高中数学必修二8.2立体图形的直观图

8.2立体图形的直观图（精练）

【题组一斜二测画法的理解】

1.（2021•全国•高一课时练习）关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是

A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于），'轴,长度变为原来的g

C.在画与直角坐标系xOy对应的坐标系时，NY'O'），'必须是45°

1）.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

【答案】C

【解析】根据斜二测画法的规则，平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y

轴上的线段其长度在直观图中变为原来的并且NxO'y'=45°或135°,

故选：C.

2.（2021•全国•高一课时练习）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）

①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平

行四边形：④梯形的直观图是梯形.

A.①@B.③④C.①③D.②④

【答案】B

【解析】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错；

两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错；

根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确.

故选:B.

3.（2021•全国•高一课时练习）在画水平放置的平面图形时，若在原来的图形中，两条线段平行且相等,

则在直观图中对应的两条线段

A.平行且相等B.平行不相等

C.相等不平行D.既不平行也不相等

【答案】A

【解析】斜二测画法的法则是平行于x的轴的线平行性与长度都不变；

平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半.

故在原来的图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段也平行且相等.

故选A.

4.（2021•浙江•宁波市北仑中学高一期中）（多选）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（）

A.水平放置的角的直观图一定是角B.相等的角在直观图中仍然相等

C.相等的线段在直观图中仍然相等D.两条平行线段在直观图中仍是平行线段

【答案】AD

【解析】水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直

观图中也会改变，比如正方形的直方图中，故BC错误；

由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以D正确.

故选:AD

5.（2021-全国•高二课时练习）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假.

（1）三角形的直观图还是三角形；

（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；

（3）正方形的直观图还是正方形；

（4）菱形的直观图还是菱形.

【答案】（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题.

【解析】（1）三角形的直观图还是三角形，为真命题.

（2）平行四边形的直观图还是平行四边形，为真命题.

（3）正方形的直观图，边长不全相等，不是正方形，所以命题为假命题.

（4）菱形的直观图，边长不全相等，不是菱形，所以命题为假命题.

【题组二平面图形的直观图】

1.（2021•全国•高一课时练习）如图，已知等腰三角形A8C,则在如图所示的四个图中，可能是的

直观图的是（）

【答案】1）

【解析】根据坐标轴夹角为45。或135。，等腰三角形ABC的直观图如图所示:

y

只有③④符合

故选：D

2（2021•北京顺义•高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形.

其中，正确结论的序号是（）

A.①@B.①③C.①④D.②④

【答案】A

【解析】由斜二测画法规则可知，相交关系不变，①正确；

平行关系不变，②正确；

正方形的直观图是平行四边形，③错误；

平行于y轴的线段长减半，平行于x轴的线段长不变，④错误，

故选：A.

3.（2021•全国•高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.

（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形

【答案】见解析

【解析】（1）根据斜二测画法的规则，可得：

(2)根据斜二测画法的规则，可得:

y

(3)根据斜二测画法的规则，可得:

4.（2021•浙江•高一单元测试）画出图中水平放置的四边形ABC。的直观图.

【答案】图见解析.

【解析由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知/、C在对应点A'（3,1）,C'（O，），而反〃对应点以。'位

置不变，如下图示:

【题组三空间几何的直观图】

1（2021•全国•高一课时练习）画出一个上、下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.

【答案】见解析

【解析】①建立空间直角坐标系，画x轴、y轴、z轴相交于点。.使x轴与y轴的夹角为45°,y轴与z轴的

夹角为90°,

②底面在尸轴上取线段0。取。。=且，且以。为中点，作平行于x轴的线段A8,使A8=2,在y轴上取线

6

段OC,使oc=正.连接8C,CA,则AABC为正三棱台的下底面的直观图.

3

③画上底面在z轴上取O。'，使00=2,过点。‘作Ox//3,O）；//Oy,建立坐标系x'oy.在x'oy中,类似

步骤②的画法得上底面的直观图VAEC，.

④连线成图连接A4',BB'、CC',去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC-A'B'C'即为要求画

的正三棱台的直观图.

2.（2021•全国•高一课时练习）用斜二测画法画出底面边长为2c处侧棱长为3c0的正三棱柱的直观图.

【答案】见解析.

【解析】正三棱柱直观图如图:

3.（2021•全国•高一课时练习）已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.

【答案】见解析.

【解析】圆锥直观图如F：

X

4（2021•全国•高一课时练习）用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

【答案】见解析

【解析】画法：（1）如图（1）,在正六边形A8CDEF中，取AO所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y

轴，两轴相交于点〃在图（2）中，画相应的V轴与），'轴，两轴相交于点。，使NxOy'=45".

（2）在图⑵中，以0'为中点，在x轴上取A'£>'=AD，在y,轴上取"M=；MN以点M为中点，画B,C'平

行于x轴，并且等于BC；再以M'为中点，画FE'平行于V轴，并且等于尸E.

⑶连接AB,C'D,DE,FA，并擦去辅助线x轴和y轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图

A'B'C'OEF'图⑶.

【题组四直观图的还原和计算】

1.（2021•山东•枣庄八中高一期中）如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45。，腰和上

底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A.2+&B.匕虫C.2电D.1+V2

22

【答案】A

【解析】••・平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,

平面图形为直角梯形，且直角腰长为2,上底边长为1,

•・•梯形的下底边长为1+a,

・•・平面图形的面积S=^^x2=2+亚

2

故选：A

2.（2021•广西•桂平市麻胴中学高一月考）已知一个△心心利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中B,

0'=2,O'C=5,O'A'=3,则原△/比1的面积为（）

21V2n21yli

A.21B.—C.----u.

22-----------------4

【答案】A

【解析】由已知"0'=2,O'C=5,O'A'<

BO=2,CO=5,04=6,且8,C在x轴上,力在y轴上，。为坐标原点，

...△/16。的面积5=1*8。乂04=21,

2

y

故选：A.

3.（2021•山西•怀仁市大地学校高中部高一月考）已知一个三棱柱的高为3,如图是其底面用斜二测画法

画出的水平放置的直观图，其中O'A'=O'3'=O'C'=1,则此三棱柱的体积为（）

4C.6D.12

【答案】C

【解析】如图所示，设三棱柱的底面三角形为

根据斜二测画法的规则，因为=O'B'=O'C'=1,

可得OB=OC=1,OA=2,即3C=2,OA=2,且BCLOA,

可得LHC=；|8CHOA|=；X2X2=2,所以该棱柱的体积为V=S6=2x3=6.

故选：C.

4.（2021-江西•浮梁县第一中学高一月考）若水平放置的四边形4O8C按“斜二测画法”得到如图所示的

直观图，其中HC7/O5,AC,-LBC,A'C'=1,B'C'=无，05=2,则原四边形AO8C的面积为（）

所以原图形OACB中，AC//OB.OAVOB,AC=\,08=2,AO=24O'=2xV5xa=4，

所以梯形OACB的面积为S=；(1+2)x4=6.

故选：B.

5.（2021•全国•高一单元测试）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1

的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）

y,

CZ_____B'

/O'D'l+x/2A,X,

A.1金B.1+变C.1+V2D.2+V2

222

【答案】D

【解析】在直观图中，O'A'=2x（lxcos45°）+l=&+l,

所以原图是一个直角梯形，且上底为1,下底为0+1，高为2x1=2,

所以原图的面积为1+&+1、2=2+及

2

故选：D

6.（2021•湖南•长郡中学高一期中）一个菱形的边长为4cm,一个内角为60。，将菱形水平放置并且使较

长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（）.

A.8\/3cm2B.4\Z3cm2C.2-Jbcm2D.Jbcm2

【答案】C

【解析】由条件可知，较长的对角线的长度是J42+42—2X4X4XCOS120=4版m，

较短的对角线的长度是742+42-2X4X4XCOS60=4cm，

根据斜二测画法的规则可知，AC=SBD=2'菱形直观图的面积S=R限2咚=2辰m?

故选：C

7（2021•全国•高一课时练习）（多选）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则

此正方形的面积可能为（）

A.16B.64C.32D.无法确定

【答案】AB

【解析】根据题意，正方形的直观图如图所示：

①若直观图中平行四边形的边A9=4,

则原正方形的边长为/W=A'Q=4,所以该正方形的面积为S=4x4=16；

②若宜观图中平行四边形的边A'。'=4，

则原正方形的边长为4）=4。'=8,所以该正方形的面积为S=8x8=64,

故选：AB.

8.（2021•全国•高一课时练习）正方形ONB'C'的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,

则原图形的周长是，面积是一

【解析】根据斜二测画法，还原出原图，如图,

其中。4=lcm,在RsOAB中，OB=2缶m，

所以AB=SA+OB?=3（cm）.

所以四边形04BC的周长为8cm.面积是2\Z5cm—

故答案为：8cm；2j5cm?

9.（2021•湖北•武汉市吴家山中学高二月考）水平放置的矩形438,48=女01,AD=1cm,则其直观

图的面积为.

【答案】逑cm?

4

【解析】利用斜二测画法作出直观图，如图所示，产生平行四边形AQCQ',

其中A3'=3,A'D'=-,ZD'A'B'=45,

2

过C'点作C尸，A'"于尸，则C'F=lsin45=—,

24

则SXB'CD'=A'B'xC'F=3x曰=¥(cm2).

故答案为：逑cm?.

4

10.（2021•上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如图：矩形0月0〃的长为4cm,宽为2cm,。是A8

的中点，它是水平放置的一个平面图形/腼的直观图，则四边形加w的周长为：cm；

由斜二测画法的规则知与X轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变;

与y轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与y'轴平行的性质不变.

还原出原图形如上图所示，其中A5=AE=4cm,OC=20'C'=2x2^2=442cm

/.BC=yJOB2+OC2=6cm

所以原图形的周长为2x(4+6)=20cm

IL(2021,四川省眉山第一中学高二月考(文))水平放置的“A3c的斜二测直观图如图所示，已知At=3,

8。=2,则原图AB长度为.

【答案】5

【解析】由斜二测画法规则可知，原图中的满足：Z4CB=90°,AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4

在中，由勾股定理可得：AB=\l31+42=5.

故答案为：5.

12.（2021•上海市大同中学高二月考）如图，若平行四边形A'9。》是用斜二测画法画出的水平放置的平

面图形AB