VZADB=45°,MN1AD,

:.MD=ME,

:,AM=EN,

VAE1EF,

:.NAEM+/FEN=9C.

VZAEM+ZMAE=90Q,

:"FEN=/MAE,

•・.△AEM四△EFN（ASA）,

：.AE=EF.

（2）解：CF=®DE,理由如下：

由（1）知4AEMmAEFN,NADB=45°,

:・ME=FN=MD,

・・•四边形NCDM为矩形，

:.CN=MD,

:.CF=2MD,

,:DE=y[iMD,

:.CF=皿DE：

（3）解：设。E=x.由（1）得：FE1=AE1=AM2+ME1=（4-叵x）2+（亚X）2

22

由（2）得CF=MDE,

:.CF=MX,

"：FE=FC,

:.FW=FC2,

（4-返-x）2+（返-x）2=（&x）2,

22

解方程得：x\=2娓-2近,xi=-2氓-2版（舍去），

:.DE=2娓-2版.

15.(1)证明：•••ABC。为正方形，

：.ZBAD=9Q°,

•.•点E为中点，

：.AE^EF^DE=^DF,

2

：.ZEAD=ZEDA；

(2)证明：•••四边形ABC。是正方形，

J.AB^CD,NBAO=NAZ)C=90°,

NEAD=/EDA,

"：NBAE=/BAD-READ,NCDE=ZADC-NEDA,

：.ZBAE=ZCDE,

在△AEB和△£)R?中，

'AB=CD

<ZBAE=ZCDE>

AE=DE

:.△AEB94DEC(SAS)；

(3)解：V^AEB^/XDEC,

:.EB=EC,

"：EB=BC,

；.EB=BC=EC,

.♦.△8CE是等边三角形，

AZ£BC=60°,

AZABE=90°-60°=30°,

,:EB=BC=AB,

：.ZBAE=^-(180°-30°)=75°,

2

又；AE=EF,

ZAFD^ZBAE=15°.

16.解：如图过点E作BC的平行线，交AB、CD于例、N,

AMB

・・•四边形ABC。为正方形，

AZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,

:./END=/EMB=90°,

:,/FEN+/EFN=90°,且/尸EN+NAEM=90°,

I./AEM=/EFN,

9：EN+EM=AD=AB=AM+BM,

在△3ME中，NABD=45°,

:・BM=EM,

:.AM=EN,

又•；NAEM=NEFN,/AME=NENF,

:.4AEM沿4EFN(A4S),

:・EM=FN=BM,

,:BM=CN,

:・BM+FN=BM+CN=CF=BC-DF=4-2=2,

：.MB=EM=if

AB£=VMB2+ME2=V2-

17.解：（1）△GABg△或。，理由：

过点A作NG4B=N"。，且点G为边CB延长线上一点，如图,

•.•四边形488为正方形，

：.ZD=ZABC=90°,AB=AD,

：.ZABG=90Q,

，ZABG=ZD.

在aGAB和△以。中，

<GAB=ZFAD

<AB=AD，

ZABG=ZD=90°

：./\GAB^/\FAD(ASA)；

(2)线段。F、BE、EF之间的数量关系为：DF+BE=EF.理由:

由(1)知：△GAB四△E4O,

:.BG=DF,AG=AF.

'：ZDAF+ZBAF=90°,ZGAB=ZFAD,

：.ZGAB+ZFAB=<)0°,

：.ZGAF=90°.

'：ZEAF=45°,

：.ZGAE=ZFAE=45°.

在△GAE和△以E中，

'AG=AF

<NGAE=NFAE=45°，

AE=AE

.♦.△GAE也△用E(SAS),

：.GE=EF,

；GE=BG+BE,

：.DF+BE=EF.

18.解：(1)由已知可得，BQ=DP=t,AP=CQ=6-t

在矩形ABC。中，NB=90°,AD//BC,

当8Q=A尸时，四边形ABQP为矩形，

-t,得f=3

故当f=3时，四边形ABQP为矩形.

(2)由(1)可知，四边形AQCP为平行四边形

...当AQ=C。时，四边形AQCP为菱形

即存二i^=6-t时，四边形40cp为菱形，解得V，

故当，=95时，四边形40cp为菱形.

4

(3)当r=2时，AQ=K,。。=三，

444

则周长为：4AQ=4X」立=15。"

4

面积为：CQ・AB=与"X3岑(cw2).

19.证明：(1)•••四边形A8C。是正方形，对角线的交点为0,

：.AC=BD,0A=0C,0B=0D,

：.0A=0B，

"：AC1BD,AGLBE,

：.ZFAO+ZAFO=^Q,Z£AG+ZA£G=90°,

NAF0=NBE0,

在△AO尸和△BOE中，

，ZAFO=ZBEO

<ZFOA=ZEOB-

OA=OB

.♦.△AOF乌△BOE(A4S),

：.OE=OF-,