高考 第五节　数系的扩充与复数的引入 讲义

第五节数系的扩充与复数的引入

固基础・自主落实I

要求

内容

ABC

考纲传真复数的概念V

复数的四则运算V

复数的几何意义V

1.复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a+bi(a,b£R)的数叫复数，其中a,b分

别是它的实部和虚部.若6=0,则。+历为实数，若回，则。+从

为虚数，若c/=0且则。+万为纯虚数.

(2)复数相等：a+b\=c+di^a=c,b=d(a,b,c,t/GR).

(3)共枕复数：a-\-hi与c+di共―台a=c,b=—d(a,h,c,de

R).

(4)共辗复数：把实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互

为共枕复数，复数z=a+为(a,h£R)的共甄复数记做3,则3=a—

bi(a,〃£R).

(5)复数的模：向量0Z的模叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或

+历|,即|z|=I"+=日层+尻

2.复数的运算

设zi=a+hi,Z2=c+di,a,h,c,d£R,

zi±Z2=(a+历)±(c+di)—(。士c)+(Z?±J)i.

z\-Z2=(a+0i)(c+di)=(4c-im+(7?c+q60i.

zia-\-hiac+bd,bc-ad,

-।7='2।।Jc*(c+^i^O).

Z2c+dic2+<rr+tr

3.复数的几何意义

复数z—a+hi一一对应复平面内的点Z(a,垃---对应平面向量

OZ=(a,b).

图4-5-1

复数加减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图4-5-1所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数

加减法的几何意义，即0Z=0Zi+0Z2,ZiZ2=OZ2-。4.

4.复数模的性质

①|ZI-Z2|表示复平面内Zi，Z2对应两点间的距离，

2||W|Z1±Z2|W|ZiI+

②|出|一忆\Z2\.

③忆向=阂阂.

⑷Z2比「

⑤|zF=|Z『=忆2|=|Z2|=Z.Z.

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的

打“X”)

(1)复数1—i的实部为1，虚部为一i.()

(2)2i比i大.()

(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，

也就是复数对应的向量的模•()

［解析］⑴错，1-i的虚部为-1.(2)错,虚数不能比较大小.⑶

错，虚轴上除原点外都表示纯虚数.(4)正确，依模的定义及复数的

几何意义.

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V

2.(教材习题改编)复数z=(l—i)i的虚部为.

［解析］因为z=(l—i)i=l+i,所以虚部为1.

［答案］1

3.若复数铝为纯虚数，则实数。=____.

1+1

.__c.o+2i(a+2i)(l—i)。+2+(2一a)i,,、、〜

［解析］因为［।・・=।丁=5，由已知该艮

1+1(1十1)(1—1)2

数为纯虚数，所以〃+2=0,即〃=一2.

［答案］一2

4.(2013・江苏高考)设z=(2—i>(i为虚数单位)，则复数z的模为

［解析］z=(2—i)2=3—4i,

所以|z|=|3—4”=^/32+(-4)2=5.

［答案］5

5.(2014・江苏高考)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的

实部为.

［解析］因为z=(5+2i)2=25+20i+(2i)2=25+20i—4=21+

20i,所以z的实部为21.

［答案］21

提知能­典例探究I

考向1复数代数形式的运算(高频考点)

命题视角复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容.题

型为选择题或填空题，难度较小，属容易题.

高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下几个命题角度：

(1)复数的乘法运算；

(2)复数的除法运算；

(3)利用复数相等求参数.

【典例1］(1)(2013•浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(2+

i)(3+i)=.

fl+i)

(2)(2014,北京高考)复数T—2=.

(3)(2013•天津高考)已知a,i是虚数单位.若(a+i)(l+i)

—hi,则a+b1—.

［思路点拨］(1)类似多项式乘法展开，再合并，把i2换成一1求

解.

(2)先分子、分母分别乘方，再用完全平方公式展开化简或先对

小括内式子户化简再乘方.

(3)把左边整理成％+yi(%,y£R)形式，再根据两复数相等的充要

条件得到关于dh的方程组，求出a,b.

［解析］(l)(2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i.

fl+ill+i2+2ii

=i+i2-2i=^i=-1-

(3)由(a+i)(l+i)=bi可得(a—l)+(a+l)i=Z?i,因此a—1=0,a

+1=b,解得a=l,b=2,故a+Z?i=l+2i.

［答案］(l)5+5i(2)-1(3)1+2i

【通关锦囊】

复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：

(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含

有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别

合并即可.

(2)复数的除法.除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轲复

数，解题中要注意把i的箱写成最简形式.

(3)利用复数相等求参数.a+bi=c+di<4a=c,b—d(a,b,c,d

eR).

【变式训练1］(1)(2014・辽宁高考改编)设复数z满足(z-2i)(2

—i)=5,贝！Jz=.

(2)(2014•山东高考改编)已知a,b&R,i是虚数单位.若“T与

2+历互为共辗复数，则3+历＞=.

［解析］(1)由(z-2i)(2—i)=5,得z=2i+±=2i+Q宝％)

=2i+2+i=2+3i.

22

(2)由题意知Q—i=2一万，.•.a=2,b=1,/.(a+Z?i)=(2+i)=3

+4i.

［答案］(l)2+3i(2)3+4i

考向2复数的有关概念

【典例2］(1)(2014・湖南高考)复数\7(i为虚数单位)的实部等

于

⑵(2013•安徽高考改编)设i是虚数单位，若复数。一黑(a£R)

是纯虚数，则Q的值为

［解析］(1)\'辛^="；=—3—i,—3—i的实部等于一3.

l0(3+i)J0(3+i)_

⑵因为a--=a(3-i)(3+i)—a10〜3)b由'电

虚数的定义，知a—3=0,所以a=3.

［答案］(1)—3(2)3

【规律方法】

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与

虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚

部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a+历(a,b£R)的形式，以确定

实部和虚部.

【变式训练2］(1)(2013•山东高考改编)复数z满足(z—3)(2—i)

=5(i为虚数单位)，则z的共辗复数3为.

(2)(2013•课标全国卷I改编)若复数z满足(3—4i)z=|4+3i|,则z

的虚部为.

［解析］(1)由(z—3)(2—i)=5,得z=5］+3=(2茎，+3=

5(2+i),,-

-~~+3=5+i,z=5—i.

…I.14+3115(3+4i)34.

—

(2).(3—4i)z—|4+3i|,..z—3_g一~255-*"5^

、4

.*.z的虚部为亍

［答案］(l)5-i(2)1

考向3复数的几何意义

【典例3］(1)(2014・重庆高考改编)复平面内表示复数i(l-2i)

的点位于第象限.

(2)(2014•课标全国卷II改编)设复数zi，Z2在复平面内的对应点关

于虚轴对称，zi=2+i,则z1Z2=.

［解析］(l)i(l-2i)=2+i,在复平面内对应点的坐标为(2,1),位

于第一象限.

(2)：zi=2+i在复平面内的对应点的坐标为(2,1),又Z］与Z2在复

平面内的对应点关于虚轴对称，则Z2的对应点的坐标为(-2,1),即

Z2=-2+i,.•.Z］Z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.

［答案］⑴一(2)—5

【规律方法】

1.判断复数在平面内的点的位置的方法

首先将复数化成h£R)的形式，其次根据实部。和虚部

b的符号来确定点所在的象限.

—►

2.(1)复数z=a+bi(a,Z?£R)与点Z(。，刀及向量0Z——对应，

相等向量表示同一复数.

(2)复数加减法运算可借助向量的平行四边形法则和三角形法则

进行.

【变式训练3】(1)(2014通州期中考试)在复平面内，复数z=

J—+i2014表示的点所在的象限是________.

1—1

(2)(2013・湖北高考)i为虚数单位，设复数zi，Z2在复平面内对应

的点关于原点对称，若zi=2—3i,则Z2=.

［解析］(1)根据题意得Z=J-+i2°l4=/%2+i4X503+2=

1—1(1—1)(1+1)

%2+i2=—?+*,对应点的坐标为(一方

,故在第二象限.

(2)(2,一3)关于原点的对称点是(一2,3),

，Z2=-2+3i.

［答案］（1）第二象限（2）—2+3i

I名师微博I

明确1个分类对复数z=a+bi（a,Z?£R）,当8=0时，z为实

数；当bWO时，z为虚数；当。=0,时，z为纯虚数.

熟用2个技巧（1）设2=。+历（a,。金R）,利用复数相

等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.（2）

在复数代数形式的四则运算中，力口、减、乘运算按多项式运算法则进

行，除法则需分母实数化.

掌握3个结论（1）（1士i>=±2i；£=i；M=一力（2）一。十0

=i（a+bi）；（3）i4"=l,i4z,+1=i,i4rt+2=-l,i4rt+3=-i,i4/I+i4w+1+i4n

+2+j4"+3=0,〃£N*.

启智慧・高考研析I探规往专项培优

创新探究之6复数命题新动向

—例题（2013•江西高考改编）已知集合加={1,2,zi},i为虚数

单位，N={3,4},MCN={4},则复数z=.

（2）（2014•南京调研）已知复数（1—2i）i（其中i为虚数单位）在复平面

内对应的点M在直线丁=3+〃上，其中如2>0且加，/?eR,则'+

:的最小值为.

4

［解析］(1)由MGN={4}知4£M,所以zi=4,于是z=;=-4i.

⑵由题意得M的坐标为(2,1),且(l-2i)i=2+i,：.2m+n=l,

—+-=f~+~y(2m+n)=3+~4--^3+2^/2,

mn\mn)y/mnv

当且仅当'=手，即〃=爽机时取等号.

［答案］(1)—4i(2)3+2近

【智慧心语】

创新点拨：本题不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的

基本知识，而是与解析几何、不等式、集合交汇出题，是高考题的一

个新动向.

应对措施：1.(1)弄清集合中的元素、结合交集定义，得zi=4,

再根据复数运算求z.

(2)把复数(l-2i)i对应点的坐标代入直线方程得关于m,n的方

程，依据基本不等式求最值.

2.解决此类问题的关键是把握复数的有关概念，根据复数的运

算法则准确进行化简运算.

【类题通关】(1)设集合M={y|y=|cos2%—si/尤x£R},N=

%一；＜色，i为虚数单位，入£R■,则MGN=.

。I,

(2)(2014•苏北四市调研)若i为虚数单位，已知a-\-b'\=~~^a,b

eR),则点3，。)与圆/+产=2的关系为点在圆________.

［解析］(1)对于集合M,函数y=|cos2x|,其值域为。口，所以

M=［0,l］.根据复数模的计算方法得不等式产口＜也，即x2＜\,

所以N=(-l,l),则MGN=［O,1).

,2+i(2+i)(l+i)1,3―

(2)Va+Z>i=y~==]+/i(a,Z?eR),

•"=］1'f3，或fll+,旧f3Y=55>2,

点住,皆在圆好+9二？夕卜.

［答案］(1)［0,1)(2)

外课后限时自测

［/级基础达标练］

一'填空题

1.(2014•南通期末测试)复数z=±(其中i是虚数单位)的虚部

为•

［解析］由题意可得z=^==^^=~4+|

2—1(2—"i)米X(2］+i)333

.、?

i,故虚部为亍

2

［答案］5

2.(2014•苏、锡'常'镇四市调研)若复数2=罟％为虚数单

位)，则|z|=.

.,,l+3i-2+4i

［解析］法一：因为丁r=-5—=-l+2i,所以团=书r.

11乙

法二：利用复数模的性质求解，即团=%粤=噌=3.

［答案］于

z・z

3.已知复数z=-l+i(i为虚数单位)，则一==.

Z-Z

z・z

［解析］由Z=-1+i,得Z=-1—i,所以----=

Z-Z

(-l+i)•(—l-i)1+1

(―1+i)—(―1—i)2iL

［答案］-i

4.(2014・南京'盐城模拟)若复数z=(l+i)(3—ai)(i为虚数单位)

为纯虚数，则实数.

［解析］先由复数乘法化为(3+。)+(3—a)i,再由纯虚数的概念

得3+Q=0,3—aWO,即a=-3.

［答案］一3

3

_(2-1)-2—yi

5.(2014•江苏高三数学大联考)已知z=——上不—一贝1JI#

—i1卜制3立.3

|2-i|221

［解析］|z|=|z|=

|4-3i|5•

4—3i

［答案当

6.(2014•苏北四市高三第一次质量检测)设复数zi=2—i,Z2=m

+i(zn£R,i为虚数单位)，若z/Z2为实数，则根的值为.

=

［解析］ZI-Z2(2—i)(m+i)=(2/n+1)+(2—m)i,因为z「Z2是实

数，所以"2=2.

［答案］2

7.(2014・扬州中学检测)设％是纯虚数，y是实数，且2%—1+i

=y-(3—y)i,则x+y等于.

［解析］因为％为纯虚数，因此我们设％=疝(〃?£R),

则等式2x~1+i=j—(3—y)i化为2mi—1+i=y—(3—y)i,

即一l+(2m+l)i=y—(3—y)i,

—i=y,

因此,',

2m+1=-3+y,

p=T，

解得15

\m=~T

从而x+y=_/i-l.

［答案］一1一|i

8.(2013・四川高考改编)如图4-5-2,在复平面内，点A表示复数

z,则图中表示z的共甄复数的点是.

y

♦•_____・。

B*o*cx

图4-5-2

［解析］设z=a+bi(a,Z?eR),且。<0,。>0,贝"z的共轨复数为

a-bi,其中Q<0,—b<0,故应为B点.

［答案B

二'解答题

租2—租—6

9.当实数机为何值时，z=―加+3—+(m2+5m+6)i,(1)为实

数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二

象限.

m24_5m4_6=0,

［解］⑴若z为实数，则解得根=-2.

yn十3r(),

，"+5m+6W0,

(2)若z为虚数，则

［m+37^0,

解得mW—2且/篦W—3.

卜/+5m+6:#:0,

(3)若z为纯虚数，则(—m—6_解得m=3.

［m+3°’

稗一加一6

m+3'

｛m2+5m+6>0,

mV—3或-2<机<3,.

即J.*.77/<—3或一2Vm<3.

-2,

10.已知Z是复数，z+2i,资均为实数(i为虚数单位)，且复数

(z+〃i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

［解］设z=%+yi(%,y£R),则z+2i=x+(y+2)i,

由题意得y=-2.

zx—2i1

=rmr=+—2i)(2+i)

=|(2A：+2)+1(X—4)i,

由题意得％=4,.,.z=4—2i

*/(z+ai)2=(12+4a—Q2)+8(Q—2)i,

12+4。一42>0,

根据条件，可知，

8(a-2)>0,

解得2VQV6.，实数a的取值范围是(2,6).

［8级能力提升练］

一、填空题

—►

1.(2014・盐城调研)设z=x+yi(x,y£R),点尸在|z|=1上,OQ=

->

3+4i,则俨。|的最大值为.

［解析］点尸的轨迹方程为£+产=1,其表示圆心为原点，半径

—►—►

为1的圆.|。。|=5,|PQ|max=5+l=6.

［答案］6

2.复数Zi=l+2i,Z2=-2+i,Z3=-l—2i,它们在复平面上

的对应点是一个正方形的三个顶点，则这个正方形的第四个顶点对应

的复数为.

［解析］如图，Z1、Z2、Z3分别对应点A、B、C.

：.AB=OB-OA,

.•.A3所对应的复数为z2-zi=(-2+i)-(l+2i)=-3-i,

—>—►

在正方形ABCD中，DC=AB,

.•.oc所对应的复数为一3一i,

义DC=OC-OD,

.•.OZ)=OC-DC所对应的复数为z3-(-3-i)=2-i,

第四个顶点对应的复数为2—i.

［答案］2-i

二'解答题

3.如图4-5-3所示，平行四边形0ABC,顶点O,A,C分别表

示0,3+2i,—2+4i,试求：

图4-5-3

(l)AO所表示的复数，3c所表示的复数；

(2)对角线C4所表示的复数；

(3)求8点对应的复数.

—►-►—>

［解］(1)AO=-OA,，AO所表示的复数为一3一21

-A-►-A

\'BC=AO,...Be所表示的复数为一3一2i.

(2)C4=O4—OC,「.CA所表示的复数为(3+2i)—(-2+句=5—

2i.

(3)O8=OA+AB=OA+OC,

二.OB所表示的复数为(3+2i)+(—2+4i)=l+6i,

即B点对应的复数为l+6i.

专题突破二高考三角函数与平面向量问题的求解策略

类型1三角变换与三角函数的图象性质

三角函数的图象与性质是高考的热点，求解这类问题不仅要熟练

掌握正弦（余弦）函数的性质与图象，而且要灵活利用两角和（差）公式、

倍角公式以及同角关系进行恒等变换，这是进一步研究函数性质、三

角函数式化简求值的基础.

【典例1】（2014・南通调研）已知函数段）=2cos2①x—1+2"V5COS

TT

cousinct>A：（0<ft）<l）,直线是凡x）图象的一条对称轴.

（1）试求CD的值；

（2）已知函数y=g（x）的图象是由y=«r）图象上各点的横坐标伸长

到原来的2倍，然后再向左平移空个单位长度得到的，若g（2a+W）=

a£（0,舒，求sina的值.

［思路点拨］（1）先将/U）的解析式化为«x）=4sin（口x+夕）的形式

再根据对称轴求①.

(2)根据图象变换求g(%),再由g(2a+§=,,求cos(a+5)与

sinja+1，最后由两角差的正弦公式得sina=sin|ja+1一季.

［规范解答］j(x)=2cos2cox—1+2-\/3coscousincox

=cos20尤+小sin2cox

=2sin(2a)jc+^l.

⑴由于直线是函数段）=25山（25+/图象的一条对称轴,

（2兀.兀）

sin|w<w十「=±1.

2n,n,,Ti,3,.1,

..可切+[=%加+2（%£Z）,①=/+]（%£Z）.

又0V①VI,A

从而k=U,.,.①=；.

(2)由(1)知«x)=2sin(%+看|,

由题意可得g(%)=2sinf^+y^|+1,

即g(x)=2cos鼻,

得cosa+z

又a£

.兀,7T2加

••广。+广了，

4

・\sin予

Asina=sin

=siT+6)cosf-cosl.兀

=4x^j_31

-5X25X2

4^3~3

=10,

【反思启迪】1.解答本题时，利用三角恒等变换得到加)=

2sin(2s+W是解题的关键所在，应确保化简的准确性.

2.函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，如本例中，由

%=亨是加)的一条对称轴知是最值.

3.三角函数图象平移是对"%”而言，sin①x向左平移a个单位得

到sin①(x+e),当①#1时一定要化工的系数为1.

4.给值求值时，一定要注意角的变换技巧，如本例中，a=(a+,

一j

【变式训练1］(2014.连云港调研)设函数段)=6(：052%—2小5也

%COSX.

(1)求八r)的最小正周期和值域；

(2)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若夫8)

4

=0且。=2,cosA=g,求Q和sinC.

［解］(1-%)=6X।2X—Ssin2r=3cos2%—小sin2%+3

=2小cos(2x+5+3,

27r

所以兀设)的最小正周期为T=~^=ll,

值域为［3—25，3+2小］.

(2)由犬3)=0,得cos(23+1］=一坐.

・Z为锐角,.4V2B+太普，・♦.25+尹金・♦・3节

43

VcosA£(0,it),sinA=

5-

9y3

_Z?sinA____5_4\/3

在△ABC中，由正弦定理得

~sinB~^/3~5,

2

(2n1袅sA+品

sinC=sin(7r—A—jB)=sinl^-A1=

类型2三角形中的三角变换

【典例2】(2014•天津曷考)在△ABC中，内角A,B,。所对

的边分别为a,b,c,已知Q—c=乎。，sinB=A/6sinC.

(1)求cosA的值；

(2)求cos(2A一看)的值.

［思路点拨］(1)由正弦定理将Q—c=*。转化成角的关系，联立

sinB=4sinC,再转化为边的关系，用余弦定理求cosA；(2)由(1)

知cosA的值，求出sinA,进而求出cos2A,sin2A,用两角差的余

弦公式表示.

bc

［规范解答］(1)在△ABC中，由不大=/彳及sin8=#sinC,

ol11LJOJillv.✓

可得b=«c,又由a—c=*。，有Q=2C,

〃+/一/6C24-C2—4C2Jg

所以cosA=-痂一=一2濠一=4-

(2)在△A8C中，由cosA=乎，可得sinA

1

-

于是cos2A=2cos-A—1=4

J15

sin2A=2sinA-cosA=~^~.

所以cos(2A—聿兀-n-\/15—^3

=cos2A-cos7+sin2A-sin=

668

【反思启迪】本题考查正、余弦定理的应用，倍角公式、两角

差的余弦公式、平方和公式等三角恒等变换，关键要提高运算能力，

熟练应用公式.

【变式训练2】(2014•山东高考)△ABC中，角A,B,C所对

的边分别为a,b,c.已知。=3,cosA=q-,6=A+/.

⑴求。的值；

(2)求△ABC的面积.

._______

[解](1)在△ABC中，由题意知，sinA=yj1—cos2A=3，

TV

又因为B=A+g,

所以sinB=sin^A+^j=cos4=乎.

3X小

由正弦定理，得”=詈普=言~=341

3

TT

(2)由B=A+1,得

cosB=cosG+条-si”一坐

由A+8+C=7T,得C=TT-(A+3).

所以sinC=sin[n-(/+6]=sin(A+8)=sinAcos8+cosAsinB

=%(-阴+乎X乎+

因此△ABC的面积

S=^absinC=^X3X3A/2X1=^^.

类型3平面向量与三角函数的综合

【典例3】（2014•辽宁高考）在△ABC中，内角A,B,。的对

边分别为a，b,c,且a>c,已知5A-3C=2,cosB=^,。=3.求:

(l)a和c的值；

(2)cos(8—C)的值.

［思路点拨］(1)结合条件34BC=2,。=3和余弦定理可求；

(2)先由基本关系式求出sin8,再由正弦定理求出sinC,进而根

据条件求出cosC,即可求得cos(3-C).

[规范解答](1)由848C=2得cacos8=2.

又cos8=：,所以ac=6.

由余弦定理，得。2+/=。2+2。比053.

又力=3,所以。2+/=9+2><6><g=:13.

ac=6,a=2,a=3,

解得或，

a2+c2=13,c=3c=2.

因为a>c,所以Q=3,C=2.

(2)在△A3c中，

sinB=A/1—cos2B=1-[I]2=^3^»

由正弦定理，得sinC=jin8='x2^="今

因为a=b>c,所以。为锐角，

因此cosC=yJ1—sin21­邛^2=^.

于是COS(JB—Q=cosBcosC+sinBsinC

=172^24^2=23

-3939-27-

【反思启迪】本题主要考查了向量的数量积、正余弦定理、基

本关系式、和角公式等知识点.在第(2)问中，正确求出cosC是解决

本问的关键.

【变式训练3】(2014彳余州调研)已知向量/n=(sin%,-1),n

=(、/5cos%,一；］，函数八%)=，/+机2.

(1)求«x)的最大值，并求取最大值时％的取值集合；

(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,。的对边，且a,h,

c成等比数列，角B为锐角，且式3)=1,求人+高的值.

Ldll/iLdll

［解］

=sin2A：+1+Ssin%cosx+；-2

1—cos2x,51

---2---+2s^n2%一/

^sin2.-|cos2x

=sinl2A—^1.

兀兀

故4%)max=l,此时2%—4=2E+］,kGZ,

兀

得％=br+§,kGZ,

.；/(%)取最大值时工的取值集合为

kez>.

(2MB)=sid2B-^=l,V0<B<^,

.兀，一c兀，5兀

**——6RR——6V—6,

Ttn7T

2B~6=rB=g

*22:

由h=ac及正弦定理得sinJB=sinAsinC,于是

11cosA,cosC

tanAtanCsinAsinC

sinCeos4+cosCsinA

sinAsinC

sin(A+C)12小

sin2B_sinB-3,

专题突破练（二）

［/级基础达标练］

一、填空题

1.（2014.苏州市调研）已知sin卜+：）=,

则tanx

.3..f।3.｛啕4p.,3也.

［用牛析］由51111%十41=5，sinlA：-1=sin-x+cosx=~5,‘in%

4^2丁.7^2y/2sin%

—cosx=,从而sin%=,cosx=—圻以tan%==—

5c'10'in10''cosx

7.

［答案］一7

2.（2014.盐城模拟）设0VcoV4,函数«x）=sin（Gx+9）的图象若

向右平移专个单位长度所得到的图象与原图象重合，若向左平移居个

JJL4

单位长度所得到的图象关于y轴对称，贝han（①°）的值为.

［解析］•••/(%)的图象向右平移至个单位长度所得到的图象与原

2Ji27r2it

图象重合，所以〃T=丁，即〃•］=与■，••・①=3〃(〃£Z),V0<w<4,

TT

co=3,f(x)=sin(3x+9)向左平移直个单位长度得y=

，兀、7171

sin［3x+a+q|,它的图象关于y轴对称，.•.4+9=®+/,：.(p=kit+

71

4(Z£Z).

.\tan(①°)=tan(3E+引=-1.

［答案］一1

7?

3.(2014.南通'扬州'泰州'宿迁四市调研)设不是函数八%)=sin(2x

+9)的一个零点，则函数/U)在区间(0,2九)上所有极值点之和为

［解析］函数的周期为兀，极值点为函数的最高及最低点，结合

函数的图象，所有极值点之和为［d+j+匕+力+匕+力+匕+力

14K

=于

［答案］中

4.(2014・盐城模拟)若a£(0,.cos住—a)=2啦cos2a,则sin2a

［解析］由cos仔-a［=2mcos2a得乎(cosa+sina)=2媳(cos2a

—sin2a),*/aG［0,

，sina+cosa#0,/.cos«—sin«=4,两边平方得1—sin2a=

1.•一15

而..sin2«—

［答案］.

5.(2013•江西高考)设於)=，5sin3x+cos3%,若对任意实数工

都有l/U)|Wa,则实数。的取值范围是.

［解析］由于/(%)=d§sin3JC+COS3X=

缴)13%+,,则氏%)|=2sin13%+矶W2,要使恒成立，

贝”心2.

［答案］［2,+°°)

6.(2014.镇江调研)若入£(0,皆,且sin2%=；,则於)=恒&—1

的值为.

［解析］_/(%)=&sinb—T=sin%—cos%,

3

f(x)=1—2sinxcosx=1—sin2x=^,

又％£(0,AsinJC—cos^<0,

［答案］一半

7.(2014・无锡市检测)已知a=(cosa,sina),ft=(cos/?,sinp),

47r

若。山=5，a=g，则tan(a+£)的值为.

44

［解析］\'ab=-^,.\cos(«—/?)=-,

33

.•.sin(a一夕)=±予tan(«—^)=±4，

71

■:a~\~B=2a~~(a~8)=3—(a~~馀,

「兀11-tan(«­/?)

...tan(a+£)=tan［］(a-为『j：不记为

31.

Vtan(a—y9)=±4，•••tan(a+£)=］或7.

［答案］；或7

8.(2014.徐州期中检测)已知△ABC中，a,b,c分别是角A,B,

C的对边，a=p,A=45。，8=60。，那么△ABC的面积S&ABC=

［解析］由正弦定理得，8=黑y=仍.

Sill/I

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=4,

.".S^ABc=^absinC=g义小义小x。；"=小

^.小+3

［r答Zr案=±=1］七一

二'解答题

9.(2014・常州调研)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为m

b,c.设向量zn=(a,c),7z=(cosC,cosA).

(1)若，〃〃小c=-\［3a,求角A；

4

(2)若wr〃=3bsin3,cosA=5,求cosC的值.

［解］(1)V/M//H,/.tzcosA=ccosC.由正弦定理,

得sinAcosA=sinCeosC.

化简,得sin2A=sin2c.

VA,Ce(0,Jr),...2A=2C或2A+2c=九，

,:c=/a,.,.A=C(舍)或A+C=5,

a、37i

在RtZ\ABC中，tanA=~=,A=^.

(2)m-n=3bsinB,acos,C+ccosA=3/?sinB.

由正弦定理，得sinAcosC+sinCeosA=3sin2B,

从而sin(A+C)=3sin2R

,.•A+8+C=7r,.*.sin(A+C)=sinB.

从而sinB=g.

4公兀13

VcosA=^>0,AG(0,7i),/.AS10,2LsinA=y

•「sinA>sinB,

2、伤

.'.a>h,从而A>3,3为锐角，cosB=3.

/.cosC=—cos(A+B)=—COSACOSB+sinAsinB

=_4X2^23I=3-8V2

10.(2014•苏州调研)已知向量机=(cosA,—sinA),n=(cosB,

sinB),m-/z=cos2C,其中A,B,C为△ABC的内角.

(1)求角C的大小；

―►-►

(2)若A3=6,且CAC3=18,求AC,3c的长.

［解］(1)/«•〃=cosAcosB—sinAsinB=cos(A+B)=—cosC,

—cosC=cos2C,即2cos2C+cosC~1=0,

故cosC=g或