概率论与数理统计第一章课后习题详解

概率论与数理统计习题第一章

习题1T（P）

7

1•解：（1）。={3,4,…,18}

（2）O={（x,y）|X2+产<1}

⑶Q={t|t>107GAQ

（本题答案由经济HOI班童婷婷提供）

2.AB表示只有一件次品，A表示没有次品，8表示至少有一

件次品。（本题答案由经济1101班童婷婷提供）

3.解：（1）AUA="前两次至少有一次击中目标”；

12

（2）工="第二次未击中目标”；

2

（3）AAA="前三次均击中目标”；

123

（4）AuAuA="前三次射击中至少有一次击中目标”；

123

（5）A-A="第三次击中但第二次未击中”；

32

（6）A%="第三次击中但第二次未击中”；

32

（7）A-T="前两次均未击中”；

12

（8）AA="前两次均未击中”；

12

（9）（AA）U（AA）U（AA）="三次射击中至少有两次击中目

122331

标”.

（本题答案由陈丽娜同学提供）

4.解：(1)ABC

（2）ABC

(3)ABC

ABC

ACCCAC

(6)rxL>Ukyr\v/

AB_C

(8)(AB)(AC)(BC)

（本题答案由丁汉同学提供）

5.解：(1)A=BC

2)7=B

（本题答案由房晋同学提供）

习题1-2(P)

11

6.解：设A="从中任取两只球为颜色不同的球”，贝（J:

P(A)=CICI/C2=15/28

538

（本题答案由顾夏玲同学提供）

7.解：（1）组成实验的样本点总数为c3，组成事件（1）所包含的样本

40

点数为C©，所以

337

C1-C2

P=J37a0.2022

1C3

40

仞组成事件⑵所包含的样本点数为C3,所以

3

C3

P«0.0001

2

40

(3)组成事件⑶所包含的样本点数为C3,所以

37

P=^«o.7864

3C3

40

(4)事件(4)的对立事件，即事件A="三件全为正品”所包

含的样本点数为c3,所以

37

C3

P=1-P(A)=1-^L«0.2136

4。3

40

(5)组成事件(5)所包含的样本点数为C2.C+C3,所以

3373

P=CC+C3«o.01134

5C3

40

(本题答案由金向男同学提供)

8.解：(1)组成实验的样本点总数为A4,末位先考虑有五种选择，首

10

位除去0,有8种选择。剩余两个位置按排列运算，即事件(1)的

概率为qq.个

A4

10

(2)考虑到末位是否为零的特殊情况，可以分成两种情况讨论。第

一种，末位为零，即样本点数为A3。第二种，末位不为零，且首位不

9

能为零，所以末位有4种选择，然后首位考虑除去0的，有8种，剩

下两位按排列，样本点数为,「A0所以事件的概率为。OAZ+AS

C1-Cl-A24889

488A4

10

(本题答案由经济1101童婷婷提供)

9.解(1)P(A)

107

(2)因为不含1和10,所以只有2-9八个数字，所以

P(B)=也

107

(3)即选择的7个数字中10出现2次，即C2,其他9个数字出

7

现5次，即95,所以

P(C)=09

107

(4)解法1：10可以出现2,3,,„7次，所以

SCi97T

P(D)=,=27

-10^-

解法2：其对立事件为10出现1次或。次，则

P(D)=

107107

⑸因为最大为7,最小为2,且2和7只出现一次，所以3,

4,5,6这四个数要出现5次，即样本点数为℃2.45,所以

27

C1C2,45

P⑻二-^7-

(本题答案由刘慧萱同学提供)

10.设两数分别为x,y.且0WxWl,0WyWL

(1)提示:x+y>1,画出二维坐标图求出阴影部分面积，属

0

1/21X

于几何概率。

7

阴影=_P(A)=吗；=

858

正方形

(2)提示：画出yV1利用定积分求出面积.P=2

正方形

(本题答案由经济1101班童婷婷提供)

习题1-3(P)

14

11.证明：..飞］同时发生必导致C发生

.\ABaC,即P(C)2P(AB)

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

.*.P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)

VP(AUB)^1

.*.P(AB)2P(A)+P(B)-1

.*.P(C)2P(A)+P⑻-1

上述得证。

(本题答案由吕静同学提供)

12.证明：

因为P(AB)=P(履历)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)

+P(AB)

因为P(A)=P(B)=1/2

所以P(AB)=1-1/2-1/2+P(AB)

所以P(AB)=P(AB)

(本题答案由缪爱玲同学提供)

13.(1)因为A,B互不相容，即AB=0.

所以P(A-B)=P(A)=0.4,P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6

(2)因为BuA,所以P(AUB)=P(A)=0.4,P(A-B)=P(A)-P(B)=0.2

(本题答案由经济HOI班童婷婷提供)

14.解：记“订日报的住户”为P(A),“订晚报的住户”为P⑻/

根据题意，易知：P(AB)=70%

则P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=40%+65%-70%=35%

答：同时订两种报纸的住户有35%O

(本题答案由任瑶同学提供)

15.解：设“至少有两只白球”的事件为A事件，则

C2C1+C322(本题答案由

P(A)-—4~3-----4=

C335

屠冉同学提供）

16.解：因为P(CA)=O,所以P(ABC)=O.

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=11/12

(本题答案由经济HOI班童婷婷提供)

习题1-4

17.解：因为P(A|B)=P(AB),p(B|A)=P(AB)

P(B)P(A)'

所以利用公式P(AB)=1,P(B)=1

126

因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(AUB)=1

3

(本题答案由经济1101班童婷婷提供)

18.解：因为A、B互不相容，即AB=”，

所以AuB，

所以P(AB)=P(A)

所以P(A/B)=P(AB)/P(B)==0.3/(1-0.5)=0.6

(本题答案由徐小燕同学提供),.

19.解：P(B|AB)=P(AB)/P(AB)

因为P(A)=l-P(r)=l-0.3=0.7,

所以P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.7-P(AB)=0.5

即P(AB)=0.2

又因为P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+1-0.4-0.5=0.8

所以P(B|AB)=P(AB)/P(AB)=0.25

（本题答案由徐莘同学提供）

20.解：设“第三次才取到正品”为事件A,则

因为要第三次才取到正品，所以前两次要取到次品。

第一次取到次品的概率为1°，

100

第二次取到次品的概率为？，

99

第三次取到正品的概率为90。

98

10

P(A)=x9x90«0,0083

1009998

即第三次才取到正品的概率为0.0083。

(本题答案由许钟翡同学提供)

2L触1：

设A,B,C分别为“第一，第二，第三个人译出”的事件，贝IJ：

P(A)=l/5P(B)=l/3P(C)=l/4

因为三个事件独立，"

所以P(AB)=P(A)P(B)=1/15,P(AC)=P(A)P(0=1/20,

P(BC)=P(B)P(0=1/12,P(ABC)=P(A)P(B)P(0=1/60,

所以P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5

解法2：

设人="至少有一人能译出”，则丁=“三个人均不能译出”，所以

P(A)=I-P(A)=I-1.£.2=9

5345

(本题答案由薛家礼同学提供)

22.解：设P(A),P(B),P(C)分别为第一，二，三道工序不出废品的概

则，第一二三道工序均不出废品的概率为P(ABC),

因为各工序是否出废品是独立的，

所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

X

=0.90.95x0.8

=0.684

(本题答案由闫田田同学提供)

23解：设至少需要配置n门炮。用A表示第i次击中，则

i

P(AuA<j„<jA)=i-p(A4„A)

12n1

=1-(1-0.6)"20.99，求解得出n26

(本题答案由经济1101班童婷婷同学提供)

24.解：根据题意：该题为伯努利事件。

n=9,p=0.7,k=5,6,7,8,9

所求事件概率为

P=b(5,9,0.7)+b(6,9,0.7)+b(7,9,0.7)+b(8,9,0.7)+b(9,9,0.7)=0.

901

(本题答案由严琦同学提供)

25.解：该题为伯努利事件。

0设事件A="恰有2个设备被使用”，则：

P(A)=b(2;5,0.1)=c><0.hx(1-0.1)5-2=0.0729

25

0设事件B=“至少有一个设备被使用”，

贝g="没有一个设备被使用”，所以

P(B)=1-P(B=1-b(0;5,0.1)=1-CoxO.lox(l-O.l)-o

55

=0.40951

(本题答案由张译丹同学提供)

习1-5(P)

24

26.解：该题为全概率事件。

以人表示抽到男人，B表示抽到女人，以B表示此人为色盲患

12

者，

P(A)=3P(/A)=£

1525

P(B|A)=0.5%,P(B|A)=0.25%

12

所以P(B)=XP(B\A)p(A)=0-004

(本题答案由童婷婷同学提供)

27.解：该题为全概率事件。

设人=”从甲袋中取出两球中有i只黑球”，i=0,1,2,

/

B=”从乙袋中取出2球为白球”，则：

f(4)_空=2

0627

7

,、病14

P^A)=-4=一

1327

P(A)=6231

3==

262217

7

)6215

PB/A=_6=—

6736

9

(\6210

f16236

9

叫A)="；=6

’2g236

9

19

,2

.•.尸（B）=ZP（B/A）P（A）=_

i=0

19

答：再从乙袋中取出两球为白球的概率为必。

（本题答案由朱盼盼同学提供）

28.解：该题为全概率事件。

设4="敌舰被击中i弹"，(i=0,1,2,3),

B="敌舰被击沉”，则:

根据题意P(A)=0.6X0,5X0.3=0.09

0

P(A)=0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X

1

0.7=0.36

P(A)=0.4X0.5X0.3+0.5X0.7X0.6+0.4X0.7X

2

0.5=0.41

P(/A)=0.4X0.5X0.6=0.14

3

P(B|)=0,P(B|/I)=0.2,P(B|A)=0.6,P(B|

012

/A)=1

3

根据全概率公式有P(B)=三?(髭4)P(e)=6458

/=0

即敌舰被击中的概率为0.458.

(本题答案由朱月如同学提供)

29.(1)设A为第一次是从第一箱中取，A为第二次是从第二箱中

12

取，B为第一次取得的零件是一等品

P(A)=1

12

P(A)=1

22

P(B|A)=10

150

P(B|A)=1®

230

所以P(B)=2>(8|A)P(/A)=2

日i/5

(2)属于条件概型，B为第一次取得一等品，C为第二次取得也是一等

品,P(BC)=1J.9+11817=276

2549230291421

P(B)=£

5

所以P(C|B)=P(8C)=69O

P(B)1421

(本题答案由经济1101班童婷婷同学提供)

30.解：设A为“从2500米处射击”，A为“从2000米处射击”，A

123

为“从1500米处射击”，B为“击中目标”，

由题知P(A)=0.l,P(A)=0.7,P(A)=0.2

123

P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.2

123

所以P(B)=旧P(B^A)P(A)==0.050.1+0.10.7+0.20.2=0.115

/=1

所以，由2500米处的大炮击中的概率为

P(A|B)=P(B|A).P(A)/P(B)=0.005/0.115=0.0435

111

(本题答案由谢莹同学提供)

31.解：设事件A为“原发信息是A"，事件A为“原发信息是B”，

12

B为事件”接收到的信息为A”，则：

P(A)…2P(A)='1

1323

P(B")=0.98A)=0.02

P(B)=P(A)P(B/A)+P(A)P(B/A)

1122

21

=0.98+-0.02

33

=0.66

2

.PAR\P(AB)P(B/A)P(A)0-98,398

1P(B)P(B)0.6699

（本题答案由孙莉莉同学提供）

32解：（1）设他乘火车来为乘汽车来A，4,B为

123

事件他迟

P(A)=0.4P(A)=0.2P(/4)=0

123

P(B|A)=1P(B|A)=1p(B|A)=0

3

1423

所以P(B)=KP(B|>4)P(/I)=-

i=1ii6

⑵p(4|B)=3

15

（本题答案由经济1101班童婷婷同学提供）

复习题1(P)

24

33.解：(1)设在n个指定的盒子里各有一个球的概率为P(A),

在n个指定的盒子里各有一个球的概率：第一个盒子里有n个球可以

放入，即有n种放法，第二个盒子里有n-1种放法,”，那么事件A的

样本点数就是n!,样本点总数是Nn,所以

n\

P(A)=k

Nn

(2)设n个球落入任意的n个盒子里中的概率为P(B),因为

是N个盒子中任意的n个盒子，所以样本点数为Cn.〃!，所以

(本题答案由冯莉同学提供)

34.解：设人="该班级没有两人生日相同”，贝IJ:

P40

P(A尸365

36540

(本题答案由骆远婷同学提供)

35.解：⑴因为最小号码是5,所以剩下的两个数必须从6,7,8,9,

10五个数中取，所以样本点数为0,样本点总数为C3,

510

所以P(A)=C2/C3=1/12

510

(2)因为最大号码是5,所以剩下的两个数必须从1,2,3,

4五个数中取，所以样本点数为C2,样本点总数为C3,

410

所以P(8)=C2/C3=1/20

410

(3)因为最小号码小于3,所以

若最小号码为1,则剩下的两个数必须从270九个数中取,

所以样本点数为C2,样本点总数为C3；

910

若最小号码为2,则剩下的两个数必须从3-10八个数中取,

所以样本点数为C2,样本点总数为C3,

810

所以P(C)=C2/C3+C2/C3=8/15

810910

(本题答案由顾夏玲同学提供)

36.解(1)设“恰好第三次打开门”为事件A,则

P(A)=，x?JJ

5435

(2)设A="三次内打开门"，A="第一次打开"，A="第二

12

次打开“，A=“第三次打开"，贝U：

3

2545

、1

P(A)=_

35

所以P(A)=P(A)+P(A)+P(A)=_

1235

(本题答案由缪爱玲同学提供)

37.解：设人="已有一个女孩"，B=”至少有一个男孩”，则

P(B/A)=P(AB)/P(A)=(6/8)/(7/8)=6/7

(本题答案由徐小燕同学提供)

38.解：设A="取一件为合格品"，A="取一件为废品"，B="任

12

取一件为一等品”，则

P(A)=1-4%=96%

P(A)=4%

2

P(B/A)=75%P(B/A2)=0

P(B)=P(A)P(B/A)+P(A)P(B/A)

1122

=96%-75%+0

=0.72

(本题答案由严玲同学提供)

39.解：

甲获胜乙获胜

第一局：0.20.8x0.3

第。一局:0.8x0.7x0.2

0.8x0.7x0.8x0.3

第三局：0.8x0.7x0.8x0.7x0.20.8x0.7x0.8x0.7x0.8x0.3

第四局：„„

第n局0.2x(0.8x0.7)n-i0.8x0.3x(0.8x0.7)n-i

所以获胜的概率P为：

0.2+0.8x0,7x0.2+0.8x0.7x0,8x0,7x0.2++0.2x(0.8x0.7加

1-(0.8x0.7)«

=UZx

1-0.8x0.7

所以乙获胜的概率P为：

2

0.8x0.3+0.8x0.7x0.8x0.3+0.8x0.7x0.8x0.7x0.8x0.3+

1-(0.8x0.7)«

+0.8x0.3x(0.8x0.7)n-i=0.24x

1-0.8x07

P_5

因为P+P=l,在=£所以：-

P=5pJ

1T12

40.解：设事件A为“笔是从甲盒中取得的”，事件A为“笔是从乙

01

盒中取得的”，事件A为“笔是从丙盒中取得的”；事件B为“取得红

2

笔”，则：

⑴尸(A)J尸尸(4)J

031323

243

P(B/A)=尸(B/A)=尸(B/A)=

061626

/.P(B)=P(A)P(B/A)+P(A)P(B/A)+P(A)P(B/A)

001122

121413

=,+_・_+・

363636

1

2

lz=

(2)\s)

P(AB)P(B/A)P(A)

P(A/B)=0-00

o尸(8)PTBT

21

63=4=2

十189

7

（本题答案由孙莉莉同学提供）

41.解：A为三个产品中不合格的产品数(i=0,1,2,3),AAA

i