高考2023人教A版高中数学变式题8

8.1成对数据的统计相关性

第八章成对数据的统计分析

8.1成对数据的统计相关性

8.1.1变量的相关关系

练习

1.举例说明什么叫相关关系.相关关系与函数关系有什么区别？

【答案】答案见解析

【分析】根据相关关系和函数关系概念即可说明.

【详解】相关关系：当自变量取值一定，因变量的取值带有一定的随机性（非确定性关

系），

函数关系：函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的.

相同点:均是指两个变量的关系.

不同点:函数关系是一种确定的关系，因果关系;而相关关系是一种非确定性关系，也可

能是伴随关系.

举例：身高与体重是相关关系，身高越高体重不一定大.

2.根据下面的散点图，判断图中的两个变量是否存在相关关系.

7l-

6k

5l-

4k

”

2l-

lh

00

【答案】（1）存在相关关系;（2）存在相关关系;（3）不存在相关关系；（3）存在相关关系;

【分析】根据散点图中散点呈现的变化趋势依次判断两个变量间的相关关系即可.

【详解】（1）由（1）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附

近，所以可以判定两个变量之间存在线性相关关系，图像呈现左上右下趋势，说明两个

变量呈负线性相关关系；

（2）由（2）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条曲线附近，所以

可以判定两个变量之间存在相关关系，而且是非线性相关关系；

（3）由（3）的散点图可以看到，两个变量确定的散点没有落在了一条直线或者曲线附

近，是杂乱无章的，所以可以判定两个变量之间不存在相关关系；

（4）由（4）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以

可以判定两个变量之间存在相关关系，图像呈现左下右上趋势，说明两个变量呈正线性

相关关系：

3.下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔

高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？

地区ABCDEFGH/JK

海拔An1250115810674577017316106701493762549

鸟的种类/种363037111113171329415

【答案】存在正相关，相关性较强.

【分析】由表中数据计算相关系数即可得出结果.

【详解】设鸟的种类数为y,海拔高度为x,

—x=-1-2-5-0-+--1-1-5-8--+-1-0-6-7--+-4-5-7--+-7-0-1--+-73-1--+-6-1-0--+-6-7-0--+-1-4-9--3-+-7-6--2-+-5-4--9*8c5l8c.9c,

—y=-3-6-+-3--0-+-3-7--+-1-1-+--1-1-+--13-+--1-7-+--1-3-+--2-9-+-4-+--1-S«19.6,

r=魂1节t词_x0.793,

当r>0时，且0.75<rWl时，两变量正相关，相关性较强.

所以由数据可知，鸟类的种数随海拔高度增加而增加，

两者呈正相关，相关性较强.

8.1.2样本相关系数

例1根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，判断两个变量是否线性相关，计算

样本相关系数，并刻画它们的相关程度.

解：先画出散点图（图8.1-1）.观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近,

试卷第2页，共12页

由此判断脂肪含量和年龄线性相关.

根据样本相关系数的定义，

r_£；■（4一£）»「歹）_______电皿T4冲______

JE比（4-%）21送33-歹）2产

利用计算工具计算可得

x«48.07,y«27.26,温%为=19403.2,

2：：*=34181,2：：*=11051.77.

由样本相关系数r=0.97,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程

度很强.

例2有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售

额的10年数据，如表8.1-2所示.

表8.1-2

画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断居民年收入与

A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同.

解：画出成对样本数据的散点图（图8.1-6）,从散点图看，A商品销售额与居民年收入

的样本数据呈现出线性相关关系.

由样本数据计算得样本相关系数r。0.95.由此可以推断，A商品销售额与居民年收入

正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强.

A商从梢售额/万兀

55

50

40-

35-

30t

25-

201-----1-----•----------1-------------f

3035404550居民年收入/亿元

图8.1-6

例3在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据,

如表8.1-3所示.

体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？

解：根据样本数据分别画出体重与身高、臂展与身高的散点图(图8.1-7(1)和(2)),

两个散点图都呈现出线性相关的特征.

(1)(2)

图8.1-7

通过计算得到体重与身看、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78,都为正

线性相关.其中，臂展与身高的相关程度更高.

练习

4.由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之

间的相关关系？为什么？

【答案】不一定，原因见详解；

【分析】根据由简单随机抽样得到的成对样本数据具有随机性进行具体的分析即可.

【详解】因为由简单随机抽样得到的成对样本数据具有随机性，由此得到的到样本相关

系数也具有一般性，因此由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能

确切地反映变量之间的相关关系.

5.已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2,2),(3,-1),(5,-7),计算两个变量的

样本相关系数.能据此推出这两个变量线性相关吗？为什么？

试卷第4页，共12页

【答案】r=—1，线性相关，因为|r|=l

【分析】计算相关系数即可得出结果.

则相关系数

,一产=臼一方8田一(3)*4+(1丁+沼-5)-一即m=1,

r的绝对值越接近1相关性越强，7•的绝对值越接近0相关性越弱，

所以两个变量线性相关，

6.画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数.据此，请你谈谈样本相关系数

在刻画两个变量间相关关系上的特点.

(1)(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)；

(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)；

(3)(-2,-8),(-1,—1),(0,0).(1,1),(2,8),(3,27)；

(4)(2,0),(1.V3),(0,2),(-1,V3),(-2,0).

【答案】(1)图见解析；r=l：(2)图见解析；r=0.959；(3)图见解析；r=0.893；

(4)图见解析；r=0；|r|越接近1,样本的相关性越强，越接近0,相关性越弱.

【分析】根据每组的数据画出散点图，并根据相关系数公式计算相关系数；并由相关系

数的大小，来判断样本数据变量的相关关系.

【详解】(1)散点图如下：

6A

-4-i-2-1q1i3

•-B-

•V

由点数据知：

x=-x(-2-1+0+1+2+3)=i,y=7X(-3-1+1+34-5+7)=2；

626

2；=式%一x)(yz-y)=(-2-|)x(-3-2)+-+(3-1)x(7-2)=35；

2：=[x?=(一2)2+“.+32=19；2M资=(一3)2+…+72=94；

则^.=35=i

］（22户f-欣z）（2MW-n产）J(19-6xi)(94-6x4)

（2）散点图如下：

9

K

7

6

5

4

3

2

1

由点数据知：

X=|x(0+1+2+3+4)=2,y=|x(0+1+4+9+16)=6；

2：=1(々一^)(y；-y)=(0-2)X(0-6)+-+(4-2)X(16-6)=40；

22

2：=i#=。2+...+42=30.=0+••■+16=354；

rn.l23GL幻(％一刃40

则丁=j==7,一、Xn0.n9c5o9；

J(ZMx『-M)(2My『F矛)7(30-5x4)(354-5x36)

(3)散点图如下：

试卷第6页，共12页

由点数据知：

x=-1X(-2-l+0+l+2+3)=i1,y1=ix(-8-1+0+1+8+27)="9；

6262

2：=18一兄)(%一9)=(-2-1)x(-8-|)+-+(3-|)x(27-|)=101.5；

2：=]*=(-2)2+…+32=19；2：=]*=(-8)2+…+272=859；

则r=,$(3)55=】。】5。0,893；

9,)J(19-6xl)(859-6x21)

(4)散点图如下：

y

3-

2.

I

-3-5-1°~~i53*

-1

-2

-3-

由点数据知：

x=lx(2+l+0-l-2)=0,y=ix(0+V3+2+V3+0)»1.093；

2：=i®-元)(％-y)=(2-0)x(0-1.093)+…+(-2-0)x(0-1.093)=0；

则r=次—)=0;

呼-欣2)(2；=]%?_眇2)

综上，由相关系数的值可知，|r|越接近1,样本的线性相关性越强，越接近0,线性相

关性越弱.

7.随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：

超市ABCDEFG

广告支出/万元1246101420

销售额/万元19324440525354

请判断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征.

【答案】线性相关关系；相关程度高；销售额与广告支出的变化趋势相同.

【分析】作出成对数据的散点图，由数据计算相关系数即可得出结果.

【详解】成对数据的散点图如图所示：

fy销售额/万元

60-.

50-**

40-,

30--

20-.

10

~~2~~4~~6~8-101214161820

广告支出/万元

从散点图上可得，超市的销售额与广告支出之间呈现出线性相关关系，

1+2+4+6+10+14+2057

由数据可得元=

77

—19+32+44+40+52+53+54,仁

y=---------7---------=42-

羽=1阳%=2841,2=753,2=13350,

...r_—里-7Q_447_0。。

厚通2-7戈]工：=1%2-74

由此可推断，销售额与广告支出之间具有相关关系，相关程度较强,

且销售额与广告支出的变化趋势相同.

习题8.1

试卷第8页，共12页

复习巩固

8.在以下4幅散点图中，判断哪些图中的），和x之间存在相关关系？其中哪些正相关,

哪些负相关？哪些图所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系？哪些图所对应的成

对样本数据呈现出非线性相关关系.

【答案】图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系；其中图（2）（4）中的y和x

之间呈现正相关关系，图（3）中的y和x之间呈现负相关关系；图（2）（3）中的）'和

x之间呈现线性相关关系；其中图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系；

【分析】根据散点图中散点呈现的变化趋势依次判断两个变量间的相关关系即可.

【详解】（1）由（1）的散点图可以看到，两个变量确定的散点没有落在了一条直线或

者曲线附近，是杂乱无章的，所以可以判定两个变量之间不存在相关关系；

（2）由（2）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以

可以判定两个变量之间存在相关关系，图像呈现左下右上趋势，说明两个变量呈正线性

相关关系；

（3）由（3）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以

可以判定两个变量之间存在线性相关关系，图像呈现左上右下趋势，说明两个变量呈负

线性相关关系；

（4）由（4）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条曲线附近，所以

可以判定两个变量之间存在相关关系，而且是非线性相关关系；

综上，图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系；其中图（2）（4）中的y和x之

间呈现正相关关系；图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系；其中图（4）中的

y和x之间呈现非线性相关关系；

综合运用

9.随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所

得数据如下：

航空公司编号12345678910

航班正点率/%81.876.876.675.773.872.271.270.891.468.5

顾客投诉/次2158856874937212218125

顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？

变化趋势有何特征？

【答案】线性相关;y=-4.70454x+430.580；相关程度高，

变化趋势是正点率提高一个百分点顾客投诉次数少约为4.7.

【分析】利用最小二乘法求出回归方程即可求解.

【详解】设顾客投诉次数为y,正点率为X,

型iQ=53978.3,2=57975.1,2=65796

设回归方程歹=bx+a,

1

x=—（81.8+76.8+76.6+75.7+73.8+72.2+71.2+70.8+91.4+68.5）=75.88

歹=看（21+58+85+68+74+93+72+122+18+125）=73.6,

K_一9）_理XM-1O冲_53978.3-55847.68〜0

_幻2-X/Xj2-10x2-57975.1-S7577.744〜1，

将®刃代入回归直线方程：y=bx+a可得a=430.580,

所以线性回归方程为：y=-4.70454%+430.580,

试卷第10页，共12页

相关系数r=।金*（丁一行（”也=53978.3-10X75.88X73.6

x-0.87,

V57975.1-10X75.882V65976-10X73.62

r的绝对值越接近1,相关性越强，所以相关程度高.

变化趋势是正点率提高一个百分点顾客投诉次数少约为4.7.

10.根据物理中的胡克定律，弹簧伸长